第4讲 二次函数与方程、不等式综合提高班

第4讲二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程ax2

bxc0(a0中的b24ac决定。若0，抛物线与x轴有两个交点，方程ax2

bxc0(a0有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若0，抛物线与x轴有一个交点，方程ax2

bxc0(a0有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若0x轴没有交点，方程ax2xa0，抛物线在x轴下方。【典例】

bxc0(a0a0抛物下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧【答案】D.【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，x=＞0，y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2x的一元二次方程﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围 【答案】﹣5＜t≤4【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，x=5由图象可知关于x的一元二次方程为实数）在1＜x＜5的范围内有解，y=ty=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．已知二次函数y=ax2+bx+c中，yx的部分对应值如下：则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）A.1.2＜x＜1.3 B.1.3＜x＜1.4 C.1.4＜x＜1.5 D.1.5＜x＜1.6【答案】C.【解析】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．若方程ax2+bx+c=0的两个根是和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）A.x=﹣3 B.x=﹣2 C.x=﹣1 D.x=1【答案】C.【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．∴对称轴是直线x=∴对称轴是直线x==﹣1．故选：C．【方法总结】【方法总结】x当一元二次程的0，二次函数与x0时，二次函数与x轴有一个交0时，二次函数与x轴没有交点。【随堂练习】1．（2018•鞍山二模）如图，点A，B的坐标分别为（0，4）和（3，4），线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随项点一起平移），与xCD两点D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣4，则点D的横坐标最大值为（）A．﹣3B．6 C．7 D．8A点时，与xC的横坐标是最小值﹣4∴a=﹣∴0=a（﹣4﹣0）∴a=﹣∴0=﹣ （x﹣3）2+4∵抛物线y=a（x﹣m）2∴0=﹣ （x﹣3）2+4∴x1=﹣1，x2=7∴D的横坐标是7故选：C．邗江区二模y=ax2+bx+cxAB两点，顶点为C，且b2﹣4ac=4，则∠ACB的度数为（ ）A．120° B．90°C．60°D．30°∴x1=，x2=，∴x1=，x2=，∴AB=| |．∵b2∴AB=| |．∴C（﹣，）．∴AC==．∴C（﹣，）．∴AC==．由抛物线的对称性可知BC=，∴∠ACB=90°．故选：B．长春）y=x2+mx交x轴的负半轴A．点By轴正半轴上一点，点ABA′恰好落在抛物线上．过点xC．若点1，则A′C的长为．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），1 当y=2时，x2+x=2，解得x=﹣2，x=1，则C（﹣2，11 ∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．2二次函数与一次函数的综合x点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。【典例】【典例】已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数 【答案】2个【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1，整理得：x2﹣5x+2=0∵△=25﹣8＞0∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根，∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点，A.B.C.D.若＜0则一次函数y=ax+b与二次函数y=a2c在同一坐标系内的图象可能A.B.C.D.【答案】B.【解析】解：∵b＜0，∴一次函数y=ax+b图象与y故排除AC选项，B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，∴a＞0，二次函数开口向上，故D∵a＞0，b＜0时，对称轴x=﹣＞对称轴x=﹣＞0，B选项符合题意．已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；1 2 1 设该二次函数的图象与x轴的交点分别为且x2+x2=51 2 1 y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15．解得，m＜﹣，①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15解得，m＜﹣，此时，y的图象与x轴有两个交点．解得，m=﹣，②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m解得，m=﹣，此时，y的图象与x轴有一个交点．解得，m＞﹣，③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15解得，m＞﹣，此时，y的图象与x轴没有一个交点．∴m＜﹣，图象与∴m＜﹣，图象与x，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣，（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2m﹣1，x1×x2=m2+3m+4．1 2 1 2 1∴x2+x2=（x+x）2﹣2xx=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣1 2 1 2 11 ∵x2+x2=51 ∴2m2﹣10m﹣7=5．解得m=6，m=﹣1．∵m∵m＜﹣，∴m=﹣1．∴y=x2+3x+2．令x=0，得∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）．又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14，∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）．则，设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b则，解得，所以直线CM的解析式为y= x+2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，解得，所以直线CM的解析式为y= x+2．求点D的坐标（用含m的代数式表示）；若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m=1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m=3或m=1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1），与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0，令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点，当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0，∵△＞0，∴此种情况不存在，【方法总结】当x=1时，y=m2+4m+3≤0，解得1≤m≤3．【方法总结】此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【随堂练习】1．（2018•孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 ．∴方程组的解为，，y=ax2y=bx+cB（∴方程组的解为，，1 1 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x=﹣2，x=1．所以方程ax2=bx+c的解是x=﹣21 1 1 故答案为x=﹣2，x=11 知识点3二次函数与不等式的综合yax2bxc(a与一元二次不等式之间的关系若0yax2

bxc0xx1

,xx(x2

x)；2yax2

bxc0x1

xx(x2 1

x)。2若0，yax2bxc0的解集为xx ；1,2yax2若0yax2yax2

bxc0的无解。bxc0的解集为x可取任意实数。bxc0的无解。二次函数与一次函数不等关系此类问题首先要先找到交点，如果交点为2个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。【典例】1，5）B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范 【答案】﹣1≤x≤9【解析】解：由两个函数的图象知：当y

时，﹣1≤x≤9．1 2若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围 【答案】2＜x＜3【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，∵当x=0时，﹣6＞0不成立，∴x≠0，∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6，当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3），当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6），∴，∵不等式对﹣1≤a≤1∴，解得2＜x＜3．y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式＞2x的解集 【答案】0＜x＜2y=﹣x2+4x和直线

=2x的交点坐标为（0，0），（2，4），1 2所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．4.如图，4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c 都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+cx+m的解集．（直接写出答案）【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．备读图的能力．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c，∴∴m=-1，b=-3，c=2，所以y=x-1，y=x2-3x+2；（2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3．【方法总结】【方法总结】解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点，牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！【随堂练习】1．（2018•资中县一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．故选：A．大庆一模如图是二次函数大庆一模如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，1

时，x的取值范围是 ．【解答】解：根据图象可得出：当y1

时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．3．（2018•海宁市一模）如图，已知抛物线y1

=x2﹣2x﹣3与x轴相交于点AB（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线y2

=kx+b经过点B，CBC的函数关系式；y1

时，请直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y1

=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，当y=0时，x=3或1，即A的坐标为（﹣1，0），B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），把B、C的坐标代入直线y=kx+b得：把B、C的坐标代入直线y=kx+b得：2，即直线BC的函数关系式是y=x﹣3；（2）∵B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），∴时，xx＜0或x＞3．综合运用：二次函数与方程、不等式的综合已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为AB（A在B的左边），与y轴交点为C，顶点为D．在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（交点Ay轴交点为C，顶点为D的位置准确）．若）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比1 2较y，y

的大小关系．（直接写结果）1 2关于x的一元二次方程有实数根，写出实数n的范围．你能利用函数图象求不等式的解集吗？写出你的结果．【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；当x=0时，y=3，∴C（0，3）；∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），该二次函数的大致图象如图1所示：（2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；（3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0，∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，∴△=4﹣4（n﹣4）≥0，解得：n≤5；（4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下：一次函数y=x﹣3的图象如图2所示：当﹣x2+2x+3=x﹣3时，解得：x=﹣2或x=3，根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3及一次函数y=x+m．1 2求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；2将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到xy=x+m有三个不同公2共点时m的值；1当0≤x≤2时，函数y=y1

2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．1【解析】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣41则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）1∵y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，1∴x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x=﹣1，或x=3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），（2）翻折后所得新图象如图所示，平移直线y=x+m知：直线位于l和l时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，2 1 2①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0=﹣1+m，即m=1；②当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即m=；即x2﹣x﹣3+m=0有一个根，故△=1﹣4（m﹣3）即m=；1（3）∵y=y1

2+（m﹣2）x+3解得；解得；∴当时，函数图象y=y1+y2+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．=x2+（m﹣3）x+m，∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，∴m应同时满足下列三个方面的条件：抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满