第七章一阶电路和二阶的时域

7一阶电路和二阶电路的时域分析7-3一阶电路的零状态响应*7-5二阶电路的零输入响应*7-6二阶电路的零状态响应和全响应*7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应7-2一阶电路的零输入响应7-4一阶电路的全响应7-1动态电路的方程及其初始条件*7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应*7-10状态方程7-1动态电路的方程及其初始条件动态电路的分析求解：第7章——经典法\时域分析法（低阶动态电路）第14章——运算法\复频域分析法（高阶动态电路）动态电路：含有电容、电感的电路称为动态电路。电容C、电感L——动态元件一、动态电路（transientcircuit）二、稳态和暂态（过渡过程）t0u稳态3Vt0u3V稳态暂态（过渡过程）3V+-1k(t=0)u+-3V+-1ki(t=0)3uF+-u∞三、动态电路与电阻性电路的区别代数方程微分或积分方程一阶电路:由一阶微分方程描述3V+-1k(t>0)u+-3V+-1ki(t>0)3uF+-u换路：电路状态发生改变。如电源的接通或断开，电路短路、开路，参数突变等。设换路时刻为t＝0时刻对电容C，电流有限；对电感，电压有限四、换路定理t＝0t＝0-t＝0+换路前的最后时刻换路后的最初时刻uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)注意：换路定理只有两条1、换路定理稳态暂态2、换路定理的应用（求解过渡过程的初始值）分析过渡过程从t＝0+时开始，因此，t＝0+时刻为过渡过程的起点。（1）uC(0+)，iL(0+)为初始条件（2）求解初始值的步骤：

画出t＝0-时的电路，求出uC(0-)和iL(0-)。当换路前电路处于稳态，则C视为开路，L视为短路。

根据换路定理求出uC(0+)和iL(0+)。*

画出uC(0+)时的电路：

C——电压值为uC(0+)的电压源；

L——电流值为iL(0+)的电流源。

按uC(0+)时的电路，求出其他所需的初始值。St=012+-10V+-5V2F+-uC10Ω

iCSt=0-12+-10V+-5V+-uC(0-)10Ω

iC=0St=012+-10V+-5V2F+-uC10Ω

iCt=0-(1)开关未动作；(2)稳定状态，C→开路；t=0+,(1)开关已动作；(2)暂态t→∞,(1)开关已动作；(2)稳态，C→开路t=0-(1)开关未动作；(2)稳定状态，L→短路；t=0+,(1)开关已动作；(2)暂态t→∞,(1)开关已动作；(2)稳态，L→短路电路的输入为零，仅由动态元件的初始储能引起的响应（1）开关在1闭合很久后，将开关打向2。t=0-，

uC(0-)=U0（2）t=0+动态元件有初始储能:uC(0+)=uC(0-)=U0uCRi+-C一、RC电路uC+-icRiR(t=0)U0+-C127-2一阶电路的零输入响应uC(0+)=U0C=0duCdtuCR+（t≥0）0tU0RU0uC放电曲线U0Rii=-RCtU0Re=-iC(2)RC电路t>0方程的通解为：特征方程为：uC(0+)=U0C=0duCdtuCR+（t≥0）uCRi+-CiL(0+)=iL(0-)=U0/R0=I0L=0diLdt+RiL（t≥0）二、RL电路RR0LiL12U0+-R0iL(0-)=U0/R0U0+-（2）0+时刻，开关已动作LiLR（1）0-时刻，电路稳态开关未动作，电感等效短路iL(0+)=iL(0-)=U0/R0=I0L=0diLdt+RiL（t≥0）iL=I0e（t0）-LtRu=-（t0）-LtRRI0e（3）t>0LiLR（t≥0）0tu-RI0iL放电曲线I0方程的通解为：特征方程为：τ=RCτLR=一般RC电路和RL电路的时间常数R是分别由电容或电感元件两端观察的入端电阻(换路后的电路)电阻性电路C无独立电源电阻性电路L无独立电源RR+-18v6k1Fuc3k+-12R6k3k12换路后t≥02k1Fuc+-等效电路三、时间常数τ10v+-

数值意义y(t1)=y(0+)eτ

t1y(t1+τ)=y(0+)eτ

t1+τ=y(t1)e–1=0.368y(t1)即经过一个时间常数τ

，y(t+τ)为原值y(t)的36.8％(t≥0)

具有时间的量纲τ小，放电快y(0+)y(t)t0

表征响应衰减的快慢程度y(t)=y(0+)eτ

tτ大，放电慢电阻性电路C电阻性电路L+-uOCR0C+-uOCR0LR0CiSC或LR0iSC或四、典型的一阶电路+-18v6k1Fuc3k+-例1图示电路原处于稳态，t=0时将开关接到“2”，对t0

求uC。12uC(0–)=186/9=12VuC(0+)=uC(0–)=12V例：零输入响应电路求解6k1Fuc3k+-(t>0)作出对于电容的等效电路2k1FuC+-(t>0)uC=12e–10–62103t=12e–500tτ=RC=2*10-3(秒)电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由激励引起的响应一、RC电路零状态分析+-USuC+-CR12i7-3一阶电路零状态响应+-uC+-CRiUSt≥0uC(0+)=0RC=USduCdt+(t≥0)uCuC(0–)=0uC(0+)=0开关动作前电路已达稳定uC(0+)=0RC=USduCdt+(t≥0)uC1、方程求解+-uC

(∞)开路+-RiUSt→∞开关已动作，电路进入新的稳态uC(∞)=UsUSuC充电曲线0tuC=US-USe)-RCt（t0）uC=US–USe-RCt（t0）特解齐次解稳态分量暂态分量+-uC+-CRUS强制分量自由分量2、讨论0+时刻，开关动作，暂态0-时刻，开关未动作，稳态0+时刻，开关动作，暂态概念一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,电路的响应USuC=(U0US)e-RCt+7-4一阶电路的全响应ucCR+-USUSU0+-S(t=0)uc(0+)=U0RC=USduCdt+（t0）uCuC(0+)=U0RC=USduCdt+(t≥0)uC一、方程求解三要素：

f(0+)，f()，τ二、求解一阶电路的三要素法1、（2）τ—与输入无关，归结为求由电容元件或电感元件观察的入端电阻R(同零输入响应)LRτ=RCτ=（3）f(0+):uc(0-)，iL(0-)uc(0+)，iL(0+)（1）f()—电路达到新的稳态（设为时刻）

换路后，电路达到新的稳态，此时电容元件相当于开路，电感元件相当于短路。2、求解全响应基本步骤

根据0-和0+时刻的等效电路求解初始值uC(0+)和iL(0+)

将换路后的电路进行等效变换：除动态元件以外的电路等效变换为戴维宁模型或诺顿模型。开路电压UOC，短路电流ISC，输入电阻Rin

列写微分方程求解或者根据三要素法，求出三要素：

f(0+)，f()，。再根据解的结构直接写出解答。UOCRin+-ab动态元件τ

t

f(t)=[f(0+)-f()]e+f()uC(0–)=150(V)uC(0+)=150(V)τ=0.35000/150=10(s)uC=100+50e–0.1t(V)

(t0)uC()=35000/150=100(V)τ

ty(t)=[y(0+)-y()]e+y()应用换路定理求解初始值3A100500.3F+-uCab100V100/30.3F+-uC+-ab换路后的等效电路例13A50+-uC(0-)ab10mA1k+-1k2k10V+-uLiL1H例2iL(0–)=5mAiL(0+)=5mAiL()=10/103=10mAuL(0+)=5VuL()=0=10–3siL=10–5e–1000tmAuL=5e–1000tViL+-1k10V1Hab换路后的等效电路5mA+-2k2k10V+-uL+-10V(t=0+)7-17换路后等效戴维宁电路：uCC12R+-U0iLL（L>0,C>0,R0）uC(0-)=U0iL(0-)=I0uC(0+)=U0iL(0+)=I0d2uCdt2duCdtRL+LC1+uC=0uCCR+-iLL(t>0)7-5二阶电路的零输入响应一、电路方程（以uC为变量）考虑uC(0+)=U0≠0,iL(0+)=0情况d2uCdt2duCdtRL+LC1+uC=0uC(0+)=U0duCdt(0+)=0uCCR+-iLL(t>0)uC(0+)=U0iL(0+)=01过阻尼情况(非振荡性放电)0tuCiLU0uCtmuL二、方程的解RLC++--uLuC(0ttm)RLC++--uLuC（ttm）能量交换情况0tuCiLU0uCtm2欠阻尼情况（振荡性放电）b2a=iL0ωtπ2πuCU0能量交换情况βπ-βRLC++--uLuCiRLC++--uLuCiRLC++--uLuCiπuL包络线3临界情况（非振荡性放电）表7-1p1,p2解形式b2-4ac>0过阻尼(非振荡放电)不等实根A1ep1t+A2ep2tb2-4ac=0临界阻尼相等实根p1＝p2＝p(A1+A2t)eptb2-4ac<0欠阻尼（振荡放电）共轭虚根p1,2＝-δ+jωAe-δtsin(ωt+β)-b+√b2-4ac2ap=三、解的讨论(如表7-1)过阻尼非振荡放电临界阻尼欠阻尼振荡放电过阻尼、临界阻尼和欠阻尼仿真图uC(0+)=0duCdt(0+)=0d2uCdt2duCdtRL+LC1+uC=LCUS（t0）ucCR+-iLLuS+-7-6二阶电路的零状态响应和全响应1、电路方程：2、方程的解：相对于零输入响应，需要多求一个稳态解二阶非齐次微分方程的求解+-0.40.5F1.6+-10ViLuc13HiL(0–)=–5AuC(0–)=–0.4(–5)=2V1、0-时刻电路已达稳态，等效电路为+-0.41.6+-10ViL(0-)uc(0-)

T=0时刻换路，换路前电路已处于稳态，求C电压响应和L电流响应例diLdtd2iLdt2+5+6iL=0iL(0+)=–5A3、根据换路后的电路，列写电路微分方程（RL并联电路）+-0.40.5FiLuc13HKCL2、根据换路定理（RL并联电路）

iL(0+)=iL(0-)=–5A,uC(0+)=uC(0-)=2VdiLdt(t=0+)=uC(0+)=2LdiLdt(t=0+)=6diLdt(t=0+)=6()diLdt310.410.5ddt()diLdt31++iL=0+-0.4-5A2V4、特征方程，解的讨论diLdtd2iLdt2+5+6iL=0特征方程为：p2+5p+6=0特征根为不等实根（根据表7-1）：根据初始条件iL(0+)=–5AdiLdt(t=0+)=6解为：二、一阶电路的阶跃响应三、二阶电路的阶跃响应一、单位阶跃函数7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应1、波形，定义式1(t)0t≤01t≥0=(t)t=01V+u(t)-RC0tu(t)单位阶跃函数一、单位阶跃函数（unitstep）延迟单位阶跃函数0t≤t01t≥t0f(t)=

(t–t0)=01f(t)t0ta、用来表示电源从t=t0时刻起接入电路+-Rt=t0US2、单位阶跃函数在电路分析中的应用+-R(t-t0)US112–10tr(t)=

f(t)(t)b、普通函数与单位阶跃函数εt的乘积

用来表示波形或函数的起止时间t00tt≤0t≥0

f(t)(t)=f(t)=0tt≤0t≥0f(t)=

t(t)设f(t)=t用单位阶跃函数的线性组合表示c、表示矩形脉冲0t>t0f(t)=0t<010<t<t0f(t)=(t)-

(t-t0)0f(t)tt01电路对单位阶跃函数输入的零状态响应+-uC+-CRi

(t)二、一阶电路的阶跃响应1、单位阶跃响应为ε(t)可看成一个因子，当t>0时表达式成立，t<0表达式为0+-USuC+-CR12it=0时，开关由1合向2，在t=τ时又由2合向1，求t≥0时的电容电压uC(t)激励u(t)=US[

(t)-(t-τ)]响应uC(t)=US[s(t)-s(t-τ)]例1+-uc+-LRi(t)例2RL电路iL(0-)=0A，求在L上的电流响应iL(t)LabRucCR+-iLLUS(t)+-ucCR+-iLLuS+-三、二阶电路的阶跃响应二、一阶电路的冲激响应三、二阶电路的冲激响应一、单位冲激函数7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应一、单位冲激函数(t)unitimpulse1、波形与定义(t)=limp(t)0(t)=0t≥0+t00t≤0-0+(t)dt=10–延迟单位冲激函数(t-t0)t0t0重要特点2、重要性质与单位阶跃函数的关系筛分性（抽样性）(t)f(t)dt–=(t)f(0)dt0–0+=f(0)(t)d(t)dt=(t)f(t)=(t)f(0)(t-t0)f(t)dt–=f(t0)冲激响应：电路状态为零，仅由单位冲激信号引起的响应，用h(t)表示。二、一阶电路的冲激响应当电路的iC为有限值时，uC不跃变当电路的uL为有限值时，iL不跃变

当电路中出现冲激信号时，uC和iL就会发生跃变，换路定理不成立。+-uc+-CRi(t)uC(0-)=0RC=+uCduCdt(t)1、方法一1)初始条件分析：C、L的伏安关系为所以，在t>0时iL、uC为零输入响应。2)分析整个过程电路的状态（激励以(t)为例）0-0+t<0时零状态t>0时零输入只有t=0时有激励冲激激励使电路在0-～0+期间急速储能t=0+时，电路成为非零状态iL、uC冲激响应可以写为：tε(t)可看成一个因子，当t≥0时表达式成立，t≤0表达式为03)求解冲激响应初始值uc(0-)=0RC=+uCduCdt(t)uc(0+)=?RC=+uCduCdt0（t0）求冲激响应的关键在于：初始值的确定！确定C上的冲激电流以及L上的冲激电压uC(0-)=0CiuC(0+)=uC(0-)+1C0-0+i(t)dtiL(0+)=iL(0-)+0-0+1Lu(t)dtLiiL(0-)=0+-u(t)+-uc+-CRi(t)uC(0+)=uC(0-)+1C0-0+i(t)dti(t)=R(t)-uCuC(0+)=uC(0-)+1C0-0+dtR(t)-uC=0+CR1例h(t)=ds(t)dt一阶线性电路(t)s(t)(t)d(t)dt=阶跃响应冲激响应h(t)=ds(t)dt2、方法二+-uC+-CRi4(t)+-u’C+-CRi4(t)例1RC电路+-uc+-CRi(t)+-u’c+-CRi(t)例2RL电路RiL(t)LiL(0-)=0RiL(t)LiL(0-)=0零状态：uC(0-)=0V，i

(0-)=0A重点：初始条件的求解——uC(0+)和

i

(0+)方法：t>0,实质是零输入响应零输入响应冲激响应换路定理uC(0+)=uC(0-)+1C0-0+i(t)dtiL(0+)=iL(0-)+0-0+1Lu(t)dt解的形式：零输入响应×阶跃函数三、二阶电路的冲激响应冲激函数特点例(t)uc0.2F3.5+-iL0.5H+-在0-到0+时间内积分由于iL和uC不可能是冲激函数，所以有iL(0+)=2AuC(0+)=0V(1)(2)(3)t≥0(4)特征方程，特征根(5)待定系数求解(6)仿真电路图：二阶电路的仿真（以RLC串联电路为例）(S1为1KHz方波信号)特征方程为：2、当，处于临界阻尼状态1、当，处于过阻尼状态当，处于临界阻尼状态当，处于过阻尼状态输入信号：1KHz的方波特征方程为：3、当