人教版高中数学《集合》全部教案

第一章集合与简易逻辑

第一教时

教材：集合的概念

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的

分类及性质。

过程：

一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”

如：2x-l>3=x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解

集。

如：儿何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

如：自然数的集合0,1,2,3,……

如：高一（5）全体同学组成的集合。

结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋、大西洋、印度洋、

北冰洋｝

用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5）

常用数集及其记法：

1.非负整数集（即自然数集）记作：N

2.正整数集N*或N+

3.整数集Z

4.有理数集Q

5.实数集R

集合的三要素：「元素的确定性；2,元素的互异性；3,元素的无序性

（例子略）

三、关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属

于集A记作aeA,相反，a不属于集A记作aeA（或aeA）

例：见P4-5中例

四、练习P5略

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-l=0的所有解组成的集合可表示为｛-1,1｝

例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为｛1,3,5,7,9）

2.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例｛不是直角三角形的三角形卜再见P6例

②数学式子描述法:例不等式x-3>2的解集是｛xeRIx-3>2｝或｛xlx-3>2｝

或｛x:x-3>2｝再见P6例

六、集合的分类

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合例题略

3.空集不含任何元素的集合①

七、用图形表示集合P6略

八、练习P6

小结：概念、符号、分类、表示法

九、作业P7习题1.1

第二教时

教材：1、复习2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容

目的：复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。

过程：

一、复习：（结合提问）

1.集合的概念含集合三要素

2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4.关于“属于”的概念

二、例一用适当的方法表示下列集合：

1.平方后仍等于原数的数集

解：{xlx2=x}={0,l}

2.比2大3的数的集合

解：{xlx=2+3}={5}

3.不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{xeZIx2-x-6<0}={xeZI-2<x<3}={-l,0,l,2}

4.过原点的直线的集合

解：{(x,y)ly=kx}

5.方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)l4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)l(2x-l)2+(3y+2)2=0}={(x,y)l

(1/2,-2/3)}

1

6.使函数y=F------有意义的实数x的集合

x+x-6

解：{xlx2+x-6^0}={xlx^2且xo3,xeR}

三、处理苏大《教学与测试》第一课含思考题、备用题

四、处理《课课练》

五、作业《教学与测试》第一课练习题

第三教时

教材：子集

目的：让学生初步了解子集的概念及其表示法，同时了解等集与真子集的有关概

念.

过程：

一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.

存在着两种关系：“包含”与“相等”两种关系.

二“包含”关系一子集

1.实例：A={1,2,3}B={1,2,3,4,5）引导观察.

结论：对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元

则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AcB（或B卫A）

也说：集合A是集合B的子集.

2.反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A<zB（或BczA）

注意：1也可写成u；。也可写成功也也可写成之；&也可写成N。

3.规定：空集是任何集合的子集.4>cA

三“相等”关系

1.实例：设A={x|x2-l=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的

元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A

等于集合B,即：A=B

2.①任何一个集合是它本身的子集。AcA

②真子集：如果AqB，且AwB那就说集合A是集合B的真子集，记作注

AB

③空集是任何非空集合的真子集。

④如果AcB,BcC，那么AcC

证明：设x是A的任一元素，则XGA

,/AcB,/.xeB又,/BcC/.xeC从而AcC

同样；如果AGB,B=C,那么AGC

⑤如果kB同时BcA那么A=B

四例题：P8例一，例二（略）练习P9

补充例题《课课练》课时2P3

五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质：AcA

AcB,BcC=>AcC

AcBBqAnA=B

作业：PIO习题1.21,2,3《课课练》课时中选择

第四教时

教材：全集与补集

目的：要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法

过程：

一复习：子集的概念及有关符号与性质。

提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数},B={10的正约数},

C={6与10的正公约数},并用适当的符号表示它们之间的关系。

解：A={1,2,3,6},B={1,2,5,10},C={1,2}

CcA,CcB

二补集

1.实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合,

集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AqS）,由S中所有不

属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作：CSA即C$A={x|xeS且xgA)

2.例：S={1,2,3,4,5,6}A={1,3,5}CSA={2,4,6}

三全集

定义：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就

可以看作一个全集。通常用U来表示。

如：把实数R看作全集U,则有理数集Q的补集CuQ是全体无理数的集合。

四练习：P10（略）

五处理《课课练》课时"3子集、全集、补集（二）

六小结：全集、补集

七作业P104,5

《课课练》课时3余下练习

第五教时

教材：子集，补集，全集

目的：复习子集、补集与全集，要求学生对上述概念的认识更清楚，并能较好

地处理有关问题。

过程：

一、复习：子集、补集与全集的概念，符号

二、辨析：1补集必定是全集的子集，但未必是真子集。什么时候是真子集？

2AcB如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗？什么时候（什

么条件下）CBA是B的真子集？

三、处理苏大《教学与测试》第二、第三课

作业为余下部分选

第六教时

教材：交集与并集（1）

目的：通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

过程：

六、复习：子集、补集与全集的概念及其表示方法

提问（板演）：U={xlOWx<6,xwZ}A={1,3,5}B={1,4}

求：CuA={0,2,4}.CuB={0,2,3,51，

七、新授：

1、实例：A={a,b,c,d}B={a,b,e,f}

公共部分AAB合并在一起AUB

2、定义：交集：AAB={xlx£A且XEB}符号、读法

并集：AUB={XIXGA或XGB}

见课本P10-U定义（略）

3、例题：课本P11例一至例五

练习P12

补充：例一、iSA={2,-1,X2-X+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7}且AA

B=C求x,y0

解：由AGB=C知7GAJ必然X2-X+1=7得

xi=-2,X2=3

由x=-2得x+4=2eCx^-2

/.x=3X+4=7GC止匕时2y=-l

/•x=3,y=-

例二、已知A={xl2x2=sx-r},B={xl6x2+(s+2)x+r=0)且ACB={；}求AUB。

解：

•.TeA且-eB

22

2r-s=l

2r+s=-5

解之得s=-23

2

三、小结：交集、并集的定义

四、作业：课本P13习题1、31-5

补充：设集合A={xl_4Wx<2},B={xl—，*《3}3={*反忘0或*02},

求AABAC,AUBUCo

《课课练》P6-7“基础训练题”及“例题推荐”

第七教时

教材：交集与并集(2)

目的：通过复习及对交集与并集性质的剖析，使学生对概念有更深刻的理解

过程：一、复习：交集、并集的定义、符号

提问(板演)：(P|3例8)

设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}B={4,7,

求：(CuA)A(CuB),(CuA)U(CuB),Cu(AUB),Cu(AAB)

解：CuA={l,2,6,7,8}CuB={l,2,3,5,6}

(CuA)D(CuB)={1,2,6}

(CuA)U(CuB)={1,2,3,5,6,7,8)

AUB={3,4,5,7,8}ADB={4}

:.Cu(AUB)={L2,6}

CU(AAB)={1,2,3,5,6,7,8,}

结合图说明：我们有一个公式：

(CuA)n(CuB)=Cu(AUB)

(CuA)U(CuB)=Cu(AAB)

二、另外儿个性质：APA=A,AH<|)=AAB=BnA,

AUA=A,AU<|)=A,AUB=BUA.

(注意与实数性质类比)

例6(P12)略

进而讨论(x,y)可以看作直线上的点的坐标

AAB是两直线交点或二元一次方程组的解

同样设A={xlx2-x-6=0}B={xlx2+x_12=0}

则(X2-X—6)(X2+X—12)=0的解相当于AUB

即：A={3,-2}B={-4,3}贝ijAUB={-4,—2,3}

三、关于奇数集、偶数集的概念略见P12

例7(P|2)略

练习P13

四、关于集合中元素的个数

规定：集合A的元素个数记作：card(A)

作图乙一'观察、分析得:

card(AUB)card(A)+card(B)

card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB)

五、(机动)：《课课练》P8课时5“基础训练”、“例题推荐”

六、作业：课本P,46、7、8

《课课练》P8_9课时5中选部分

第八教时

教材：交集与并集(3)

目的：复习交集与并集，并处理“教学与测试”内容，使学生逐步达到熟练技巧。

过程：

一、复习：交集、并集

二、1.如图(1)U是全集，A,B是U的两个子集，图中有四个用数字

标出的区域，试填下表:

区域号相应的集合集合相应的区域号

1CuAnCLBA2,3

2ADCtBB3,4

3ADBU1,2,3,4

4CuADBACIB3

4

图（1）

图（2）

一人N徐

乙7./女/n日医1因_111I1T旦，小丁隹衣，A八,友［也有，父个田和

字标

出的区1（见彳

2

3.已知K+l,xelyAPBo

解：

.AHB={(6,1),(1,2)}

区域号相应的集合

1CuAnCuBnCuC

2AnCuBnCuC

3AnBnc(jC

4CUAPIBDCUC

5AnCVBnc

6ADBne

7CuADBAC

8CuAnCuBnc

三、《教学与测试》P7-P8（第四课）P9-P10（第五课）中例题

如有时间多余，则处理练习题中选择题

四、作业：上述两课练习题中余下部分

第九教时

（可以考虑分两个教时授完）

教材：单元小结，综合练习

目的：小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的理解。

过程：

一、复习：

1.基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集

3.集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集

二、苏大《教学与测试》第6课习题课(1)其中“基础训练”、例题

三、补充：(以下选部分作例题，部分作课外作业)

1、用适当的符号(e,任丑，］，=，N)填空：

()」①:0eN：①S_{0};2e{xlx-2=0}；

{xlx2-5x+6=0}={2,3};(0,1)e{(x,y)ly=x+l}；

{xlx=4k,keZ}_S—{yly=2n,neZ)；{xlx=3k,keZ}式{xlx=2k,keZ}；

{xlx=a2-4a,aeR}{y|y=b2+2b,beR}

2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。

①由所有非负奇数组成的集合；(x=lx=2n+l,neN}无限集

②由所有小于20的奇质数组成的集合；{3,5,7,11,13,17,19}有限集

③平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合；{(x,y)lx<0,y>0)无限

集

④方程x4x+l=0的实根组成的集合；中有限集

⑤所有周长等于10cm的三角形组成的集合；

{xlx为周长等于10cm的三角形}无限集

3、已知集合A={x,x2,y2-1},B={0,lxl,y)且A=B求x,y。

解：由A=B且OeB知OeA

若x2=0则x=0且1x1=0不合元素互异性，应舍去

若x=0则x2=0且若=0也不合

，必有y2-1=0得y=l或y=-l

若y=l则必然有leA,若x=l则x?=l1x1=1同样不合，应舍去

若y=-l则-IGA只能x=-l这时x2=l,1x1=1A={-l,l,0}B={0,l,-l)

即A=B

综上所述：x=-l,y=-l

4、求满足{1}1人={1,2,3,4,5}的所有集合人。

解：由题设：二元集A有{1,2}、［1,3}、［1,4}、{1,5}

三元集A有|1,2,3}、|1,2,4|,(1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5卜|1,4,5}

四元集A有{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,

5)

五元集A有{1,2,3,4,5}

5、设U={xeNlx<10},A={l,5,7,8},B={3,4,5,6,9},C={xwNI0W2x-3<7}求：

AnB,AUB,(CUA)n(CUB),(CUA)U(CUB),AAC,［CU(CUB)］A(CUA).

解：U={XGNIX<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},C={xeNl|WX<5}={2,3,4}

AAB={5}AUB={1,3,4,5,6,7,8,9}

-CuA={0,2,3,4,6,9}CuB={0,1,2,7,8}

.".(CuA)n(CuB)={0,2)(CuA)U(CuB)={0』,2,3,4,6,7,8,9}

AAC=<D又VCUB={2,3,4,5,6,9}/.CU(CUB)={0,1,7,8)

.,.[Cu(CUB)]n(CuA)={0}

6、设A={xlx=12m+28n,m、neZ},B={xlx=4k,keZ)求证8eA2'A=B

证：1若12m+28n=8则m=:2当n=3/或n=3/+l(/eZ)时

m均不为整数当n=3/+2(kZ)时m=-7/-4也为整数

不妨设/=-1则m=3,n=-lV8=12X3+28X(-l)且3eZ

-leZ

•*.8eA

2,任取xieA即X]=12m+28n(m,neZ)

由12m+28n=4=4(3m+7n)且3m+7neZ而B={xlx=4k,keZ}

/.12m+28neB即xieB于是A=B

任取X2GB即X2=4k,keZ

由4k=12X(-2)+28k且-2keZ而A={xlx=12m+28n,m,meZ}

4kGA即X2eA于是BcA

综上：A=B

7、设ADB={3},(CuA)AB={4,6,8},AD(CuB)={l,5},(CuA)U(CuB)

={xeN*lx<10且x，3},求Cu(AUB),A,B。

解一：(CuA)U(CuB)=Cu(ACB)={xeN*lx<10且xw3}又：AAB={3}

U=(AAB)UCu(AnB)={xeN*lx<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9)

AUB中的元素可分为三类:一类属于A不属于B;一类属于B不属于A;一类

既属A又属于B

由(CuA)AB={4,6,8)即4,6,8属于B不属于A

由(CB)CA={1,5}即1,5属于A不属于B

由AAB={3}即3既属于A又属于B

AAUB={1,3,4,5,6,8)

，以(AUB)={2,7,9}

A中的元素可分为两类:一类是属于A不属于B,另一类既属于A又属于B

/.A={1,3,5}

同理B={3,4,6,8)

解二(韦恩图法)略

8、设A={x|-3WxWa},B={y|y=3x+10,xeA},C={z|z=5-x,xwA}且BGC=C

求实数a的取值。

解：由A二{x|-3WxWa}必有心一3由一3<xWa知

3X(―3)+lOW3x+lOW3a+lO

故lW3x+10〈3a+10于是B={y|y=3x+10,xeA}={ylWyW3a+10}

又-3WxWa.\-a^-x^35-aW5-xW8

/.C={z|z=5-x,xeA}={z15-aWzW8}

由BAOC知CuB由数轴分析：1%+l°N8且a》_3

0―I5-a>\

=>--这aW4月.都适合a2-3

综上所得:a的取值范围{a|-2WaW4)

3

9、设集合A={xeR|x2+6x=0},B={xeR|x2+3(a+l)x+a2-l=0}KAUB=A

数a的取值。

解：A={xeR|x2+6x=0}={0,-6}由八。8=人知的

当B=A时B={0,-6}f-3(a+D=-6=a=1此时

a-1=0

B={xeR|x2+6x=0}=A

当昨A时

1若Bw①则B={0}或B={-6}

由A=[3(a+1)「一46-1)=05a"+18a+13=0解得a=-l,或a=」%

当a=-l时x2=0/.B={0}满足B/A

当a=」%时方程为x2-gx+*=oxi=xz=£

；.B={曰}则B0A(故不合，舍去)

2’若B=(f>即A<0由A=5a2+18a+13<0解得-弓<a<-1

止匕时B=0>也满足B日A

综上：一日<a〈-l或a=l

10、方程x'-ax+bR的两实根为m,n,方程x2-bx+c=0的两实根为p,q,其中m、

n、p、q互不相等，集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=a+。,aeA,[JwA且a*[3},

P={x|x=ap,aeA,peA且aw|3},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={-7,-3,-2,6,

14,21}求a,b,c的值。

解：由根与系数的关系知：m+n=amn=bp+q=bpq=c

又：mnePp+qeS即beP且bwS

/.bePnS又由已知得SnP={1,2,5,6,9,10}A

{-7,-3,-2,6,14,21}={6}

...b=6

又:S的元素是m+n,m+p,m+q,n+p,n+q,p+q其和为

3(m+n+p+q)=1+2+5+6+9+10=33m+n+p+q=ll即a+b=11

由b=6得a=5

又:P的元素是mn,mp,mq,np,nq,pq其和为

mn+mp+mq+np+nq+pq=mn+(m+n)(p+q)+pq=-7-3-2+6+14+21=29

且mn=bm+n=ap+q=bpq=c

即b+ab+c=29再把b=6,a=5代入即得c=-7

•*.a=5,b=6,c=-7

四、作业：《教学与测试》余下部分及补充题余下部分

第十一教时

教材：含绝对值不等式的解法

目的：从绝对值的意义出发，掌握形如1x1=a的方程和形如lxl>a,lxl<a(a>0)

不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。

过程：

一、实例导入，提出课题

实例：课本P14(略)得出两种表示方法：

1.不等式组表示：2-500452.绝对值不等式表示:：|x-500I

[500-x<5

W5

课题：含绝对值不等式解法

二、形如IxI=a(a>0)的方程解法

a(a>0)

复习绝对值意义：lal=<0(a=0)

-a(a<0)

几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离

例：IxI=2.

形如IxI>a与IxI<a的不等式的翻琴~|►

例lxl>2与lxl<2

1。从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见P15略

结论：不等式IxI>a的解集是{xI-a<x<a)

IxI<a的解集是{xIx>a或x<-a}

2。从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号

IxI<2n或fA<0=0<x<2或-2<x<0

[A-<2[~x<2

合并为{xI-2<x<2}

同理IxI<2=>-°或卜<°n{xlx>2或x<-2}

x>2\-x>2

3。例题P15例一、例二略

4。《课课练》P12“例题推荐”

四、小结：含绝对值不等式的两种解法。

五、作业：P16练习及习题1.4

第十二教时

教材:一元二次不等式解法

目的:从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次

函数求解一元二次不等式的方法。

过程

一、课题：一元二次不等式的解法

先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如2X-7>0.X>2

这里利用不等式的性质解题y4

从另一个角度考虑：令y=2x-7作一次函数图象:

引导观察,并列表，见P17略

当x=3.5时，y=0即2x-7=0

当x<3.5时，y<0即2x-7<0

当x>3.5时，y>0即2x-7>0

结论：略见P17

注意强调：1。直线与X轴的交点X。是方程ax+b=O的解

2°当a>0时,ax+b〉O的解集为{xIx>xo}

当a<0时,ax+b<0可化为-ax-b<0来解

二、一元二次不等式的解法

同样用图象来解，实例:y=x2-x-6作图、列表、观察

当x=-2或x=3时,y=0即X2-X-6=0

当x<-2或x>3时，y>0即X2-X-6>0

当-2<x<3时,y<0即X2-X-6<0

方程X2-X-6=0的解集：{xIx=-2或x=3}

不等式X2-X-6>0的解集：{xlx<-2或x>3}

不等式X2-X-6<0的解集：{xI-2<x<3}

这是△>（）的情况：J/\T

若△=（）,△<（）分别作图观察讨论卜/

得出结论：见P18-19।

说明：上述结论是一元二次不等式ax+bx+c>0（<0）当a>0时的情况

若a<0,一般可先把二次项系数化成正数再求解

三、例题P19例一至例四

练习：（板演）

有时间多余，则处理《课课练》P14“例题推荐”

四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）

五、作业：P21习题1.5

《课课练》第8课余下部分

第十三教时

教材：一元二次不等式解法（续）

目的：要求学生学会将一元二次不等式转化为一元二次不等式组求解的方法，进

而学会简单分式不等式的解法。

过程：

一、复习：（板演）

-一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解法

（分△>（）,△=（）,A<0三种情况）

1.2X4-X2-1>02.lx?—2x<3（《课课练》P15第8题中）

解：1.2X4-X2-1^0N（2X2+1）（X2-1）^0=>x2^l

nxW-1或x》l

cx~-2x<3x2—2x—3<0

2.Kx-2x<3=>="!•,

x—2xN1x—2x—120

]-l<x<3

=-在或xZl+VI

n后或1+V2<x<3

二、新授：

1.讨论课本中问题：（x+4）（x-l）<0

等价于(x+4)与(x-1)异号，§P：f+4>°与f+4<°

[x-1<0[x-l>0

解之得：-4<x<l与无解

原不等式的解集是：{x『+4>：}

[x-1<0[x-l>0

={xI-4<x<1}U4)={xl-4<x<l}

同理：(x+4)(x—1)>0的解集是：{xl[x+4>,}U{X『+：U)

[x-\>0[x-1<0

2.提出问题：形如山>0的简单分式不等式的解法：

x+b

同样可转化为一元二次不等式组{xl[x+：U}U{xlF+：<，}

山<0也可转化(略)

x+b

注意：1°实际上(x+a)(x+b)>0(<0)可考虑两根-a与-b,利用法则

求解：但此时必须注意x的系数为正。

2。简单分式不等式也同样要注意的是分母不能0(如二20

x+h

时)

3。形如*+cz0的分式不等式，可先通分，然后用上述方

x+b

法求解

3.例五：P21略

4.练习P21口答板演

三、如若有时间多余，处理《课课练》P16-17“例题推荐”

四、小结：突出“转化”

五、作业：P22习题1.52-8及《课课练》第9课中挑选部分

第十四教时

教材：苏大《教学与测试》P13-16第七、第八课

目的：通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法，逐步形成教熟

练的技巧。

过程：

一、复习：1.含绝对值不等式式的解法：(1)利用法则；

(2)讨论，打开绝对值符号

2.一元二次不等式的解法：利用法则(图形法)

二、处理苏大《教学与测试》第七课一含绝对值的不等式

《课课练》P13第10题：

设A=Lx-四*B={xl2Wx<3a+l}是否存在实数a的值，

分别使得：(1)ACB=A(2)AUB=A

解：•-丝al小如匹2a^x^a2+l

222

:.A={xl2a^x^a2+1)

(1)若AAB=A贝ljA±B2^2a^a2+1^3a+lnl《aW3

(2)若AUB=A贝ljBcA

.•.当B=0时2>3a+l=a<%

当B，0时2a^2^3a+l^a+l无解

**,a<%

三、处理《教学与测试》第八课——元二次不等式的解法

《课课练》P19“例题推荐”3

2

关于x的不等式x；l+k<3对一•切实数x恒成立，求实数k的取值范围o

x-x+3

解：=x2-x+3>0恒成立，原不等式可转化为不等式组：

-2、+夕-34+9-火>0由题意上述两不等式解集为实数

4x2-(*+3)x+9+k>0

△、=（jl-3）2-8（9-fc）<0~?<k<1n5-4面<«<7

△2=（々+3）2-16（9+A:）<05-4V10<k<5+4V10

即为所求。

四、作业：《教学与测试》第七、第八课中余下部分。

第十五教时

教材：二次函数的图形与性质(含最值);

苏大《教学与测试》第9课、《课课练》第十课。

目的：复习二次函数的图形与性质，期望学生对二次函数y=ax?+bx+c的三个参

数a,b,c的作用及对称轴、顶点、开口方向和△有更清楚的认识；同时对

闭区间内的二次函数最值有所了解、掌握。

过程：

一、复习二次函数的图形及其性质y=ax2+bx+c(a^O)

y

1.配方y=Jx+2丫比顶点，对称轴

[2a)4。

2.交点：与y轴交点(0,c)

与x轴交点(xj,O)(x2,0)

求根公式1勺-句|=音

3.开口

4.增减情况(单调性)5.△的定义

二、图形与性质的作用处理苏大《教学与测试》第九课

例题:《教学与测试》P17-18例一至例三

三、关于闭区间内二次函数的最值问题

结合图形讲解：突出如下几点：

1.必须是“闭区间”ai〈xWa2

2.关键是“顶点”是否在给定的区间内;

3.次之，还必须结合抛物线的开口方向，“顶点”在区间中点的左侧还是右

侧综合判断。

处理《课课练》P20“例题推荐”中例一至例三略

四、小结：1调二次函数y=ax?+bx+c(a*0)中三个“参数”的地位与作用。

我们实际上就是利用这一点来处理解决问题。

2于二次函数在闭区间上的最值问题应注意顶点的位置。

五、作业：《课课练》中P216、7、8

《教学与测试》P185、6、7、8及“思考题”

第十六教时

教材：一元二次方程根的分布

目的：介绍符号“f(x)”，并要求学生理解一元二次方程ax2+bx+c=0(aM)的根的

分布与系数a,b,c之间的关系，并能处理有关问题。

过程：

一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号如：二次

函数记作f(x)=ax2+bx+c(aM)x=l时的函数值记作f(l)即

f(l)=a+b+c

二、例一已知关于X的方程(k-2)x2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k的

取值范围。

A=(34+6尸-44-2>6-20--<k<6

解:=><—2<k<2=>--<k<0

k-25

6k八k<0或攵>2

---->0

k-2

此题主要依靠A及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。

例二实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一根

大于-2而小于0,另一根大于1而小于3o

/(-2)=3x(-2)2-5x(-2)+a>0

f(0)=a<0

/(l)=3-5+a<0

/(3)=3x32-5x3+a>0

n-12<a<0

此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。

例三已知关于x的方程x2-2tx+t2-l=0的两个实根介于-2和4之间,

/(-2)=r2+4r+3>0

/(4)=r-8r+15>0

A=4r2-4(/2-l)=4>0=>T<f<3

,b.

-2<----=Z<4

2a

此题既利用了函数值，还利用了△及顶点坐标来解题。

三、作业题(补充)

*1.关于x的方程x2+ax+a-l=0,有异号的两个实根，求a的取值

范围。341)

*2.如果方程x?+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中一根大于3,另一根

小于3,求实数a的取值范围。(asm

*3.若方程8x2+(m+l)x+m-7=0有两个负根,求实数m的取值范围。

(m>7)

*4.关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根,求实数a的取值范围。

(注：上述题目当堂巩固使用)

5.设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于T,另

一个实根小于T,则m,n必须满足什么关系。

((m+2)2+(n+2)2<4)

6.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个

实根小于1,求k的取值范围。Ck<dl^Jk>Q)

7.实数m为何值时关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两个

实根x1M满足0<xi<X2<2o„±T2<m<-l^

3<m<4)

8.已知方程x?+(a2—9)x+a2—5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,

求实数a的取值范围。(2<a<8/3)

9.关于x的二次方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求实数

m的取值范围。(-9/40Wm<l)

10.已知方程x2-mx+4=0在-IWxWl上有解，求实数m的取值范

围。

A=/n2-16>0

解：如果在-1WXW1上有两个解，则卜科+小42①

/(1)SO

./(-i)so

如果有一个解，则f(l)・f(-1)<0得mW-5或m25

(附：作业补充题)

作业题(补充)

*1.关于x的方程x?+ax+a-1=0,有异号的两个实根，求a的取值范围。

*2.如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中一根大于3,另一一根小于3,

求实数a的取值范围。

*3.若方程8x2+(m+l)x+m-7=0有两个负根，求实数m的取值范围。

*4.关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根，求实数a的取值范围。

(注：上述题目当堂巩固使用)

5.设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于T,另一个实根

小于-1,则m,n必须满足什么关系。

6.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于

1,求k的取值范围。

7.实数m为何值时关于x的方程7x?-(m+13)x+m2-m-2=0的两个实根xi,x2

满足0<xi<x2<2o

8.已知方程x?+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a

的取值范围。

9.关于x的二次方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求实数m的取值

范围。

10.已知方程X?—mx+4=0在—IWXWI上有解，求实数m的取值范围。

作业题(补充)

*1.关于x的方程x2+ax+a-l=0,有异号的两个实根，求a的取值范围。

*2.如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中-