概率论：二维随机变量的函数的分布

二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数是一维离散型随机变量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?例1

设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij

-112-10求的概率分布解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)

(-1,0)

(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)-2-10112

0-12132

10-10-20

10-10-1/20故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123PXY-2-101PY/X-1-1/201结论例

2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解可得所以

设

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布

设

X~P(1),Y~P(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(1+2)

证明过程见73页例3.21

问题

已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，

g(x,y)为已知的二元函数，求Z=g(X,Y)

的密度函数.方法

从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件三、连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数1.和分布：Z=X+Y的分布求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。•z•zx+y=z设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,卷积公式称之为函数

fX

与fY

的卷积

例3

设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为

〖解〗因为X,Y独立且其概率密度分别为1、考虑被积函数的非零区域;

2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上积分;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.所以Z~N(0,2).说明

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

正态随机变量的结论（定理3.1）

若X,Y相互独立,则

若相互独立则推广例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：

〖

解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷积公式计算:求Z=X+Y概率密度。

计算积分思路:1.被积函数非零区域;2.z取任意实数;3.x在(-∞,+∞)上积分;4.综合上述就z分段.

由边缘概率密度确定

的表达式,特别是其非零区域

:由题目条件得:故得:

计算卷积:

函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-∞积分至+∞(只需在非零区域内一段上积分).

因为所以综上可得:□

参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;

对上述各分段中取定的z值,就x从-∞积分至+∞,实际只需在非零区域D上一段积分.

卷积计算思路

在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;

注意：上述也是一般参量积分的计算方法。练习

若X和Y独立,

具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式暂时固定故当或

时,当

时,当

时,于是推广例解需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.小结1.离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的分布这里X,Y相互独立。例题

设随机向量(X,Y)服从区域D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.解

(X,Y)的联合概率密度为1331(1)u≤0时,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.Gf(u