高等代数北大版第章习题参考答案

习题参考答案Revisedasof23November2020第 六 章 线 性 空 间.设

MN,证明：M

M,M

N。M由

MN

N,所以MN,即证MN

。又因M

M,故M N

M

N

MN,因此无论哪 一种情形，都有N,此即。但

MN,所以M

N。.

(N

L)(M

N)(M

L)，

M(N

L)(M

N)(M

L)。证x

(N

L则

xMx

L.在后一情形，于是x

Nx

x(M

N)(M

L)，由此得M(N

L)(M

N)(M

LxM

N)(M

L)，则x

Nx

xMxNxN

L.故得x

(N

LxMxL,

N Lx

(N

L),故(M

N)(M

L)M

(N

L),于是M

(N

L)(M

N)(M

L)。若

N

MN L。在前一情形 XM N， XM M 。N

L,M N,

M

M M ）故

M N

M ）3以于所是：于 式，于式设 A是一个 n×n实数矩阵，A的实系数多项式 （）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：baba1

abbaa）kkkk）b， a21 2 1平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k a0；集合与加法同 6），数量乘法定义为：k aa；全体正实数 r，加法与数量乘法定义为：ab， k aak；解 1）否个 n多项式加不一定是 n多项式，如n

3。2）令（）f（x）为实数多项式， A是 n×n实矩阵为f（x）（x）h（x），f（x）（x）所以f（）+（）h（），f（）（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8条，故v构成线性空间。矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

，B仍是反对称矩阵。A，A是反对称矩阵反对称矩阵的线性空间。否量对角线的量的和证，对加法，，满足，（ 0，0）是，（，b）的是（ a，a2b）对数乘：1(11)。b2l(l1)

a2)(a,

k(ka,b)

a2) )2 2 2

a2]

k(k

)

kl(kl1)

a2

k(k

(la)2)

2

2 2 2 2a2b),(kl)(kl1)(kb)[(k

2k(k

a2(kl(l1)a,b)a,b)(ka,kb

a2) a2(kakb

k(k

a2

2 2k(ka2kla2)[(k

2 2(k1)(kl1)a2(kl)b].2即(k

(a,b)k(a,b)

l(a,b)。k[(a,b)1 1

(a,b)]2 2

k(a1

a,bb2 1

aa)1 2＝[k(a1

a),k(bb2 1

aa1

k(k(a2

a)2)]，2k(ab)1,1

k(a,b)2 2＝(ka,kb

k(k

a2)(ka

,kb

k(k

a2)1＝(ka

1ka

2,kb

1k(ka

2 2kb

2k(k1)

2a2k2aa)1＝(k

2 1a),k

2 b aa

2 2)k(ka

2 1 2k(ka

k2aa

kaa)1＝(k(a1

2 1 a),k(bb2 1

1 2aa)1 2

2k(k2

1(a1

2 2a2)2)，2

1 2 1 2即k(a,b1 1

)(a,b)2 2

k(ab1,1

)k(a,b2 2

)，所以，所给集合构成线性空间。6）否1

0.。否，因为(kl)

,kl

2

l)

(k)(l)，所给集合线性空间所给集合，ababbaba;ii)(abc(abcabca(bca(bc);iiia1a1a;1iv)1a1a1,a;1a a a vaa1a;vi)(k

(l a))

(al)(al)k

alk

akl

(kl) a;vii)(kl)

aak

akal

(ka)(la);viii)k

(ab)

(ab)(ab)k

akbk

(k a)(k b).R证明：1）k00

2）k

)。1）k0k(kk(kk

(k

(k

0。2）因为k

)k

k

kk

)k 。证明：在实函数空间中，1，cos2tcos2t式线性相关的。证 因为

2t11，

cos2t,cos2t式线性相关的。

f(x1

f(x2

f(x是线性空间3

P[x中的式，中，线性关。证 的数

k,k,k使kf(x)k f(x)k f(x)0，1 2 3 11 2 2 3 3k1

f(x)k21 k1

f(x)k32 k1

f(x明3

f(x2

f(x)的公因式也是3f(x式，1

f(x1

f(x2

f(x数的式，，所3以f(x1

f(x2

f(x线性关。3在P4中，在基的1 2 3 41）1

2

3

4

(1,2,1,1)；2）1

2

3

4

(0,0,0,1)。解 1）线性关系

a1

b2

c3

d4

abcabcd，则abcdabcd

121，1可得在基

a5,b1,c1,d1。1 2 3 4

4 4 4 4则a2bc则线性关

a

b c d

abcd0 ，1 2 3

d0 abd1可得在基,,,下的坐标为a1 2 3 4

bc

0。求列线性空间维数于一组：1）P上Pn

；2）Pnn

中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的P上的空间；3)38)中的空间;4)实A的全体实系数多项式组成的,其中1 0A=0

01 0 。200 200)Pnn的基Ej(i,

j

n且Pnnn2。i)Fij

......

......1...

......

...1.........

...，即a...

a 为零,则ji,...,F F ,...,F ,...,F 间M 的基,以M 是1n, 2n nn n nn(n1)2 的。令Gij

......

......1...

......

...1.........

...，即a...

aji

(i

其余元素均为零,则G1n,

,...,G2n

,...,G

n

是反对称矩阵所成线性空S 的一组基,所以它nn(n1)是 2 维的。11

,...,E E1n,

,...,E2n

,...,Enn

的基 ,n

2

维的。1的的,a,可经2即.aa)2,的且2的一2组基。因为

,31,所以 n1

n,n3q1，1 1

2,n2

E,n于是A2 2 ,A3 1 E， 而An

n1。1 1

A2,n2在P4中,求由基 ，1,

,,到基,,,的过渡矩阵,并求向量在所指2 3 4 1 2 3 4基下的坐标。设

4

4

,，6,6,1,3x,x1

,x,x3

在,1

,,3

下的坐标； 1 1

22

3

2,2，34

4

1,3,1,2在

,,2 3

,下的坐标；1 1

11,1,1,12

2 ， 3

34

4

0,1,1,1在,1

,,3

下的坐标；

2 0

5 6解 ,,

）=（,,,

,）1 3 3 6=（,

,, ）A1 2 3

1 2 3

1 1 2 1

1 2 3 4 1 0 1 3这里A 即为所求由基1

,,到,,,的过渡矩阵，将上式两边右乘2 3 4 1 2 3 4得1，得 （1

,, ）=（,,,）2 3 4 1 2 3 4

1，于是x

x 1 1x x

,1

,, 3 4

2=（x x

,1

,,）3 4

1

2，xxx x4 4所以在基下的坐标为x 1x1

2，xxx4

11 9 3 9 1这里1= 27

4 19 3

2327。 1 3

0 2377 1 1 27 9 3

26272令e,,,0

(0,0,0,1)则1（,

,,

2）=(e,

31e,e) 2

1 1 2

411=(e,

e,

)A，1 2 3 4

1 2,

4 1 1 1 0

1 2,3 40

1 1（,

,

）=(e,

e,

2 0)1 1

2 11 3=(e,

e,

)B，1 2 3 4

1 2,

4 0 1

1 12 2

1 2,3 4(e,ee,e=（,,, ）

A1代入上式,得1 2,3 4 1 2 3 4（,,,）=（1 2 3 4

,,, ）1 2 3 4

A1B，这里 3 313 13

6 513 13

1

0 1 5

1 1 0 11= 13

13 13

13 ,A1B= ， 23 133 13

3 413 132 713 13

1 138 13

0 1 1 1 0 0 1 0且A1B即为所求由基 ,,,到基,,,的过渡矩阵，进而有2 3 4 1 2 3 41 1 e,ee,

)0

,,,

0A1A1 2,3

4 0 0

1 2 3

0 0=（,,,

3 13 5 13，1 2 3

2 133 3

13,,,

3, 5

2, 3。1 2 3

4下的坐标为

3e,

e,

同2，11A=

2,3 41111121011,11111 1 1

1 0 3 0 11 1 1 1

1 1 1 0 11 111= 1 114 1

1 1,1 1 1 1 1 11

, 2 3 4

,,,的过渡矩阵为1 2 3 4 3 7 1 1 4 4 2 4 11B= 4

1 144 24

34。441 344

0 1 11 11 1 0 4 4 4再令

a+b+c+d，即 1101b,c,d2 1 3 1b,c,

2

1 1

0， 34

0

1 1由上式可解得在下的坐标为,,,下的坐标为1 2 3 4b,c,d

2,14,3a。 2 2 191）求一非零向量，它在基,1

, 与,,,下有2 3 4 1 2 3 4相同的坐标。解设在两基下的坐标为x,x1 2

,xx3,

，则x x 1 1x x=（1

, ,2 3

4）

2 =（,x 1 3

,,）3 4

2。xxx x4 4又因为（,

,

）=（,

, , ）

0 5 63 3 6=（,

, , ）1 2 3

1 2 3

1

2 1

1 2 3 4 1 0 1 3A，所以x

x

xx1 x1

x1 2 A 2 （A-

2 =0。x x

x 3x

3x

3x4 4 4又AE

1 2105612361110561236111110121 0

310，1于是只要令x4

c,就有x 2x1

3x3

6cx x x c， 1 2 3x x1 3

2c解此方程组得,x,x x c,c,c1 2 3, 4

(c为任意非零常数)，取c为某个非零常数c，则所求为0c01

c0

c0

c 。0 438）证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。设V,V都是线性空间V的子空间，且VV，证明：如果V的维数与V1 2的维数相等，那么VV。

1 2 1 21 2证设dim(V，则由基的扩充定理，可找到V的一组基a,a

,，因1 1 1 2 rV V

aaa，也是VV=V。1 2A

Pnn。

1 2 r 2 1 2做 C（A）；EC（）；1当 A=

2..........................

时，求C（）的维数和一组基。n）设与A可交换的矩阵的)DC(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)，B+DC(A)k是一数，BC，可得（）=(AB)=(BA)=(B)，所以kBC(A)C(A)Pnn

子空间。当 E时，C（A）=Pnn。A的（E E E 即为它。11 22 nn

b），B只能是对角矩阵，故维数为ij设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解若记

0 0

0 0 0 A= 0 1 00 0 0

ES，013101 013101 a b c 并设=a b c与A，即，则SB=BS。且由aa0

1 1 1b c2 2 20a

c 0

0 0 SB=0

0

b c0

0 0 ，31 1 31 1222 b c222

3aa a1

bb1

3ccc1 2a

c

0 011

c c BS=a b c

0 0=c c c，1 1 1ab ca2 2 2

1 1311 c c312 2 2可是c1

c0，aa bb又 12bb1

c2，2即，a即，2 1 2 c bb2 1 2该方程组的系数矩阵的秩为 2，所以解空间的维数为 5。取自由未知量a,c，并2令b=1，其余为 0，得c=3,a=3;2令a=1，其余为 0，得c=3,a=1;1 2 3令b=1，其余为 0，得c=1,a=1;1 2令a=1，其余为 0，得c=0,a=1;2 2 3令b=1，其余为 0，得c=1,a=1;2 2则与A可交换的矩阵为a b 0B=a bba1 1b2

0，cc2其中,acbaab

表示,所求子空间的一组基为2 1 2 1 1 0 0

1 0 03 0 0000

0 30, 1 30 30

1 0 0 ,0 00 00

0 30, 0 11 11

1 0, 0, 0 00 00

00，11且维数为 5。

cacc0且c

0，证明：L=L,。1 2 3 13证由cc13

0知c1

所以 a

,

经线性表出

可经,线性表出同理，

,

也可经

L=L,。在P4中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设 a a 1 a1）a 2

(1,2,0,1)，

1a a2 。aa3

(4,5,3,1)3 a4

a4

(1,5,3,1)

a,a1

,a,a3

的一个极大线性无关组aaa1 2 4

，因此aaa为1 2 4L,a1

,a,a3

的一组基，且的维数是3。2）a,a1 2

,a,a3

的一个极大线性无关组为a,a1 2

故aa1

L,a1

,a,a3 4的一组基，且维数为2。P4中，由齐次方程组3x1

2x2x

5x33x

4x 043x 03x

1 2 5x

401 2 3 4确定的解空间的基与维数。解 对系数矩阵作行初等变换，有32543254325431330387038735 35

11

3 8 7

0 0 000所以解空间的维数是2，它的一组基为00a 1

8，

2 7,,

,0,1。1 9 3 2 9 3 求由向量,生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数，1 2 1 2设a

2,1,0,1a12

12

1,1,3,7；a 1

；a 2

0,1,1,02a 1

2,5,6,53） a 22

1 。a a3

1,2,7,321）

k k l1 1 2 2

l，1 2 2则有 k k l1 1 2 2

l1

0，2k k1

l 01 22k k即 1 2

ll 01 2 ，k k1 2

02 k2

l7l 01 21D10

1 1 11 01

111 037

1 21 1 0，1 0因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(k,k,l,l)＝，得一组基

(5,2,3,4)，1 2 1 2 1 2所以它们的交L()是一维的，就是其一组基。

k k l1 1 2 2

l，1 2 2 k k 0 1 2

l 01 2 ，ll 02 1 2 k l02 1因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1

ll1

0,从而交的维数为0。

k k l1 1 2 2

l，1 2 2 k 1

k l 03 1 2 2k k

0即k 1k 2k 16l 2l 0， 71 2 3 1 22k k1 2

k 3

02131121311210211172113

知解空间是一维的，因此交的维数是 1。令可得l1

0向量

l1

l2

就是一组基。1． 设V与V分别是x

x

0,x x

...x

x的解1 2空间，Pn

VV1 2.

1 2 n 1 2

n1 n证由于xx1 2

...xn

0的解空间是维的，1

n1

(1,0,0,...,1)而由x x1

x xn1 n知解空间是 1维的，令x 为且,

Pnn 1 2 n1的一Pn

VV1

又PnV1

)V2

)，

PnV1

V 。2.． 证明：如果

VV,V1 2

V V11

V V11

V。2证 由题设

VV V11

V,2

因

VV1

,所以dim(V)dim(V1

)dim(V2

， 为V1

V V ,所以11 12dim(V1

)dim(V11

)12故11

)dim(V12

)dim(V2

， 即证

V V11

V。2. 证明：每一维线性空间个一维子空间的直和。证 设,是 维空间 V的一然L(L()都1 2 n 1 2 n是 V的一维空间，

))

),)＝V又为

1 2

1 2 n1

2

n

dim(V)，故V

L()L()...L()。1 2 n证明：和sVii1

是直和的充分必要条件是Vi1Vi jj1

{0}(i2,...,s)。证 必要性是显然的。这是因为Vi

i1Vjj1

VVi j1

{0}，所以Vi1Vi j1

。充分性设sVii1

不是直和，那么0向量还有一个分解0 1 2

，s中 Vj j

(j1,2,...,s)。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是(kk

则0 1

k

即 1

k1

，k因此k

k1V,j j1

V 与V k1Vk, k j1

充分证。一个三维线性空间R3。的是的条直条直的分L,L1 2

,L,3问LL,LL1 2 1

L的;3就用该三维空间例子来说，若U,V,X,YU+V＝X，XY，否一定有

Y

Y V。解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2)LL ；1 2（1）直线l与l重合时，是L

一维子空间；1 2 1 2（2）l与l不重合时，时L

二维子空间。1 2 1 2LL L ：1（

2 3l,l,l1 2

重合时，LL1 2

L构成一维子空间；3（

l,l,l1 2

在同一平面上时，LL1 2

L构成二维子空间；3（

l,l,l1 2

不在同一平面上时，LL1 2

L构成三维子空间。33）令过原点的两条不同直线l1

分别构成一维子空间 U和，＝＋V2在l，l决定的平面上过原点的另条不与l，l相1 2 1 2同的直线l构成一维子空间 ，显然3

X,Y

{0},因此YU)YV)}，故Y(Y

U)

V

并不成立。二．补充题参考解答1）证明：在P[x] 中，多项式fn

(xx x x)1 i1 i1 n（i＝1，2，…，n）是一，

,是不；1 2 n)1），取,是n，1，1 2 n

x

xn1到基f,f,...,1 2

f的过渡矩阵。n证 1）

kf k f11 2

k fn n

0，x，得1f()2 1

f()...3 1

f()0,n 1

f()0，1 1是k＝01

x,...,2

x分别代入，可得nk k2 3

...kn

0，f1

f,...,2

f 线而P[x] 是 n维的，n n

f,f,...,1 2

f 是 P[x] 的一n n组基。2）取 ,为全体单位根 1,.2n1,则1 2 nf xn11xx

...xn1，1 x1f x

1

n2xn3x

n2

xn1，2 x...........................................................f xn

2xn1xn2

xn1，n x1n2n4...2......n2.........11...1。1。

n2

... 故所求过渡矩阵为

... 1 1 1 ．

,,是 n维线性空间 V的一组基， A是一个 n×s矩阵，且1 2 n(,1 2

)(,,...,)A，s 1 2 n证明：

L(,,...,1 2

)的维数等于 A的秩。s证 只需证 ,1 2

的极大线性无关组所含向量的个数等于 A的秩设sa ... a ... a 11 1r 1s . A . .

. . . ，. . . ，. . . a ... aa

... a ns且(r,rmin(n,s)不失一般性，可设 A的前 r列是极大线性无关 a

a

...a 1 11

21

n.............................................组，由条件得

a a

...a ，........................r..n as 1s 1

a 2s

...a ns n可证1 2

构成,,...,，r 1 2 r

r1

的一个极大线性方程组。事实s上，设 k1

k2

kr r

0，于是得

(ka111

ka r 1r

(ka1

ka r 2r 2

...(ka1

ka 0r 1r n，a k a k

...a k 0,

111 12 2

1r r因为 1 2

线性无关，所以 n

..........................................，a kn11

a kn2

...a k 0nr r该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k k1 2

kr

0，于是,1 2 r线性无关。

j

,,...,，1 2 r

线性关j实上，

a k a

a

a k 0

111 12 2

1r r

1j j设k k1 1

k k2 r r

0，于是j

，an1k1

a kn2

a knr r

a k 0nj j其系数矩阵的秩为1，所以方程组有非零解k,k1 2

k,k,r

即，1 2 r线性j

,,...,