第五节松弛法演示文稿

第五节松弛法演示文稿当前1页，总共12页。优选第五节松弛法当前2页，总共12页。§5RelaxationMethods当前3页，总共12页。Gauss-SeidelIterativeMethod…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel

迭代阵§5RelaxationMethods当前4页，总共12页。Gauss-Seidel…………当前5页，总共12页。§5RelaxationMethods当前6页，总共12页。§5RelaxationMethods当前7页，总共12页。定理设A

可逆，且aii0，松弛法从任意出发对某个收敛

(L)<1。§5RelaxationMethods当前8页，总共12页。§5RelaxationMethods定理

（Kahan必要条件）设A

可逆，且aii0，松弛法从任意出发收敛0<<2

。证明：，而且收敛|i|<1总成立已知收敛|det(L)|<1|det(L)|=|1|n<10<<2

当前9页，总共12页。§5RelaxationMethods定理

（Ostrowski-Reich充分条件）若A对称正定，且有0<<2，则松弛法从任意出发收敛。（证明以后给出）Q:Whatfactordeterminesthespeedofconvergence?A:

Thesmaller

(B)is,thefastertheiterationswillconverge.对于SOR法，希望找使得(L)

最小。当前10页，总共12页。§5RelaxationMethods定理若A

为对称正定三对角阵，则且SOR的最佳松弛因子

/*optimalchoiceofforSORmethod*/为，此时。例：，考虑迭代格式问：取何值可使迭代收敛？

取何值时迭代收敛最快？解：考察B=I+A

的特征根1=1+,2=1+3

收敛要求

(B)<1-2/3<<0

(B)=

max{|1+

|,|1+3

|}

当取何值时最小？-2/3-1/30=-1/2当前11页，总共12页。§5RelaxationMethodsLab08.SORMethod UsetheSORmethodtosolveagivenn×nlinearsystemwithaninitialapproximationandasetof’s.Input Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100

n

0whichisthesizeofamatrix.n=1signalstheendoffile. Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.ThenextlinecontainsarealnumberTOL,whichisthetolerancefor||·||norm,andanintegerN

0whichisthemaximumnumberofiterations.