2019版数学大江苏专版：第五章 平面向量5.1 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精考试内容等级要求平面向量的概念B平面向量的加法、减法及数乘运算B平面向量的坐标表示B平面向量的数量积C平面向量的平行与垂直B平面向量的应用A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查,有时也会有创新的新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a｜）平行向量（共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02。向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律:（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算（1)｜λa｜＝|λ｜|a|；(2)当λ〉0时，λa与a的方向相同；当λ〈0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0（1)λ（μa）＝(λμ）a；(2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；(3）λ（a＋b)＝λa＋λb3。共线向量定理向量a（a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.知识拓展1．一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o（A1A2，\s\up6(→)）＋eq\o（A2A3，\s\up6（→)）＋eq\o(A3A4，\s\up6(→）)＋…＋＝eq\o（A1An,\s\up6(→））,特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP，\s\up6(→))＝eq\f(1，2）（eq\o(OA,\s\up6(→））＋eq\o（OB,\s\up6(→)）)．3。eq\o（OA，\s\up6(→））＝λeq\o(OB，\s\up6(→））＋μeq\o(OC,\s\up6（→)）（λ，μ为实数）,若点A，B,C共线，则λ＋μ＝1。题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（×）(2)|a|与|b｜是否相等与a,b的方向无关．(√）（3)若a∥b，b∥c，则a∥c。(×)(4）若向量eq\o（AB，\s\up6（→））与向量eq\o（CD,\s\up6(→))是共线向量,则A，B,C,D四点在一条直线上．（×）（5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（√)（6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×）题组二教材改编2．[P72习题T13]在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD，\s\up6（→)）｜＝|eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\o（AD，\s\up6(→)）｜，则四边形ABCD的形状为．答案矩形解析如图，因为eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o（AC，\s\up6(→））,eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o(DB,\s\up6(→)），所以|eq\o(AC,\s\up6（→））|＝｜eq\o(DB，\s\up6（→））|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．3．［P72习题T9］已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a,eq\o(OB，\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC，\s\up6（→)）＝，eq\o(BC，\s\up6(→))＝。(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图,eq\o(DC,\s\up6（→)）＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o（OB，\s\up6(→）)－eq\o（OA，\s\up6(→）)＝b－a，eq\o(BC，\s\up6（→）)＝eq\o(OC，\s\up6(→)）－eq\o(OB,\s\up6（→））＝－eq\o（OA,\s\up6（→)）－eq\o(OB，\s\up6(→))＝－a－b.题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的条件．答案充分不必要解析若a＋b＝0,则a＝－b,所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行,则实数λ＝。答案eq\f（1,2）解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa＋b＝μ（a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb,则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝μ，，1＝2μ，)）解得λ＝μ＝eq\f(1,2）.6．（2013·江苏）设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2，3)BC。若eq\o（DE，\s\up6（→)）＝λ1eq\o(AB,\s\up6（→））＋λ2eq\o（AC,\s\up6(→)）(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．答案eq\f(1，2)解析eq\o(DE,\s\up6(→)）＝eq\o(DB,\s\up6(→)）＋eq\o(BE，\s\up6（→))＝eq\f（1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\f（2,3)eq\o（BC，\s\up6(→）)＝eq\f（1,2）eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\f(2，3)（eq\o(BA，\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→）))＝－eq\f（1，6）eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\f（2，3)eq\o(AC，\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f（1，6），λ2＝eq\f（2,3),即λ1＋λ2＝eq\f(1，2）。题型一平面向量的概念1．给出下列四个命题：①若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点,则eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o(DC,\s\up6(→））是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c;④a＝b的充要条件是｜a|＝｜b｜且a∥b.其中正确命题的序号是．答案②③解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确．∵eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o(DC,\s\up6（→)），∴｜eq\o(AB,\s\up6（→)）|＝｜eq\o(DC，\s\up6(→)）｜且eq\o（AB,\s\up6(→）)∥eq\o(DC，\s\up6（→）)，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形,反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o（AB，\s\up6(→)）∥eq\o（DC，\s\up6(→）)且｜eq\o（AB，\s\up6（→）)|＝|eq\o（DC，\s\up6（→）)|，∴eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o（DC,\s\up6（→））;③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c,∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c;④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b｜，也不能得到a＝b，故|a|＝｜b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a｜a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0;③若a与a0平行且｜a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是．答案3解析向量是既有大小又有方向的量，a与｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同,故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向,二是反向,反向时a＝－|a｜a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3。思维升华向量有关概念的关键点（1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．（4）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算典例(1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6（→））＝c，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝b，若点D满足eq\o(BD，\s\up6（→)）＝2eq\o（DC,\s\up6(→））,则eq\o（AD,\s\up6(→））＝.答案eq\f（2,3）b＋eq\f(1,3）c解析∵eq\o(BD，\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6（→)),∴eq\o（AD,\s\up6(→)）－eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o(BD，\s\up6（→))＝2eq\o(DC，\s\up6（→））＝2（eq\o（AC，\s\up6（→）)－eq\o（AD,\s\up6（→））），∴3eq\o(AD,\s\up6（→)）＝2eq\o(AC,\s\up6(→)）＋eq\o(AB，\s\up6（→）)，∴eq\o（AD,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\f(1，3）eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\f(2,3）b＋eq\f(1，3）c。(2）如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量eq\o(AB,\s\up6(→)），eq\o（AC，\s\up6(→）)表示eq\o(CE，\s\up6（→））为．答案eq\o(CE,\s\up6（→）)＝eq\f(2，9）eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\f（8,9）eq\o（AC，\s\up6（→))解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE，\s\up6（→））＝eq\o(CA，\s\up6（→））＋eq\o(AE,\s\up6（→)),eq\o(AE，\s\up6（→)）＝eq\f（1,3）eq\o(AD，\s\up6(→))，eq\o（AD,\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（BD,\s\up6(→）)，eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\f(1,3)eq\o（BC,\s\up6（→)），eq\o(BC,\s\up6（→）)＝eq\o(BA，\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6(→）），eq\o(BD,\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)（eq\o（BA，\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6(→)）)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→)）＋eq\f(1，3)eq\o(AC，\s\up6(→)）,eq\o（AE，\s\up6（→）)＝eq\f（1，3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o(AB,\s\up6（→））＋\f(1，3）\o（BA,\s\up6(→)）＋\f(1,3）\o（AC,\s\up6(→)）)）,eq\o(CE，\s\up6(→)）＝eq\o(CA,\s\up6(→)）＋eq\f（1，3)eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\f（1，9）eq\o(BA,\s\up6（→））＋eq\f(1,9)eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\f（1,3）eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f(1，9)eq\o(BA,\s\up6(→）)＋eq\o(CA，\s\up6（→))＋eq\f(1,9）eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\f(2，9）eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9）eq\o（CA,\s\up6(→))，∵eq\f(8,9)eq\o(CA，\s\up6(→）)＝－eq\f（8，9）eq\o（AC,\s\up6(→）），∴eq\o(CE,\s\up6（→))＝eq\f(2，9)eq\o(AB，\s\up6（→))－eq\f(8，9）eq\o（AC,\s\up6（→)）.命题点2根据向量线性运算求参数典例（1）在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→)）＝2eq\o(MC，\s\up6(→)），eq\o(BN，\s\up6(→)）＝eq\o(NC，\s\up6（→）)。若eq\o（MN,\s\up6(→)）＝xeq\o（AB，\s\up6（→）)＋yeq\o（AC，\s\up6（→）),则x＝，y＝.答案eq\f（1，2）－eq\f（1,6)解析eq\o（MN，\s\up6(→））＝eq\o（MC,\s\up6（→)）＋eq\o（CN,\s\up6(→)）＝eq\f（1，3）eq\o(AC,\s\up6(→））＋eq\f(1，2）eq\o(CB,\s\up6（→））＝eq\f（1，3)eq\o（AC，\s\up6(→））＋eq\f(1,2)(eq\o（AB，\s\up6(→))－eq\o(AC，\s\up6（→）))＝eq\f（1,2）eq\o(AB,\s\up6（→)）－eq\f(1,6）eq\o（AC,\s\up6(→))＝xeq\o（AB，\s\up6（→）)＋yeq\o(AC，\s\up6(→）),∴x＝eq\f(1，2)，y＝－eq\f（1，6).(2）在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且eq\o(BC，\s\up6(→）)＝3eq\o（CD，\s\up6（→)),点O在线段CD上（与点C，D不重合），若eq\o(AO，\s\up6(→））＝xeq\o（AB,\s\up6(→)）＋（1－x)eq\o（AC，\s\up6(→))，则x的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)，0）)解析设eq\o(CO,\s\up6（→））＝yeq\o(BC，\s\up6（→)）,∵eq\o（AO，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6（→））＋eq\o(CO,\s\up6(→））＝eq\o（AC,\s\up6(→))＋yeq\o（BC,\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→))＋y（eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o(AB,\s\up6(→）)）＝－yeq\o(AB,\s\up6（→))＋(1＋y）eq\o(AC，\s\up6（→））。∵eq\o(BC，\s\up6（→))＝3eq\o(CD，\s\up6（→)），点O在线段CD上（与点C，D不重合），∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3））),∵eq\o（AO，\s\up6（→）)＝xeq\o(AB，\s\up6（→））＋(1－x)eq\o（AC，\s\up6（→）)，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)，0)).思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．（2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．（3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练(1)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→)）用eq\o(AB，\s\up6（→）)和eq\o(AD，\s\up6(→））可表示为．答案eq\o（EF，\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）eq\o（AB,\s\up6（→）)－eq\f(2，3）eq\o(AD，\s\up6（→))解析在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6(→））＝eq\o(EC，\s\up6（→））＋eq\o(CF，\s\up6（→）)。因为点E为DC的中点，所以eq\o（EC，\s\up6(→))＝eq\f(1,2）eq\o(DC，\s\up6（→))。因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，所以eq\o（CF，\s\up6(→)）＝eq\f（2，3）eq\o（CB,\s\up6(→）).所以eq\o(EF，\s\up6(→))＝eq\f(1，2)eq\o(DC,\s\up6（→)）＋eq\f（2,3)eq\o(CB,\s\up6（→))＝eq\f（1，2)eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\f(2，3)eq\o(AD,\s\up6（→)）.（2）如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点，且与对角线AC交于点K，其中,eq\o(AE，\s\up6（→））＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→）)，eq\o(AF，\s\up6(→)）＝eq\f(1，2)eq\o（AD，\s\up6（→）），eq\o（AK，\s\up6（→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→）），则λ的值为．答案eq\f（2,9）解析∵eq\o（AE,\s\up6(→))＝eq\f(2，5)eq\o(AB,\s\up6(→)），eq\o(AF，\s\up6(→））＝eq\f（1,2)eq\o(AD，\s\up6（→)),∴eq\o(AB，\s\up6(→))＝eq\f(5，2)eq\o(AE,\s\up6(→)），eq\o（AD，\s\up6(→)）＝2eq\o(AF，\s\up6（→）)。由向量加法的平行四边形法则可知,eq\o(AC，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AD，\s\up6（→）），∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o（AC，\s\up6(→））＝λ（eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o（AD，\s\up6（→）））＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF，\s\up6（→)))）＝eq\f（5,2)λeq\o（AE，\s\up6(→））＋2λeq\o(AF,\s\up6（→）），∵E，F，K三点共线，∴eq\f(5,2)λ＋2λ＝1,∴λ＝eq\f(2,9）。题型三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线．（1）若eq\o(AB，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o(BC，\s\up6（→）)＝2a＋8b,eq\o(CD,\s\up6(→)）＝3(a－b）,求证：A，B，D三点共线;(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．（1）证明∵eq\o（AB,\s\up6(→))＝a＋b,eq\o（BC，\s\up6（→））＝2a＋8b，eq\o（CD，\s\up6(→））＝3（a－b),∴eq\o（BD,\s\up6（→))＝eq\o(BC,\s\up6（→))＋eq\o（CD,\s\up6（→）)＝2a＋8b＋3（a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)），∴eq\o（AB,\s\up6(→））,eq\o(BD,\s\up6（→))共线．又∵它们有公共点B,∴A，B，D三点共线．（2）解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即(k－λ）a＝（λk－1）b。又a，b是两个不共线的非零向量,∴k－λ＝λk－1＝0。消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1。引申探究若将本例(1）中“eq\o(BC,\s\up6(→）)＝2a＋8b”改为“eq\o（BC，\s\up6（→)）＝a＋mb"，则m为何值时，A，B，D三点共线？解eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→）)＝(a＋mb)＋3（a－b）＝4a＋（m－3)b，即eq\o（BD，\s\up6（→)）＝4a＋(m－3）b.若A，B,D三点共线,则存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6（→)）＝λeq\o（AB，\s\up6（→)）。即4a＋（m－3)b＝λ(a＋b）．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4＝λ，,m－3＝λ，））解得m＝7。故当m＝7时，A，B，D三点共线．思维升华(1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线．（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a,b不共线．跟踪训练(1)（2017·镇江一中月考）已知e1,e2是一对不共线的非零向量,若a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2,且a，b共线，则λ＝。答案±eq\f(\r(2),2)解析∵a，b共线，∴b＝γa＝γe1＋γλe2＝－2λe1－e2,故eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（γ＝－2λ，,γλ＝－1,））解得λ＝±eq\f(\r（2),2).(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上,则使等式x2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB，\s\up6(→）)＋eq\o(BC,\s\up6（→))＝0成立的实数x的取值集合为．答案｛－1｝解析∵eq\o(BC，\s\up6（→))＝eq\o（OC,\s\up6(→))－eq\o（OB，\s\up6(→)),∴x2eq\o（OA，\s\up6（→））＋xeq\o（OB，\s\up6(→)）＋eq\o（OC,\s\up6（→))－eq\o(OB，\s\up6(→))＝0，即eq\o(OC，\s\up6（→）)＝－x2eq\o(OA,\s\up6（→））－(x－1）eq\o（OB，\s\up6（→)),∵A，B，C三点共线,∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0,解得x＝0或x＝－1。当x＝0时，x2eq\o（OA，\s\up6(→)）＋xeq\o（OB,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＝0，此时B，C两点重合,不合题意，舍去，故x＝－1.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是．(填序号)①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；②｜a｜＋｜b|＝｜a＋b｜⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o(BA,\s\up6（→))＝0；⑤若λa＝λb，则a＝b.错解展示：④中两个向量的和仍是一个向量，所以eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（BA，\s\up6（→）)＝0。错误答案④现场纠错解析对于①,当a＋b＝0时,其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于③，当a＝0且b＝0时,λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量,所以eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(BA，\s\up6（→））＝0.对于⑤，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤均错．答案①②③④⑤纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．给出以下命题：①|a|与｜b｜是否相等与a，b的方向无关;②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小;④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是．答案2解析②④错误．2．设a是非零向量，λ是非零实数,下列结论中正确的是．（填序号）①a与λa的方向相反；②a与λ2a的方向相同；③|－λa｜≥｜a｜;④|－λa|≥｜λ｜·a。答案②解析对于①,当λ〉0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反;②正确;对于③,|－λa|＝｜－λ||a|，由于｜－λ|的大小不确定,故|－λa｜与｜a｜的大小关系不确定；对于④，｜λ|a是向量,而|－λa｜表示长度,两者不能比较大小．3．(2017·南京十三中月考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→)）＝λeq\o（AO，\s\up6(→）），则λ＝。答案2解析由平行四边形法则，得eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6（→))＝2eq\o（AO,\s\up6(→)），故λ＝2。4．（2017·镇江实验中学调研）在△ABC中，已知D是AB边上一点,若eq\o（AD，\s\up6（→))＝2eq\o(DB,\s\up6（→）)，eq\o(CD，\s\up6（→))＝eq\f(1，3)eq\o（CA，\s\up6（→））＋λeq\o（CB，\s\up6(→))，则λ＝.答案eq\f(2，3)解析在△ABC中,已知D是AB边上一点，∵eq\o（AD，\s\up6（→））＝2eq\o（DB，\s\up6（→)），eq\o（CD,\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)eq\o(CA,\s\up6（→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→））,∴eq\o(CD，\s\up6（→）)＝eq\o（CA,\s\up6（→))＋eq\o(AD，\s\up6（→））＝eq\o(CA，\s\up6（→)）＋eq\f（2,3)eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o（CA,\s\up6(→)）＋eq\f（2，3）（eq\o(CB,\s\up6(→)）－eq\o(CA,\s\up6(→))）＝eq\f(1，3)eq\o(CA，\s\up6(→))＋eq\f（2,3)eq\o（CB，\s\up6(→）），∴λ＝eq\f（2,3)。5.如图所示，在△ABC中,点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N,若eq\o(AB,\s\up6(→））＝meq\o（AM,\s\up6(→)），eq\o(AC，\s\up6(→））＝neq\o(AN,\s\up6（→）），则m＋n的值为．答案2解析∵O为BC的中点，∴eq\o（AO,\s\up6(→））＝eq\f（1，2）（eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(AC,\s\up6(→）））＝eq\f(1,2)(meq\o（AM，\s\up6(→)）＋neq\o（AN,\s\up6（→））)＝eq\f(m，2)eq\o（AM，\s\up6(→)）＋eq\f(n，2）eq\o(AN,\s\up6（→))，∵M，O，N三点共线，∴eq\f（m，2）＋eq\f（n,2)＝1，∴m＋n＝2.6．设a，b不共线，eq\o（AB，\s\up6(→））＝2a＋pb，eq\o（BC，\s\up6（→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→））＝a－2b，若A，B,D三点共线，则实数p的值为．答案－1解析∵eq\o（BC，\s\up6（→）)＝a＋b，eq\o（CD,\s\up6(→）)＝a－2b,∴eq\o(BD,\s\up6(→)）＝eq\o(BC，\s\up6(→））＋eq\o（CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴eq\o（AB，\s\up6（→）)，eq\o(BD,\s\up6（→））共线．设eq\o（AB，\s\up6（→)）＝λeq\o(BD，\s\up6（→）），∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ,∴λ＝1，p＝－1.7．已知两个非零向量a，b满足｜a＋b|＝｜a－b｜,则下列结论正确的是．(填序号）①a∥b；②a⊥b;③|a｜＝｜b｜;④a＋b＝a－b。答案②解析根据向量加法、减法的几何意义可知，｜a＋b｜与｜a－b｜分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a＋b｜＝｜a－b｜，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC,CA，AB的中点，且eq\o(BC，\s\up6（→)）＝a,eq\o(CA,\s\up6（→))＝b，给出下列命题：①eq\o（AD,\s\up6（→））＝eq\f（1，2）a－b;②eq\o（BE，\s\up6(→）)＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f（1，2）a＋eq\f(1,2)b；④eq\o（AD,\s\up6(→））＋eq\o(BE,\s\up6(→）)＋eq\o(CF,\s\up6(→)）＝0.其中正确命题的序号为．答案②③④解析eq\o(BC,\s\up6(→)）＝a，eq\o(CA，\s\up6(→）)＝b，eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB，\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→))＝－eq\f(1，2)a－b，eq\o(BE,\s\up6（→)）＝eq\o（BC，\s\up6(→））＋eq\f（1,2)eq\o(CA，\s\up6（→）)＝a＋eq\f（1,2)b,eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1，2）（eq\o（CB，\s\up6(→))＋eq\o（CA,\s\up6(→））)＝eq\f（1,2)（－a＋b)＝－eq\f(1,2）a＋eq\f（1,2)b,所以eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o（BE，\s\up6（→))＋eq\o(CF，\s\up6(→））＝－b－eq\f（1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f（1,2)b－eq\f(1，2）a＝0。所以正确命题的序号为②③④.9。如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若eq\o（AC,\s\up6（→）)＝meq\o（AB,\s\up6（→)）＋neq\o（AD，\s\up6(→）)(m，n∈R)，则m－n＝.答案－2解析由BD＝2DC，得eq\o（BC，\s\up6(→）)＝－3eq\o(CD，\s\up6（→）），其中eq\o（BC，\s\up6(→))＝eq\o（AC，\s\up6（→))－eq\o(AB，\s\up6（→））,eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o（AD，\s\up6（→））－eq\o（AC，\s\up6（→)),那么eq\o（BC,\s\up6(→））＝－3eq\o(CD，\s\up6(→))可转化为eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o(AB，\s\up6（→））＝－3(eq\o(AD，\s\up6（→))－eq\o（AC，\s\up6（→))），可以得到－2eq\o(AC，\s\up6（→)）＝－3eq\o（AD，\s\up6（→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o（AC，\s\up6（→））＝－eq\f(1，2)eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f（3,2）eq\o(AD，\s\up6(→)），则m＝－eq\f(1,2）,n＝eq\f(3，2)，那么m－n＝－eq\f(1，2）－eq\f(3,2)＝－2.10．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°,AB＝2eq\r（3），BC＝2,点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→））＝eq\o(AD，\s\up6（→))＋μeq\o(AB，\s\up6（→）)，则μ的取值范围是．答案eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(1，2))）解析由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r（3），∴eq\o（AB,\s\up6（→））＝2eq\o（DC，\s\up6(→）），∵点E在线段CD上，∴eq\o（DE，\s\up6（→))＝λeq\o（DC，\s\up6（→）)(0≤λ≤1)．∵eq\o（AE，\s\up6(→））＝eq\o(AD,\s\up6（→)）＋eq\o（DE,\s\up6（→））,又eq\o（AE，\s\up6(→）)＝eq\o（AD，\s\up6(→))＋μeq\o（AB，\s\up6(→））＝eq\o（AD,\s\up6（→）)＋2μeq\o（DC,\s\up6(→））＝eq\o(AD，\s\up6(→))＋eq\f(2μ，λ）eq\o（DE，\s\up6（→）),∴eq\f（2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2)，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f（1,2).即μ的取值范围是eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2))）。11。如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB,AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC，\s\up6(→））＝b，试用a,b表示向量eq\o(AO，\s\up6(→））.解方法一由D，O，C三点共线,可设eq\o(DO,\s\up6（→））＝k1eq\o(DC,\s\up6(→))＝k1(eq\o（AC，\s\up6(→)）－eq\o（AD,\s\up6（→)））＝k1eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（b－\f(1，2）a）)＝－eq\f(1,2)k1a＋k1b（k1为实数），同理，可设eq\o(BO,\s\up6(→））＝k2eq\o（BF，\s\up6（→））＝k2（eq\o(AF，\s\up6（→））－eq\o(AB,\s\up6（→）)）＝k2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b－a）)＝－k2a＋eq\f(1,2）k2b(k2为实数)，①又eq\o（BO，\s\up6（→）)＝eq\o(BD,\s\up6(→)）＋eq\o(DO，\s\up6（→))＝－eq\f(1，2)a＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）k1a＋k1b)）＝－eq\f(1，2)（1＋k1）a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2)k2b＝－eq\f(1，2)（1＋k1）a＋k1b，即eq\f（1，2)(1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)k2－k1))b＝0.又a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)1＋k1－2k2＝0，，\f（1,2）k2－k1＝0,)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k1＝\f（1,3）,，k2＝\f(2,3)。)）所以eq\o（BO，\s\up6（→)）＝－eq\f(2，3）a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o（AO，\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o（BO，\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3）a＋\f(1，3)b）)＝eq\f(1，3)(a＋b）．方法二延长AO交BC于点E,则E为BC的中点，所以eq\o(AO，\s\up6(→））＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）\o(AB,\s\up6(→））＋\f（1，2）\o(AC，\s\up6（→）））)＝eq\f(1，3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o（AB，\s\up6(→））＋\o（AC,\s\up6(→））))＝eq\f（1，3)（a＋b）．12．设a，b是不共线的两个非零向量．（1）若eq\o(OA,\s\up6（→)）＝2a－b，eq\o（OB，\s\up6(→)）＝3a＋b，eq\o（OC,\s\up6（→）)＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；（2）若eq\o(AB，\s\up6（→））＝a＋b,eq\o(BC,\s\up6（→))＝2a－3b，eq\o（CD，\s\up6（→））＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．(1）证明由已知得，eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o(OB,\s\up6(→）)－eq\o（OA，\s\up6(→)）＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b,eq\o（BC,\s\up6(→))＝eq\o（OC,\s\up6（→）)－eq\o(OB,\s\up6(→）)＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故eq\o(BC,\s\up6（→））＝－2eq\o(AB,\s\up6（→)),又eq\o（BC，\s\up6（→）)与eq\o(AB,\s\up6（→))有公共点B，所以A，B，C三点共线．（2)解eq\o(AC,\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)）＝3a－2b,eq\o（CD，\s\up6(→）)＝2a－kb.因为A,C,D三点共线，所以eq\o（AC,\s\up6（→））＝λeq\o（CD，\s\up6(→）），即3a－2b＝2λa－kλb，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ,,2＝kλ，）)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3，2)，，k＝\f（4,3)。））综上，k的值为eq\f（4，3)。13．已知△ABC和点M满足eq\o(MA，\s\up6(→）)＋eq\o(MB,\s\up6(→））＋eq\o(MC，\s\up6（→)）＝0.若存在实数m，使得eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6(→)）＝meq\o(AM,\s\up6(→）)成立，则m＝。答案3解析由eq\o(MA，\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→）)＋eq\o（MC，\s\up6（→)）＝0知,点M为△ABC的重心,设点D为边BC的中点,则eq\o(AM,\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\f(2，3)×eq\f(1,2）（eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→）））＝eq\f(1,3）(eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o(AC，\s\up6（→)））,所以eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→)）＝3eq\o（AM,\s\up6（→)）,故m＝3。14．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足eq\o(AD,\s\up6（→)）＝eq\f(1,5)eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f(4，5）eq\o（CA，\s\up6（→)），若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为．答案4解析由eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\f（1，5）eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\f(4,5）eq\o(CA,\s\up6(→)），得5eq\o(AD，\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋4eq\o（AC,\s\up6