运筹学1至6章习题参考答案

运筹学1至6章习题参照答案第1章线性规划工厂每个月生产A、B、C三种产品,单件产品的原资料耗费量、设施台时的耗费量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23产品资源ABC资源限量资料(kg)42500设施(台时)31400利润(元/件)101412依据市场需求,展望三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试成立该问题的数学模型,使每个月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为maxZ10x114x212x31.5x11.2x24x325003x11.6x21.2x31400150x1250260x2310120x3130x1,x2,x30建筑公司需要用5m长的塑钢资料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需资料规格及数量如表1－24所示：表1－24窗架所需资料规格及数目型号A型号B每套窗架需要长度（m）数目(根)长度(m)数目(根)资料A1：22B1：2A2：3B2：23需要量（套）300400问如何下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．【解】第一步：求下料方案，见下表。方案一二三四五六七八九十需要量B12111000000800B2201002110001200A120010010210600A20001002023900余料(m)0111010第二步：成立线性规划数学模型设xj（j=1,2,，10）为第j种方案使用原资料的根数，则（1）用料最少量学模型为10minZxjj12x1x2x3x4800x22x5x6x71200x3x62x8x9600x42x72x93x10900xj0,j1,2,L,10（2）余料最少量学模型为minZ0.5x20.5x3x4x5x6x80.5x102x1x2x3x4800x22x5x6x71200x3x62x8x9600x42x72x93x10900xj0,j1,2,L,10某公司需要拟订1～6月份产品A的生产与销售计划。已知产品A每个月尾交货，市场需求没有限制，因为库房容量有限，库房最多库存产品A1000件，1月初库房库存200件。1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。表1－25月份123456产品成本(元/300330320360360300件)350340350420410340销售价钱(元/件)1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，成立数学模型；2）当1月初库存量为零而且要求6月尾需要库存200件时，模型如何变化。解】设xj、yj（j＝1，2，，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为maxZ300x1350y1330x2340y2320x3350y3360x4420y4360x5410y5300x6340y6x1800x1y1x2800x1y1x2y2x3800x1y1x2y2x3y3x4800x1y1x2y2x3y3x4y4x5800x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6800（1）x1y1200x1y1x2y2200x1y1x2y2x3y3200x1y1x2y2x3y3x4y4200x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5200x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6200xj,yj0;j1,2,L,6（2）目标函数不变，前6个拘束右端常数800改为1000，第7～11个拘束右端常数200改为0，第12个拘束“≤200”改为“＝－200”。某投资人现有以下四种投资时机,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年利润率是20％，下一年可持续将本息投入赢利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，利润率是50％，下一年可持续将本息投入赢利，这类投资最多不超出2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，利润率是60％，这类投资最多不超出万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年利润率是30％，这类投资最多不超出1万元．投资人应采纳如何的投资决议使三年的总利润最大，成立数学模型.【解】是设xij为第i年投入第j项目的资本数，变量表以下项目一项目二项目三项目四第1年x11x12第2年x21x23x34第3年x31数学模型为maxZ0.2x110.2x210.2x310.5x120.6x230.3x34x11x12300001.2x11x21x23300001.5x121.2x21x31x3430000x1220000x2315000x3410000xij0,iL,3;jL41,1,最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720炼油厂计划生产三种成品油，不一样的成品油由半成品油混淆而成，比如高级汽油能够由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混淆，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。表1－26成品油半成品油辛烷值蒸汽压：公斤／平方厘米利润(元/桶)

高级汽油一般汽油中石脑油中石脑油重整汽油重整汽油裂化汽油裂化汽油≥94≥845

航空煤油一般煤油轻油、裂化轻油、裂化油、重油、残油、重油、残油按油10:4:3:1调合而成13半成品油的辛烷值、气压、及每日可供给数目见表

1－27。表1－27半成品油1中石脑油2重整汽油3裂化汽油4轻油5裂化油6重油7残油辛烷值80115105蒸汽压：公斤／平方厘米每日供给数目200010001500120010001000800(桶)问炼油厂每日生产多少桶成品油利润最大，成立数学模型。解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,,7)种半成品油的数目（桶）。总利润：Z5(x11x12x13)4.2(x21x22x23)3(x34x35x36x37)1.5(x44x45x46x47)高级汽油和一般汽油的辛烷值拘束80x11115x12105x1380x21115x22105x2394x11x12x1394,84x22x23x21航空煤油蒸气压拘束x341.5x350.6x36＋0.05x371x34x35x36＋x37一般煤油比率拘束x44:x45:x46:x4710:4:3:1即x4410,x454,x463x454x463x471半成品油供给量拘束x11x212000x12x221000x13x231500x34x441200x35x451000x36x461000x37x47800整理后获取maxZ5x115x125x134.2x214.2x224.2x233x343x353x363x371.5x441.5x451.5x461.5x4714x1121x1211x13014x2121x2211x2304x2131x2221x2300.5x350.4x360.95x3704x4410x4503x454x460x463x470x11x212000x12x221000x13x231500x34x441200x35x451000x36x461000x37x47800xij0;i1,2,3,4;j1,2,L,7图解以下线性规划并指出解的形式：maxZ5x12x22x1x28x13x25x1,x20【解】最优解X＝（3，2）；最优值Z=19maxZx14x2x14x25(2)x13x22x12x24x1,x20【解】有多重解。最优解X（1）＝（0，5/4）；X（2）＝（3，1/2）最优值Z=5minZ3x12x2x12x211x14x210(3)2x1x27x13x21x1,x20【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10，有独一最优解minZ4x16x2x12x28x1x28x23x10,x20【解】最优解X＝（2，3）；最优值Z=26，有独一最优解maxZx12x2x1x22x13x26x1,x20【解】无界解。minZ2x15x2(6)

x12x26x1x22x1,x20【解】无可行解。将以下线性规划化为标准形式minZx16x2x3(1)

x1x23x3155x17x24x33210x13x26x35x10,x20,x3无穷制【解】（1）令x3x3'x3'',x4,x5,x6为松驰变量，则标准形式为maxZx16x2x3'x3''x1x23x3'3x3''x4155x17x24x3'4x3''x53210x13x26x3'6x3''x65x1,x2,x3',x3'',x4,x5,x60minZ9x13x25x3|6x17x24x3|20x15x18x28x10,x20,x30【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为(3)

maxZ9x13x25x36x17x24x3x4206x17x24x3x520x1x65x18x28x1,x2,x3,x4,x5,x60maxZ2x13x21x15x1x21x10,x20【解】方法1：maxZ2x13x2x1x31x1x45x1x21x1,x2,x3,x40方法2：令x1x11,有x1＝x11,x1514maxZ2(x11)3x2x14(x11)x21x1,x20则标准型为maxZ22x13x2x1x34x1x20x1,x2,x30maxZmin(3x14x2,x1x2x3)x12x2x330(4)4x1x22x3159x1x26x35x1无拘束,x2、x30【解】令y3x14x2,yx1x2x3,x1x1x1，线性规划模型变成maxZyy3(x1x1)4x2yx1x1x2x3x1x12x2x3304(x1x1)x22x3159(x1x1)x26x35x1,x1,x2、x30标准型为maxZyy3x13x14x2x40yx1x1x2x3x50x1x12x2x3x6304x14x1x22x3x7159x19x1x26x3x85x1,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x80设线性规划maxZ5x12x22x12x2x3404x12x2x460xj0,j1,L,4取基B121、B2＝20，分别指出B1和B2对应的基变量和非基变量，求出基本4021解，并说明B1、B2是否是可行基．【解】B：x、x为基变量，x、xT为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0），B是可行基。113241B2：x2、x4是基变量，x1、x3为非基变量，基本解X=（0，20，0，100）T，B2是可行基。分别用图解法和纯真形法求解以下线性规划，指出纯真形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．maxZx13x2(1)

2x1x222x13x212x1,x20【解】图解法纯真形法：C(j)1300bRatioC(i)BasisX1X2X3X40X3-2[1]10220X42301124C(j)-Z(j)130003X2-21102M0X4[8]0-316C(j)-Z(j)70-3063X2017/21X1103/4C(j)-Z(j)0045/4对应的极点：基可行解可行域的极点(1)、（0，0）X=（0，0，2，12）(2)、（0，2）X=（0，2，0，6，）X(3)=（3,7,0,0)、(3,7)4242最优解X(3,7),Z45424minZ3x15x2x12x26x14x210x1x24x10,x20【解】图解法纯真形法：C(j)-3-5000bRatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X301210063X401[4]01010X501100144C(j)-Z(j)-3-50000X30[]01012X2-510010X500012C(j)-Z(j)000X1-3102-102MX2-501024X5000[]100C(j)-Z(j)000-16X1-310-1022X2-50110-12X4000-3120C(j)-Z(j)00201-16对应的极点：基可行解可行域的极点(1)、（0，0）X=（0，0，6，10，4）(2)、（0，）X=（0，，1，0，，）X(3)=（2，2，0，0，0）(2，2)X(4)=（2，2，0，0，0）（2，2）最优解：X=（2，2，0，0，0）；最优值Z＝－16该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。用纯真形法求解以下线性规划maxZ3x14x2x3(1)

2x13x2x34x12x22x33xj0,j1,2,3【解】纯真形表：C(j)34100R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X402[3]11044/3X501220133/2C(j)-Z(j)341000X24[2/3]11/31/304/32X50-1/304/3-2/311/3MC(j)-Z(j)1/30-1/3-4/30－16/3X1313/21/21/202X5001/23/2-1/211C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-6最优解：X=（2，0，0，0，1）；最优值Z＝6maxZ2x1x23x35x4x15x23x37x4303x1x2x3x4102x16x2x34x420xj0,j1,L,4【解】纯真形表：C(j)21-35000R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X50153-710030MX603-1[1]10101010X702-6-1[4]001205C(j)-Z(j)21-35000X509/2-11/25/40107/465M[1/2X60X45

5/25/40]1/2-3/2-1/41

01-1/4510001/45MC(j)-Z(j)-1/217/2-7/4000-5/4X50320150111-1120MX21515/2002-1/21010X45807/2103-1/220MC(j)-Z(j)-430-2300-173因为λ7＝3>0而且ai7<0(i=1,2,3)，故原问题拥有无界解，即无最优解。maxZ3x12x218x3x12x23x34(3)4x12x3123x18x24x310x1,x2,x30【解】C(j)32000R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X40-1231004MX50[4]0-2010123X603840011010/3C(j)-Z(j)32-1/80000X40025/211/407X1310-1/201/403MX600[8]11/20-3/4111/8C(j)-Z(j)0211/80-3/409X40009/817/16-1/427/46X1310-1/201/403MX2201[11/16]0-3/321/81/8C(j)-Z(j)0000-9/16-1/437/4X3进基、X2出基，获取另一个基本最优解。C(j)32000R.H.S.RatioBasisX1X2X3X4X5X6X400-18/110113/22-5/1172/116X1318/11002/111/1134/11MX3016/1110-3/222/112/11C(j)-Z(j)0000-9/16-1/437/4原问题拥有多重解。基本最优解X(1)(3,1,0,27,0)及X(2)(34,0,2,72,0)T;Z37,最优解的通解可841111114表示为XaX(1)(1a)X(2)即X(341a,1a,22a,7272a,0)T,(0a1)1111811111111maxZ3x12x2x35x14x26x325（4）6x23x3248x1xj0,j1,2,3【解】纯真形表：C(j)32100R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X4054610255X50[8]6301243C(j)-Z(j)321000X4001/433/81-5/810X1313/43/801/83C(j)-Z(j)0-1/4-1/80-3/89最优解：X=（3，0，0，10，0）；最优值Z＝9分别用大M法和两阶段法求解以下线性规划：maxZ10x15x2x35x13x2x310(1)5x1x210x315xj0,j1,2,3【解】大M法。数学模型为maxZ10x15x2x3Mx55x13x2x3x5105x1x210x3x415xj0,jL,51,2,C(j)10-510-MR.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X5-M53101102X40-51-101015MC(j)-Z(j)10-51000*BigM531000X11013/51/501/52X4004-91125C(j)-Z(j)0-11-10-220*BigM0000-10最优解X＝(2,0,0)；Z=20两阶段法。第一阶段：数学模型为minwx55x13x2x3x5105x1x210x3x415xj0,j1,2,L,5C(j)00001R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X51[5]3101102X40-51-101015MC(j)-Z(j)-5-3-100X1013/51/501/52X4004-91125C(j)-Z(j)00001第二阶段C(j)10-510R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X11013/51/5022X4004-9125MC(j)-Z(j)0-11-10最优解X=(2,0,0)；Z=20minZ5x16x27x3x15x23x315(2)5x16x210x320x1x2x35xj0,j1,2,3【解】大M法。数学模型为minZ5x16x27x3MA1MA3x15x23x3S1A1155x16x210x3S220x1x2x3A35所有变量非负C(j)5-6-700MM*BigM-2-621000X2-61/51-3/5-1/501/503MS2031/5032/5-6/516/503895/16A3M4/50[8/5]1/50-1/5125/4C(j)-Z(j)31/50-53/5-6/506/50*BigM-4/50-8/5-1/506/50X2-61/210-1/801/83/815/4S20300-212-430X3-71/2011/80-1/85/85/4C(j)-Z(j)23/2001/80-1/853/8*BigM0000011两阶段法。第一阶段：数学模型为minwA1A3x15x23x3S1A1155x16x210x3S220x1x2x3A35所有变量非负C(j)0000011X201/51-3/5-1/501/503MS2031/5032/5-6/516/503895/16A314/50[8/5]1/50-1/5125/4C(j)-Z(j)-4/50-8/5-1/506/50X201/210-1/801/83/815/4S20300-212-430X301/2011/80-1/85/85/4C(j)-Z(j)0000011第二阶段：C(j)5-6-7003S20300-2130MX3-71/2011/805/45C(j)-Z(j)23/2001/80最优解：X(0,15,5)T,Z125444maxZ10x115x25x13x295x16x2152x1x25x1、x2、x30【解】大M法。数学模型为maxZ10x115x2Mx65x13x2x395x16x2x4152x1x2x5x65xj0,j1,2,L,6C(j)1015000-MR.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X30[5]310009X40-56010015MX6-M2100-115C(j)-Z(j)101500000*BigM2100-100X11013/51/50009/5X4009110024X6-M0-1/5-2/50-117/5C(j)-Z(j)09-200018*BigM0-1/5-2/50-100因为X6>0,原问题无可行解。两阶段法第一阶段：数学模型为minZx65x13x2x395x16x2x4152x1x2x5x65xj0,j1,2,L,6C(j)000001R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X30[5]310009X40-56010015MX612100-115C(j)-Z(j)-2-10010514X1013/51/50009/5X4009110024X610-1/5-2/50-117/5C(j)-Z(j)01/52/5010因为X6>0,原问题无可行解。图解法以下：maxZ4x12x25x36x1x24x310(4)3x13x25x38x12x2x320xj0,j1,2,3【解】大M法。X7是人工变量，数学模型为maxZ4x12x25x3Mx76x1x24x3x4103x13x25x3x58x12x22x3x6x720xj0,j1,2,L,7j425000－MC0X46-141100X53-3-518－MX71[2]1－112010C(j)-Z(j)425*BigMM2MM－10X413/2[9/2]1-1/21/2200X59/2-7/21-3/23/2382X21/211/2-1/21/210C(j)-Z(j)341-1*BigM-15X313/912/9-1/91/940/90X586/97/91-17/917/9482/92X2-2/91-1/9-4/94/970/9C(j)-Z(j)-25/9-8/913/9-13/9*BigM-1无界解。两阶段法。第一阶段：minZx76x1x24x3x4103x13x25x3x58x12x2x3x6x720xj0,j1,2,L,7Cj00010X46-141100X53-3-5181X71[2]1－112010C(j)-Z(j)－1－2－110X413/2[9/2]1-1/21/2200X59/2-7/21-3/23/2382X21/211/2-1/21/210C(j)-Z(j)1第二阶段：j425000C0X413/2[9/2]1-1/2200X59/2-7/21-3/2381X21/211/2-1/210C(j)-Z(j)7/29/21/20X313/912/9-1/940/90X586/97/91-17/9482/92X2-2/91-1/9-4/970/9C(j)-Z(j)-3-11原问题无界解。B21j(j1,,4),并判断B是否是最优在第题中，关于基40,求所有变量的查验数基．014【解】B4,B1,112CCBB1A102210(5,2,0,0)(5,0)41420112(5,2,0,0)(5,5,0,5)(0,9,0,5)952424B不是最优基，能够证明B是可行基。(0,,0,),24已知线性规划maxz5x18x27x34x42x13x23x32x4203x15x24x32x430xj0,j1,L,423的最优基为B25

，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)纯真形乘子；(3)N1及N3；(4)1和3。【解】53B144,CB(c4,c2)(4,8,),则1122(1)XB(x,x)TB1b(5,5)T,最优解X(0,5,0,5)T,Z504222(2)CBB1(1,1)(3)N1B1P1N3B1P3(4)

532144411312225333444114122211c1CBN15(4,8)45501233c3CBN37(4,8)477012注：该题有多重解：X(1)=(0，5，0，5/2)X(2)=(0，10/3，10/3，0)X(3)=(10，0，0，0)，x2是基变量，X(3)是退化基本可行解Z＝50已知某线性规划的纯真形表1－28,求价值系数向量C及目标函数值Z．表1－28Cjc1c2c3c4c5c6c7bCXxxxxxxx234567BB13x40121－30244x110－1020－100x60－140－4123/2λj0－1－1010－2【解】由jcjciaij有cjjciaijiic2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2c3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1c5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0c7＝-2＋（3×2＋4×(－1)＋0×2）＝0则C＝(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=CX=12BB已知线性规划maxZc1x1c2x2c3x3a11x1a12x2a13x3b1a21x1a22x2a23x3b2x1,x2,x30的最优纯真形表如表1－29所示，求原线性规划矩阵C、A、及b，最优基B及B1．表1－29Cjc1c2c3c4c5bCBXBx1x2x3x4x5c1x11041/61/156c2x201－301/52λj00－1－2－31162【解】由B1615，获取B(B1)10,c4＝c5＝0，0155由公式jcjciaij得ic4162c1/60c1122(c1,c2)0c53(12,c2)1150c21115c31(12,11)4143由AB1AA621046230得BA501305150由bB1b62632得bBb05210思虑与简答1）在例中，假如设xj(j=1，2，，7)为工作了5天后礼拜一到礼拜日开始歇息的营业员，该模型如何变化。2）在例中，可否将拘束条件改为等式；假如要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路。（3）在例中，若同意含有少许杂质，但杂质含量不超出1％，模型如何变化。（4）在例中，假设同种设施的加工时间平均分派到各台设施上，要求一种设施每台每日的加工时间不超出另一种设施任一台加工时间

1小时，模型如何变化。(5)在纯真形法中，为何说当

k

0而且aik

0(i

1,2,L,m)时线性规划拥有无界解。选择出基变量为何要按照最小比值规则，假如不按照最小比值规则会是什么结果。7）简述大M法计算的基本思路，说明在什么情况下线性规划无可行解。（8）设X(1)、X(2)、X(3)是线性规划的3个最优解，试说明X1X(1)2X(2)3X(3)(此中1,2,30而且1231)也是线性规划的最优解。9）什么是基本解、可行解、基本可行解、基本最优解，这四个解之间有何关系。10）简述线性规划问题查验数的定义及其经济含义。返回顶部第2章线性规划的对偶理论某人依据医嘱，每日需增补

A、B、C三种营养，

A许多于

80单位，

B许多于

150单位，C不少于

180单位．这人准备每日从六种食品中摄入这三种营养成分．

已知六种食品每百克的营养成分含量及食品价钱如表2-22所示．（1）试成立这人在知足健康需要的基础上花销最少的数学模型；（2）假设有一个厂商计划生产一中药丸，售给这人服用，药丸中包括有A，B，三种营养成分．试为厂商拟订一个药丸的合理价钱，既使这人愿意购置，又使厂商能获取最大利益，成立数学模型．表2-22含量食品一二三四五六需要量营养成分80B24930251215≥150C1872134100≥180食品单价（元/100g）【解】（1）设xj为每日第j种食品的用量，数学模型为minZ0.5x10.4x20.8x30.9x40.3x50.2x613x125x214x340x48x511x68024x19x230x325x412x515x615018x17x221x334x410x5180x1、x2、x3、x4、x5、x60（2）设y为第i种单位营养的价钱，则数学模型为imaxw80y1150y2180y313y124y218y30.525y19y27y30.414y130y221y30.840y125y234y30.98y112y210y30.311y115y20.2y1,y2,y30写出以下线性规划的对偶问题minx13x22x3maxw10y14y2y12y21x13x25x310【解】3yy3（1）22x1x2x3415y1y22x1,x2,x30y1,y20maxZ2x1x2x3minw15y110y2y1y22x12x24x315【解】2y13y21（2）3x2x310x14y1y21x1,x20,x3无拘束y1无拘束；y20maxZ2x1x2－4x33x4minw14y120y29y310y17y24y3210x1x2x34x414y16y28y31（3）7x16x22x35x420【解】y12y26y344x18x26x3x4＝94y15y2y33x1,x20,x3无拘束，x40y10,y20,y3无拘束maxZ2x1x26x37x4maxZ2x1x26x37x43x12x2x36x4123x12x2x36x4126x15x3x466x15x3x46x12x2x32x42（4）2x2x32x42【解】x1x188x120x120x0，x,x,x无拘束1234x10，x2,x3,x4无拘束minw12y16y22y3+8y420y53y16y2y3y4y52对偶问题为：2y12y31y15y2y366y1y22y37y0,y20，y,0，y40，y0135考虑线性规划minZ12x120x2x14x24x15x222x13x27x1,x20说明原问题与对偶问题都有最优解；经过解对偶问题由最优表中察看出原问题的最优解；利用公式CBB－1求原问题的最优解；利用互补废弛条件求原问题的最优解．【解】(1)原问题的对偶问题为maxw4y12y27y3y1y22y3124y15y23y320yj0,j1,2,3简单看出原问题和对偶问题都有可行解，如X＝(2，1)、Y＝(1，0，1)，由定理知都有最优解。对偶问题最优纯真形表为C(j)42700R.H.S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=对偶问题的最优解Y＝(4/5,0,28/5)，由定理，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z＝4141（3）CB=(7,4),B155,X(7,4)55(16/5,1/5)32325555由y1、y3不等于零知原问题第一、三个拘束是紧的，解等式x14x242x13x27获取原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。证明以下线性规划问题无最优解minZx12x22x32x1x22x33x12x23x32x1,x20,x3无拘束证明：第一看到该问题存在可行解，比如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为maxw3y12y22y1y21y12y222y13y22y20,y1无拘束由拘束条件①②知y≤0，由拘束条件③当y2≥0知y≥1，对偶问题无可行解，所以原问题11也无最优解(无界解)。已知线性规划maxZ15x120x25x3x15x2x355x16x2x363x110x2x37x10,x20,x3无拘束的最优解X(1,0,19)T，求对偶问题的最优解．4解】其对偶问题是：minw5y16y27y3y15y23y3155y16y210y320y1y2y35y1,y2,y30由原问题的最优解知，原问题拘束③的废弛变量不等于零(xs30)，x1、x3不等于零，则对偶问题的拘束①、拘束③为等式，又因为xs30知y3＝0；解方程y15y215y1y25获取对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w＝55/2＝用对偶纯真形法求解以下线性规划（）minZ3x14x26x31x12x23x3102x12x2x312x1,x2,x30【解】将模型化为minZ3x14x26x3x12x23x3x4102x12x2x3x512xj0,j1,2,3,4,5对偶纯真形表：cj34600CXXXXXXbBB123450X－1－2－310－1040X[－2]－2－101－125C(j)-Z(j)3460000X40[－1]－5/21－1/2－43X1111/20－1/26C(j)-Z(j)019/203/2－185X2015/2－11/243X10－21－121C(j)-Z(j)00211－22b列全为非负，最优解为x＝(2，4，0)；Z＝22（）5x14x22minZx1x262x1x22x10,x20【解】将模型化为minZ5x14x2x1x2x362x1x2x42xj0,j1,2,3,45400bXBCBX1X2X3X4X30[-1]-110-6X4021012Cj－Zj3400X1311-106X400[-1]21-10Cj－Zj0130X131011-4X2401-2-110Cj－Zj0051出基行系数所有非负，最小比值无效，原问题无可行解。(3)minZ2x14x22x13x224x12x210x13x218x1,x20【解】将模型化为minZ2x14x22x13x2x324x12x2x410x13x2x518xj0,j1,2,3,4,5cj24000XBX1X2X3X4X5bBCX302310024X40-1-2010-10X50-1[-3]001-18Cj－Zj24000X30101016X40-1/3001－2/32X241/3100－1/36Cj－Zj2/30004/3最优解X=(0，6)；Z＝24（）minZ2x13x25x36x44x12x23x3x422x1x2x33x43xj0,jL,41,【解】将模型化为minZ2x13x25x36x4x12x23x3x4x522x1x2x33x4x63xj0,j1,L,6XX

B5

Cj235600CXXXXXXbB1234560-1[-2]-3-410-2X60-21-1301-3Cj－Zj235600X231/213/22-1/201X60-5/20[-5/2]11/21-4Cj－Zj1/201/203/20X23[-1]1013/5-1/53/5-7/5X35101-2/5-1/5-2/58/5Cj－Zj0001/58/51/5X121-10-13/51/5-3/57/5X350[1]111/5-2/51/51/5Cj－Zj0001/58/51/5X12101-2/5-1/5-2/58/5X2301111/5-2/51/51/5Cj－Zj0001/58/51/5原问题有多重解：X(1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X(2)＝(8/5，1/5，0)；Z＝19/5假如第一张表X6出基，则有Cj235600XCXXXXXXbBB123456X50-1-2-3-410-2X60[-2]1-1301-3Cj－Zj235600X500[-5/2]-5/2-11/21-1/2-1/2X121-1/21/2-3/20-1/23/2Cj－Zj044901X2301111/5-2/51/51/5X12101-7/5-1/5-2/58/5Cj－Zj0001/58/51/52．7某工厂利用原资料甲、乙、丙生产产品A、B、C，相关资料见表2-23．表2-23材产品产每个月可供原资料料ABC（Kg）资料耗费消品材料耗原资料甲211200乙123500丙221600每件产品利润4131）如何安排生产，使利润最大．2）若增添1kg原资料甲，总利润增添多少．3）设原资料乙的市场价钱为元/Kg，若要转卖原资料乙，工厂应起码叫价多少，为何4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．（5）原资料分别独自在什么范围内颠簸时，仍只生产A和C两种产品．（6）因为市场的变化，产品B、C的单件利润变成3元和2元，这时应如何调整生产计划．（7）工厂计划生产新产品D，每件产品D耗费原资料甲、乙、丙分别为2kg，2kg及1kg，每件产品D应赢利多少时才有益于投产．【解】（1）设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为maxZ4x1x23x32x11x2x3200x12x23x35002x1x2x3600x10,x20,x30最优纯真形表：C(j)413000XBCBX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最优解X=（20，0，160），Z=560。工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。（2）由最优表可知，影子价钱为y19,y22,y30,故增添利润元。553）因为y2=，所以叫价应许多于元。4）依照最优表计算得3c12,c28,1c395c1[1,6],c213c3[2,12](,],5（5）依照最优表计算得100400,400b2100,400b3b13b1[500,600],b2[100,600],b3[200,).3（6）变化后的查验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。故x2进基x1出基,获取最最优解X=(0,200,0)，即只生产产品B200件,总利润为600元。C(j)432000XBCBX1X2X3X4X5X6X141[1/5]03/5-1/5020100X3203/51-1/52/50160800/3X60000-101400MC(j)-Z(j)010-200560X225103-10100MX33-301-2[1]0100100X60000-101400MC(j)-Z(j)-500-510X22211100200X40-301-210100X60000-101400C(j)-Z(j)-20-1-300(7)设产品D的产量为x,单件产品利润为c，只有当710时才有益于投77产。2c7CBB1P7YP79,2,02225551则当单位产品D的利润超出元时才有益于投产。2．8对以下线性规划作参数剖析maxZ(32)x1(5)x2x141）x263x12x218x1,x20【解】μ＝0时最优解X=(4,3,0)；最优表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X2501003X5000-3-110C(j)-Z(j)00-3027将参数引入到上表：C(j)3＋2μ5－μ000当－3－2μ≤0及＋μ≤0时最优基不变，有－≤μ≤5。当μ<－时X3进基X1出基；μ>5时X4进基X2出基，用纯真形法计算。参数变化与目标值变化的关系以下表所示。FromToFromToLeavingEnteringRange(Vector)(Vector)OBJValueOBJValueSlopeVariableVariable10527525X2X425M52M830275X1X34-MM-3目标值变化以以下图所示。(μ＝(μ＝(μ＝,Z=0maxZ3x15x2x142）x263x12x2182x1,x20【解】μ＝0时最优解X=(4,3,0)，Z＝27；最优表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X2501003X5000-3-110C(j)-Z(j)00-302741bbb60182bB1(bb)B1bB1b41001300.50003112413005替代最优表的右端常数，获取下表。C(j)35000①μ<－4时问题不行行，－4≤μ<0时最优基不变。μ＝－4时Z＝15。②μ>0时X5出基X3进基获取下表：C(j)350000≤μ≤6时为最优解。μ＝6时Z＝15。③μ>6时X1出基X4进基获取下表：C(j)35000μ＝9时最优解X=(0，0，13，6，0)，Z=0；μ>9时无可行解。综合剖析以下表所示。FromToFromToLeavingEnteringRange(Vector)(Vector)OBJValueOBJValueSlopeVariableVariable10027273X5X32062715-2X1X2369150-5X249InfinityInfeasible50-427153X16-4-InfinityInfeasible目标值变化以以下图所示。有三个决议单元的输入输出矩阵9510628X＝364，Y＝535439（1）成立C2R模型并求解，判断各决议单元的DEA有