人教版高中数学《直线平面简单几何体》全部教案

立体几何序言课教案设计

一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。

立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一

个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。通过序言课的教学，学

生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基

础。

然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，

开课后草草儿句便开始了“平面”的教学。教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习

带来消极影响。

由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的

教学任务，对提高立体儿何课的教学效益是至关重要的。

二、排除心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。

部分学生认为立体儿何比平面儿何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功

课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。

因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体儿何的兴趣作为首先任务。

1.尽量引用实例。

“引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的

问题。”为了使学生真正认识到立体儿何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示

学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”

教者由此指出：“没有立体儿何知识，这张图纸是画不出来的。”“同学们能从图纸上看出

是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。有

这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。

2.巧用教具、模型。

要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种

模型。那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，

五彩缤纷，望形状，新颖别致。学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，

大有“跃跃欲试”之势。

借助模型还可以帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定势的消极影响。

例如，在黑板上画出图1,不少学生乍一看认为这是一个平面图形，当教师指出这是一

个空间图形的直观图时，有的学生认为小平行四边形凹在后面，有的学生认为小平行四边形

凸在前面，因而引起了激烈的争论，但很快意见趋于统一：两种情况都可能存在。接着教师

出示用硬纸板做的模型，学生观物思图，看图想物，终于形成了强烈的立体感。然后教师在

黑板上画出图2和图3,并用模型示范，学生不仅分清了两种不同的情况，更重要的是感受

到了学习立体几何新鲜有趣，就能变“要我学”为“我要学”。

3.加强知识联系。

立儿知识与学生已掌握的平面儿何知识有密切的联系。序言课中有目的地加强这种联系

有助于消除学生怕学、厌学的心理障碍，增强学好立体几何的信心。

当教师把模型放上讲台时，学生认出模型中的正方体、圆柱体、圆锥体……教师指出：

“这些几何体在小学大家就已经学过，现在学习立体几何，就是要进一步研究这些几何体的

性质。”这样学生就会感到立体儿何并不陌生。

教师还可以问学生：“两条直线相交有几个交点？两个平面相交有几条交线？”用教具

演示后学生很快就能掌握。再问：“儿个点可以确定一条直线？儿个点可以确定一个平面？”

学生会不加思索回答："两个点可以确定一条直线，两个点也可以确定一个平面。”这时教

师用两个指头试图将一块硬纸板顶住，但是无论怎样变化位置总不能成功，引得学生一阵哄

笑，不少学生也拿出作业本做试验。教师抓住这一时机告诉学生：“立体几何与平面几何有

密切的联系，它们研究的对象虽然不同，但研究的方法和研究的内容（性质、画法、计算和

应用）基本相同。”这就能使学生认识到学习立几是学习平几的自然延续。

三、引导学生探讨如何学好立体几何是序言课教学的落脚点。

有些老师常在序言课上板着面孔提出要“认真听讲，认真做好作业，课前要预习，课后

要复习”的要求，这些自学生跨进校门之日起就听惯了的老调，并没有多少效果。我们的做

法是让学生自由讨论，各抒己见。因为通过以上活动，学生对立体儿何的兴趣被点燃以后，

便自然想到：“我们怎样才能学好立几知识呢？经过讨论以后，教师再归纳得出学好立几的

主要方法：①加强与平儿知识的联系，注意用对比的方法区别异同，掌握实质；②注意对实

物、教具和模型的观察和分析，培养空间想象能力；③自己动手制作模型，以加深对立几知

识的理解和应用。为了学好第一章，我们要求学生准备好硬纸板三块（代平面用），竹针或

铅丝四根（代直线用），在学习中随时进行模型演示，以逐步建立起空间观念。

平面

立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性

质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学，使学生的认识

水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推

理能力和分析问题、解决问题的能力.

平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数

学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主

要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.

一、素质教育目标

（-）知识教学点

1.“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性

质是初中平面儿何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点.

2.虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分,

是无限延展的.

3.平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别.

（-）能力训练点

1.通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性.

2.由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力.

（三）德育渗透点

通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、

直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点.

二、教学重点、难点及解决办法

1.教学重点

（1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念.

（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示.

（3）理解平面的无限延展性.

2.教学难点

（1）理解平面的无限延展性.

（2）集合概念的符号语言的正确使用.

3.解决办法

（1）借助实物操作，抽象出“平面”概念.

（2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性.

三、课时安排

1课时.

四、学生活动设计

准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根.纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同

画出的图形比较，小竹签用于表示直线.

五、教学步骤

（-）明确目标

1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”.

2.理解平面的无限延展性.

3.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系.

（二）整体感知

“立体几何”作为-门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授

法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力.

本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体

几何”的研究对象，研究方法，学习立体儿何的方法和作用等.而后引入“平面”概念，以类比的方式，

联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点.在进行“平面的画法”教学时，不仅要

会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）.在用字母表示

点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学

者的学生便于比较、记忆和运用.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

A.引言

师：以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形的性质、画法、计算、应用.今天我们开始

学习一门新的学科——立体几何.立体几何的研究对象是空间图形的性质、画法、计算及应用.它使得我

们的学习内容从二维平面上升到三维空间，因此，需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间

图形问题转化为二维平面图形问题，这也是学好立体儿何的一个重要方法.

《立体几何》一书共分两章：第一章“直线和平面”是立体几何的基础知识和理论基础；第二章“多

面体和旋转体”是理论知识的运用，并被广泛地应用于日常生产生活之中.

B.平面

1.平面的特点

师：现在我们来看手中的纸盒，它是由几个面构成的？

生：6个面.

师：对，这六个面给我们以平面的形象，还有哪些面留给我们平面的形象呢？

生：桌面、黑板、地面、海平面等.

师：对，这些物体是生活中所说的平面，但还不能算是数学意义上的平面，因为它们是有限的面.再

如海平面上有波涛，当我们想象它是一平如镜时，它有什么特点呢？

生：很大、很平.

师：对，平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.一个平面可

以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条

直线的一部分.因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分.

2.平面的画法

师：同学们从小就会画平面，是否记得用什么图形来表示？

生：平行四边形.

师：对，通常画平行四边形来表示平面，但有时不，如四面体（图1T）,又如三个平面相交且

交于一点（图1—2）.

注意，在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°,横边画

成邻边的两倍（图1-3）；如果是非水平平面，只要画成平行四边形，如直立平面（图1—4）；

如果儿个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画

成虚线或不画（图『5）.请看课本中有关内容.

3.平面的表示法

师：平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母a、B、Y的前面加“平面”二字，如

平面a、平面6、平面丫等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图1—3、图1—5）；

（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图1-4）；（3）用表示平行四边形的两

个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图1-4）.

4.点、直线、平面之间的基本关系

师：空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直

线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来

表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平

面则用一个小写的希腊字母表示（以下各种情形要用小竹签和纸板示范）.参图1—6.

师：可见，集合中“G”的符号只能用于点与直线，点与平面的关

系，“U”和"n"的符号只墟用于直线与直缘直线与平面.平面

与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.

【练习】

［练习一］1.能不能说一个平面长4米，宽5米？为什么？能不能说矩形长3米，宽2米？

“这个矩形是平面的一部分”的说法是否正确？

2.观察图1一7、图1一8的甲、乙两个图形，用模型来说明它们的位置有什么不同，并

用字母表示各平面.

直线a在平面a内

（或平面a经过直&ua

线a）

-----------------a

直线a在平面a外（

或直线a与平面aMa

不相交）

两个

集合

直线a与平面a相交>间的

于点Aana=A关系

直线a与直线b相交

于点Aaflb=A

平面a与平面p相

交于直线a

anB二a

附注：（1）讲评图1—7时，用书作示意，对直线的可见部分与不可见部分加以区别.

图1-7图1-8

（2）讲评图1―8时，出示模型，对可见棱与不可见棱加以区别.

［练习二］试用集合符号表示：

（1）点A在直线1上，点B不在直线上；

（2）点A在平面a内,而点B不在平面a内.

（四）总结、扩展

通过这一节课的学习，我们知道了立体几何是在学习了平面几何的基础上对几何的继续研究，研究的

对象是空间图形，主要研究空间图形的画法、性质、计算以及应用.今天首先学习了平面的画法和表示法,

以及点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换，为下一节课学习平面

的基本性质作准备.

六、布置作业

1.阅读立体儿何课本有关“平面”的内容.

2.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A在平面a内，但不在平面B

内；（2）直线a经过不属于平面a的点A,且a不在平面a内；（3）平面a与平面B相交

于直线1,且1经过点P;（4）直线1经过平面a外一点P,且与平面a相交于点M.

3.礴以下集合语言，分月酢出留裔，（1）A£a,Ce

AB.⑵AEa,auaJUAdaj(3)aTlb=P,ada,bua.

4.预习“平面的基本性质”.

七、板书设计

Hl-3»S1-4^S1-5C1)(2)(3)

1.杆*点(4)(S)(<)

fli-uai-2(7)(8)(9)

3.捻4中皿WE4笑Kfl14

平面的基本性质（一）

平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据.平面的基本性质是

通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的

数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间.

一、素质教育目标

（-）知识教学点

平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的.

1.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过

直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平

面的方法.

2.公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.

3.公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间

问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体儿何的问题得以在确定的平面内充分使

用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.

4.“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一

个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个"既保

证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以

作且只能作一个"与“有且只有一个"是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要

从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.

5.公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，

为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述.

（-）能力训练点

1.通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力.

2.通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力.

3.将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高儿何语言水平.

（三）德育渗透点

借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及

公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的

证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想.

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1.教学重点

（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用.

（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义.

（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论.

（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题.

2.教学难点

（1）对“有且只有一个”语句的理解.

（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式.

（3）确定两相交平面的交线.

3.解决办法

（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对

“有且只有一个”语句的理解.

（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用.

三、课时安排

2课时.

四、学生活动设计

图1-9

准备好两块纸板，-块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍

短.针对三条公理设计不同的活动，对公理1,可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑

板上，完全密接；对公理2,可用两块硬纸板进行演示（如图1—9）；对公理3,使用图1

—10所示的模型进行演示.

五、教学步骤

图1-10

（）明确目标

（1）理解并熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论.

（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译.

（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推

论.

（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题.

（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法.

（二）整体感知

本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又

有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教

学.首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问

结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证.其中公理

1应以直线的“直"和''无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平

面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不

在同一直线上”.通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有

一个”语句的理解.对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”

的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培

养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的

书写格式和符号.最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，

并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意.

三、教学重点、难点的学习与完成过程

A.公理

师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性

质归纳成三条公理.请同学们思考下列问题（用幻灯显示）.

问题1：直线1上有一个点P在平面飞内，直线1是否全部落在平面a内？

问题2：直线1上有两个点P、Q在平面a内，直线1是否全部落在平面a内？

（用竹针穿过纸板演示问题1,用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2,学生思考回答后教师归

纳.）

这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这

个平面内.这里的条件是什么？结论是什么？

生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（a）内，结论是：直线（a）在平面（a）

内.

师：把条件表示为AGa,8£13且人£（1,B@a,把结论表示

为aua,所以结论也可以说平面a经过直线a.用图群示力（图I-

11).

图1-11

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平血，如泥瓦工用直的木条刮

平地面上的水泥浆.

在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

生：不是，因为平面是无限延展的.

师：对，根据公理1,直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延仰的，如果平面是有

限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1一9一（1）给学生看）.问：两个平

面会不会只有一个公共点？

生甲：只有一个公共点.

生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.

师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个

公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）.可见，这

无数个公共点在--条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的

公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2,其条件和结论分别是什

么？

生：条件是两平面（a、B）有一公共点（A）,结论

是：它们有且只有一条过这个点的直线.

师：条件表示为A®a,A®B,结论表示为：aAB=a,AGa,图形表示为图1—9—（2）

或图1-12.

公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法.

下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：

问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？

问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？

问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面?

（教师演示图1一10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）.这说明，经过不在同一直

线上的三点，有且只有一个平面，即公理3,其条件、结论分别是什么？

生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C）,结论是：过这三点（A、B、C）有且只有

一个平面（a）.

酮条fl嗑示为CW直线AB,结论奏示为，有招fef平面，使

AGa,Bea,Cea,图形表示为图1-13,公理3是确定平面位置的依据之一.

图1-13

以上三个公理是平面的基本性质.其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在

数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证

图形存在.也就是说，如果有顶多只有一个.因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命

题时，要证明两个方面——存在性和唯一性.

B.推论

师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论.

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.说出推论1的条件和结

论.

生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面.

师（板书）.已如宜绛吸A*.

求证：经过a和A有且只有，一个平面.

证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C.

图1-14

■:h电BW4CE弧

；.A、B、C三点不在同一直线上.

.♦.过A、B、C三点有且只有一个平面a（公理3）.

/.Bea,Cea.

.".acQ.

即过直线a和点A有一个平面a.

“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面3.

'.'acB,BE如CEa.

/.BGB,ceP.

过不共线三点A、B、C有两个平面a、B,这与公理3矛盾.

假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面B,而只能有一个平面a.

这里证明“唯一性”时用了反证法.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

图1-15

其条件、结论分别是什么？

生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面.

师（板书）：已知：直线afl直线b=A.

求证：经过a、b有且只有一个平面.

证明：“存在性”.

在a、b上分别取不同于点A的点B、C,得不在同一直线上的三点A、B、C,则过A、B、

C三点有且只有一个平面a（公理3）.

VAGa,Bea,AGa,Bea,

.*.ABc=aVacaC&9ID.

同理bua.

...平面a是经过相交直线a、b的一个平面.

“唯一性”.

设过直线a和b还有另一个平面B,则A、B、C三点也一定都在平面B内.

过不共线三点A、B、C就有两个平面a和0.

二平面a与平面P重合.

过直线a、b的平面只有一个.

这里证明唯一性时，用的是“同一法”.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.（证明作为思考题）

C.练习

1.下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，a、B表示平面）

A.VAGa,Bea,AABGa.

B.aGa,ad8,aA3=a.

C.,.ACa,aca.AA^a.

D.,:人华。,au。..,.A<a.

其中命题和叙述方法都正确的

是.[]

2.下列推断中，错误的是

[]

A.AELA£a,BELBEanlu。

B.A€A€P,BEa,B€P=AB

C.l@a,A€l=>A«a

D.A、B、Cea,A、B、CG3,且A、B、C不共

线na与。重合.

3.一个平面把空间分成一部分，两个平面把空间最多分成一部分，三个平面把空间

最多分成一部分.

4.确定经过A、B、C三点的平面与已知平面a、B的交线.（图1—16）

四、总结、扩展

本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论.其中公理1用于判定

直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据.“确

定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词.“有”即“存在”，“只有一个”即“唯

一”.所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性.证

明的方法是反证法和同一法.

图1-17

五、布置作业

1.复习课本有关内容并预习课本例题.

2.课本习题（略）.

3.确定经过A、B、C三点的平面与已知平面a、0、丫的交线.

4.思考题：（1）三个平面把空间可能分成儿部分？（2）如何证明推论3?

六、答案

练习：1.D,2,C,3.图1—18.

作业：3.图1—19.

图1-18

七、板书设计

平面的基本性质

推论1推论2推论3

符号语言图形作用

公理1:EI区日

公理2：

公理3：

平面的基本性质（二）

平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据.以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸

点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题

的基础.

一、素质教育目标

（-）知识教学点

掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法.

1.证明若干点或直线共面通常有两种思路

（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；

（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②.

2.证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这

两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2.

3.证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点,

如练习.

（二）能力训练点

通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力.

（三）德育渗透点

通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性.特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又

从有理有据的论证过程中培养严谨的学风.

二、教学重点、难点、疑问及解决办法

1.教学重点

（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题.

（2）证明过程的书写格式与规则.

2.教学难点

（1）画出符合题意的图形.

（2）选择恰当的公理或推论作为论据.

3.解决办法

（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式.

（2）利用实物，摆放成符合题意的位置.

三、学生活动设计

动手画图并证明.

四、教学步骤

（一）明确目标

1.学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”.

2.论据正确，论证严谨，书写规范.

3.掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论.

（-）整体感知

立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段.首先应指导学生学

会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证.其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生

确定平面.由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式.教师

在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，

加深对平面基本性质的理解.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

A.复习与讲评

师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？

（生回答公理1,教师板画图1一20示意.）

师：具备哪些条件可以确定一个平面?

（生4人回答，教师板画图1-21示意.）

师：上一节课后布置思考证明推论3,现在请同学们共同讨论这个证明过程.

图1-22

已知：直线a〃b.

求证：经过a、b有且只有一个平面.

证明：“存在性”.

；a〃b,

；.a、b在同一平面a内（平行线的定义）.“唯一性”——在直线a上作一点A.

假设过a和b还有一个平面B,则AG8.

那么过b和b外一点A有两个平面a和B.

这与推论1矛盾.

注：证唯一性，用了“反证法”.

B.例题与练习

师：先看怎样证几条线共面.

例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.分析：四条直线两两相

交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两

种情况.

(1)已知:dDa=P,dnb=Q.

dAc=R,a、b、c相交于点0.

求证：a、b、c>d共面.

证明：；dCla=P,

二过d、a确定一个平面a(推论2).

同理过d、b和d、c各确定一个平面B、Y.

•.♦06a,0Gb,Oec,

AOGa,0GB,0GY.

...平面a、B、Y都经过直线d和d外一点0.

，a、B、Y重合.

；.a、b、c、d共面.

注：本题的方法是“同一法”.

(2)已知：dAa=P,dCb=Q,dAc=R,a

Cb=M,bAc=N,aAc=S,且无三线共点.

求证：a、b、c、d共面

证明：；dAa=P,

，d和a确定一个平面a（推论2）.

VaAb=M,dClb=Q,

/.MGa,Qea.

工MQuaflPbua.

HSCca.

.♦.a、b、c、d四线共面.

注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系.

②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏.

③结合本例，说明证诸线共面的常用方法.

例2如图1—25,已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点,

且EF交GH于P.

求证：P在直线BD上.

分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点.

已知：EFAGH=P,EGAB、FeAD,GeBC,HeCD,

求证：B、D、P三点共线.

证明：；ABnBD=B,

.•.AB和BD确定平面ABD（推论2）.

VAGAB,DeBD,

ADc平面ABD.

E£AB,F£AD,

..EFc^BABD.

.•.EFCGH=P,

；.Pe平面ABD.

同理,PC平面BCD.

：BDu平面ABD,BDu平面BCD.

平面ABDA平面BCD=BD.

.•.P6BD即BD、P三点共线.

注：结合本例，说明证三点共线的常规思路.

练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点.

分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点.

图1-26

已知:如图1-26,aAB=a,PAY=b,aClY=c,bAc=p.

求证:pGa.

证明:vbnc=p,

pGb.

,/Pny=b,

ApeB.

同理，pGa.

又•••aCB=a,

ApEa.

师：以上例、习题分别证明了四线共面.三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，

根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法.除了例1、例2两

类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条

用幻灯显示）.

（四）总结、扩展

本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想.证明依据是平

面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法.在证明的书写中，要求推

论有据，书写规范.

五、布置作业

1.课本习题（略）.

2.求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内.

3.已知：^ABC在平面a外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交a于M、N、R,求

证：M、N、R三点共线.

4.如图1-27,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证:

点Dl、El、Fl、B共面.

图1-27

（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定个平面，再证明其它的点也在这个平面

内.本题先连结D1E并延长交DA延长线于G,连结D1F并延长交DC延长线于H,可证GH是D1、

E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上.）

六、板书设计

公差3及其三T4战霸兵Hi（1）■2

XSCSI-31）(Ml

9

swm：

sura：

平行直线

一、素质教育目标

(-)知识教学点

1.公理4,即平行公理.

2.等角定理及推论.

(二)能力训练点

1.利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理.

2,充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可

能性与唯一性.

3.通过本节课的学习，让学生认识到在平面儿何中成立的结论或定理等，在用于非平面

图形时，须先证明.

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：让学生掌握平行公理及其应用.

2.教学难点：等角定理证明的掌握及其应用.

3.教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且这两个角的方

向相同.

三、课时安排

1课时.

四、教与学的过程设计

(-)复习两条直线的位置关系(幻灯显示)

师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？

生：三种：相交、平行、异面.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.相交直线和平行直

线也称为共面直线.

师：异面直线的画法常用的有哪几种？

生：三种.如图1—38,a与b都是异面直线.

师：如何判定两条直线是异面直线？

生：（1）间接证法：根据定义，一般用反证法.

图1-38

（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的

直线，和平面内不经过读点的直线是异面直线.京CHi-39,Bea,

AEa,aca.Ad如与AB为弁面直线.

图1-39

（二）平行公理

师：在平面几何中，如图1—40,若2〃卜c//b,则a与c平行吗？

图1-41

生：平行.

师：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则a〃c.这个命题在空

间中是否成立呢？

师：实际上，在空间中，若2〃13,c〃b,则a〃c也成立.我们把这个结论作为一个公理，

不必证明，可直接应用.

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

如图1-41,三棱镜的三条棱，若AA'〃BB',CC'〃BB',则有AA'//CC.

下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理.

例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图上41四边形），E、H分别是边

AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD

上内点，且鲁•黑京证।四现EFGH整觑.

师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边

不平行；或证明一组对边平行且不相等.具体用哪种方法，我们来分析一下题意：E、H分

别是边AB、AD的中

点，由平面几何中的三角障中位线定理，寿，EH|BDfiEH=^BDj

又由詈•黑等树M争绮■城可怖FGJBD,

vJiDVLI5

且FG=?BD.由上磁些条件即可证明微MFGH.

图1-42

证明：如图1-42,连结BD.

；EH是AABD的中位线，

EH=：BD.

又在ABCD中,3■得g

.'.FG|BD,FG=|BD