命题及其关系充分条件与必要条件

命题及其关系充分条件与必要条件第1页/共58页忆一忆知识要点1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题.其中____________的语句叫真命题，_____________的语句叫假命题.判断真假判断为真判断为假2.四种命题及其关系(1)四种命题第2页/共58页原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆互逆互否互否(2)四种命题间的逆否关系忆一忆知识要点第3页/共58页原命题逆命题否命题逆否命题假真真真真真真真真假假假假假假假①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.(3)四种命题的真假关系忆一忆知识要点第4页/共58页①pq,相当于AB,即从集合角度理解：(1)若pq,则p是q的____________.3.充分条件与必要条件(2)若q

p,则p是q的___________.或②q

p,相当于B

A,即(3)若qp,则p是q的___________.③pq,相当于A=B,即充分条件必要条件充要条件忆一忆知识要点(设集合A＝{x|x满足条件p},B＝{x|x满足条件q})或第5页/共58页DC题号答案12345第6页/共58页四种命题的关系及真假判断例1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x,y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.②④

(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例.对于①，若log2a>0，则a>1f(x)＝logax在其定义域内是增函数;对于③，其逆命题是“若x＋y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题.第7页/共58页有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题的序号为________.①的逆命题是“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,真；①③②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0

有实根,其逆否命题与原命题是等价命题,真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假.第8页/共58页(2)p：x＋y＝8，

q：x＝2且y＝6，∴p是q的充要条件.即

q是

p的充分不必要条件，显然

qp，所以p是q的充分不必要条件.充分、必要、充要条件的概念与判断

解:第9页/共58页充分、必要、充要条件的概念与判断

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.所以pq故p是q的充分不必要条件.

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.第10页/共58页①④第11页/共58页

对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan＋1}是等比数列;但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；

对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；

对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；第12页/共58页充要条件的证明例3.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.第13页/共58页

(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.第14页/共58页

已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.第15页/共58页

已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.第16页/共58页01等价转化思想在充要条件关系中的应用(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简.(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论.第17页/共58页[8分][12分]第18页/共58页∵p是q的充分而不必要条件，[12分]第19页/共58页

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.第20页/共58页1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提,也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时,应把其中一个(或n个)作为大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的.3.命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假.

(2)等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.第21页/共58页1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.2.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.第22页/共58页作业布置作业纸:课时规范训练:P.1-2第23页/共58页

预祝各位同学，2013年高考取得好成绩!第24页/共58页第25页/共58页一、选择题二、填空题题号123答案DBAA组

专项基础训练题组第26页/共58页三、解答题第27页/共58页三、解答题第28页/共58页第29页/共58页一、选择题二、填空题题号123答案ACBB组专项能力提升题组7.3或4第30页/共58页三、解答题第31页/共58页1（2）∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}.第32页/共58页第33页/共58页第34页/共58页第35页/共58页第36页/共58页4.充分(必要、充要)条件的判别方法①分清条件与结论②找推式(尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件）③下结论(指出条件是结论的什么条件）(1)定义法判断(2)集合法判断(利用集合之间的包含关系)(3)转化法判断(等价命题)(4)传递法判断

从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.忆一忆知识要点第37页/共58页(1)定义法：判断p是q的什么条件，实际上就是判断p⇒q或q⇒p是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.①若p⇒q，则p是q的充分条件；②若q⇒p，则p是q的必要条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；⑤若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；⑥若p⇏q且q

⇏

p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.充分(必要、充要)条件的判别方法忆一忆知识要点第38页/共58页(2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若AB，则p是q的充分非必要条件；③若A⊇B，则p是q的必要条件；④若AB，则p是q的必要非充分条件；⑤若A=B，则p是q的充要条件；⑥若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既非充分条件也非必要条件.忆一忆知识要点第39页/共58页(3)用命题的等价性判断：(“若p，则q”)①原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；②原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；③原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；④原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.同时要注意反例法的运用.(4)传递法判断忆一忆知识要点第40页/共58页例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：题型一四种命题的相互关系（1）若A∪B=U，则A=∁UB.逆命题否命题逆否命题若A=∁UB,则A∪B=U若A∪B≠U,则A≠∁UB若A≠∁UB,则A∪B≠U真命题真命题假命题写成“若p，则q”的形式写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假思维启迪第41页/共58页(2)若x+y=5,则x=3且y=2.逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题.否命题：若x+y≠5，则x≠3或y≠2，真命题.逆否命题：若x≠3或y≠2，则x+y≠5,假命题.题型一四种命题的相互关系例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：判断：若x+y≠5，则x≠3或y≠2.第42页/共58页【1】若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不对C设p：若a，则b，则q：若b，则a，

r：若┓a，则┓b.所以q是r是逆否命题.题型一四种命题的相互关系练一练第43页/共58页【2】若mn<0,则方程mx2-x＋n＝0有两个不相等的实数根.若方程mx2-x＋n＝0有两个相等的实数根或无实数根，则mn≥0.逆否命题：若方程mx2-x＋n＝0有两个相等的实数根，则mn≥0.题型一四种命题的相互关系练一练第44页/共58页①命题的否定：零的平方不等于0.否命题：非零数的平方不等于0.②命题的否定：平行四边形的对角线不相等或不互相平分.否命题：若四边形不是平行四边形,则它的对角线不相等或不互相平分.【3】写出下列命题的否定与否命题①零的平方等于0.②平行四边形的对角线相等且互相平分.题型一四种命题的相互关系练一练第45页/共58页题型二充分条件、必要条件的判断例2.下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；②p:,q:y=f(x)是偶函数；③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UAA.①②B.②③C.③④D.①④D

充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；（2）常用方法有：定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)等.第46页/共58页练一练

【1】a＞b成立的充分不必要的条件是()A.ac＞bcB.DC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2【2】已知p:|2x-3|≥1;q:,则

p是

q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件A第47页/共58页A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件B【3】练一练【4】“sinA>sinB”是“A>B”的________________条件.既不充分又不必要充要【5】在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的_____条件.【6】在△ABC中,“B=60°”是“A,B,C成等差数列”的

__________条件.充要第48页/共58页7.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的()BA.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件由A∪B=C，则A⊆C且B⊆C，故x∈A,则x∈C．8.已知P:x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9,则P是Q的

___________________条件.解:逆否命题是x＝2000或y＝9⇒x＋y＝2009不成立，既不充分又不必要显然其逆命题也不成立.题型二充分条件、必要条件的判断第49页/共58页例2.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以∆＝m2－4≥0，

所以方程x2＋mx＋1＝0有实根.

设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x2＝1＞0.

所以x1、x2同号.

又因为x1＋x2＝－m≤－2，

所以x1、x2同为负根.题型三充要条件的证明第50页/共58页证明：(2)必要性:因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1,x2均为负，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2所以m≥2.综合(1)(2)知命题得证.例2.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.题型三充要条件的证明第51页/共58页解得0<a≤1.

1.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.解:(1)a=0适合.(2)a≠0时，显然方程没有零根.①若方程有两异号实根，则a<0；②若方程有两个负的实根，则

因此，关于x的方程ax2+2x+1=