高中数学几何综合训练题

试卷第=page11页，总=sectionpages33页试卷第=page11页，总=sectionpages11页1．（1）尝试探究如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且.①的值为多少；②直线与直线的位置关系；（2）类比延伸如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用若，，在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长.3．综合与实践数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形，其中，，连接，、、分别为边、、的中点，连接、.操作发现：小红发现了：、有一定的关系，数量关系为_____________________________；位置关系为_________________.类比思考：如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形绕点旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接、并延长交于一点）深入探究：在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形，其中，在三角形外侧以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，分别取斜边、与边的中点、、，连接、、，试判断三角形的形状，并说明理由.4．如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′，这时再分别求出∠BP′P和∠AP′P的度数．解答：（1）请你根据以上分析再通过计算求出图2中∠BPC的度数；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=4，PC=2，求∠BPC的度数．5．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是（用含a，b的代数式表示）．6．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可以得出结论：h=h1＋h2.类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论.拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=－3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标.7．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点是等边三角形内一点，，，.求的度数.为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为________，综上可得的度数为_______；（2）类比迁移如图，点是等腰内的一点，，，，.求的度数；（3）拓展应用如图，在四边形中，，，，，请直接写出的长.8．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF。（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF。（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。9．（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC边上，BP＝1．①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则＝．②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时的值．如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想：将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究：将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸：将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．11．已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为；[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论．12．（问题提出）如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．13．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．（）如图，四边形中，平分，．求证：四边形为等邻边四边形．（）如图，中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．（）如图，在等邻边四边形中，，，和为四边形对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系．14．（操作发现）如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；（类比探究）如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．15．（1）【特殊发现】如图1，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,连接BD,过A作AF⊥BD,交BD于E,交BC于F,若BF=1，BC=3，则AB·CD=；（2）【类比探究】如图2，在线段BC上存在点E,F，连接AF,DE交于点H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD,求证：AB·CD=BF·CE；（3）【解决问题】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM∥BC,在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H,使∠FHC=∠ABC,问：DF·BC是否为定值？若是，请求出，若不是，请说明理由.16．问题发现已知：如图1，等边三角形A1A2A3，点P是A1A2下方的任意一点，∠A1PA3＝∠A1PA2＝60°，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到是定值．（1）这个定值是．（2）请写出上述证明过程．类比探究如图2，把（1）中条件“等边三角形A1A2A3，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，”改为“正方形A2A1A3A4，∠A1PA4＝∠A4PA3＝∠A3PA2＝45°，”其余条件不变．（3）请问：还是定值吗？（4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．17．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=13AD，求S尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有EGAF=23，S△BCES△ABC=23，S四边形ABECS拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求AEAD18．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．19．（Ⅰ）如图1，在等边中，点是上的任意一点（不含端点,），连结，以为边作等边，并连结．求证：．（Ⅱ）【类比探究】如图2，在等边中，若点是延长线上的任意一点（不含端点），其它条件不变，则是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出,,三者间的数量关系，并给予证明．（Ⅲ）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点是上的任意一点（不含端点），连结，以为边作等腰，使，试探究与的数量关系，并说明理由．20．已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=．（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（图2），试计算BD+BE的值是多少？（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）21．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．22．（1）问题发现如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接BD，CE交于点F．填空：①的值为；②∠BFC的度数为．（2）类比探究如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点P．求的值及∠APC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋装，AF，CE所在直线交于点P，若DF＝，AB＝，求出当点P与点E重合时AF的长．23．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠