清华大学自主招生曁领军计划真题

1、清华大学 领军筹划测试题注:领军数学试题均为不定项选择,如下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。均为素数，且为整数，则（ ）中一定有一种是2 中一定有一种是3中一定有两个数相等也为素数【答案】DA项：举反例：，此时；B项：举反例：，此时；C项：由A、B知C项不对；D项：由题意为的因子，而的因子只有1,结合大小关系，可知，不妨设，若 ，则，从而，这是不也许的，故只能这意味着，均为素数，则D对的。 均为素数，且平均数为13，则（ ）中位数最大为17中位数最大为19中位数最小为5中位数最小为7【答案】B平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为，则有，从而知最大为19，又3,5,19,19,1

2、9满足规定，故最大值为19；对于最小值，可构造出3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。整数满足，问这样的有几组（ ）100 B. 101 C. 102 D. 103【答案】C解法一：若中有两个零，共组解；若中只有一种零，共组解；若均非零，共组解。综上，所求解的组数=6+48+48=102组。解法二：若：此时只能取0，而，共20组；若：此时可取，而，共组；若：此时可取，而，共组；若：此时可取，而，共组；若：此时可取，而，共组；若：此时可取，而y,z只能都等于0，共2组.综上，所求总组数。如下图所示，在菱形中，为延长线上一点，,与外接圆交于，则（ ）四点共圆四

3、点共圆四点共圆四点共圆【答案】C解：注意到A，B，F，D四点共圆，因此，因此，而，因此，因此B，F，C，E四点共圆，C项对的。P为椭圆：上的动点，过P作切线交圆：于M,N，过M,N作切线交于Q，则（ ）的最大值为的最大值为Q的轨迹是Q的轨迹是【答案】AC解：设点，点，则过点Q作圆的两条切线，切点弦MN所在的直线方程为：， eq oac(,1)而过椭圆上点P处的切线MN所在直线方程为： ， eq oac(,2)比较 eq oac(,1) eq oac(,2)得， eq oac(,3)又点P在椭圆上：， eq oac(,4)联立 eq oac(,3) eq oac(,4)得，故C对的，D错误；点，

4、直线OQ方程为：，点P到直线OQ距离，因此，又，因此，最大值为，A对的，B错误.综上，选AC。实数满足，则（ ）最小值为最小值为最大值为8最大值为9【答案】AC解：由得，代入得：，令，则上式等价于， eq oac(,1)实数可看做有关的一元二次方程的两根：， eq oac(,2)联立 eq oac(,1) eq oac(,2)得：，当时，有最大值8；当时，有最小值.综上，选AC。为正实数，求的最大值（ ） B. C. D. 【答案】A解：，取等条件：，即。将长为1的线段随机截成三段，问她们能构成三角形的概率（ ） B. C. D. 【答案】A解：设截得的三段长分别为，则，可行域为，如下图所示，

5、可行域面积，再考虑构成三角形的条件，不妨假设三边中最大，则构成三角形的约束为，作出可行域如上图阴影部分所示，阴影面积，再考虑到三边中最大或最大的概率与最大概率相似，故所求构成三角形的概率.7个互不相等的素数排成一排，任意相邻的3个和均不小于100，问这7个素数的和的最小值（ ）208 B. 206 C. 201 D. 198【答案】A解：不妨设符合规定的一排素数依次是，则有，故一方面排除C、D选项；注意到A、B选项均为偶数，故这7个素数中必具有2。若：注意到必为奇数，假设，由于2是最小的素数，即，则，矛盾，因此，同理，此时；若：由对称性不妨假设中某个等于2，则，若，必有，否则时会导致产生矛盾，

6、故此时，若，此时，.综上，构造符合规定的排列，其和为208.实数满足，求的最大值（ ） B. C. D. 【答案】A解法一（排除法）：由得，再由柯西不等式得：，因此，故只能选A.解法二：，欲求的最大值，显然应考虑与同号的情形，不妨设：由可得令，则上式等价于。如下图所示，在中，斜边上有一点D使得，E为BC上一点使得，求=（ ） B. C. D. 【答案】A解：设，又，且，在DBE中，由于，又可求得，由正弦定理，.A,B为两个随机事件，,问的充要条件（ ）A,B独立【答案】AD解：表达在事件B发生的条件下事件A不发生的概率，表达在事件B不发生的条件下事件A也不发生的概率；表达无论事件B与否发生，事

7、件A不发生的概率不变，即A与B互相独立，故D对的，由互相独立事件的性质知A对的，B、C不对的。已知为和为1的7个非负实数，记，求M的最小值（ ） B. C. D. 【答案】B解：假设，则当M取最小值时，又，因此此时，进而，矛盾；因此假设不成立，即。取，其她，此时，故选B。记，求=（ ） B. C. D. 【答案】C解：用数学归纳法容易证明多项式展开式右端系数满足：因此当时，右端系数满足，又，.设，过点可作的三条切线，则（ ） B. C. 或 D. 【答案】D解：可设过点的切线方程为，并设切点为，则切点在上：， eq oac(,1)切点在切线上：， eq oac(,2)切点处导数定义：， eq

8、oac(,3)联立 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3)得，令，则，单调区间，作出草图如下，易知过点可作的三条切线等价于，故选D。9个站成一排拍照，从其中人选3人，求她们互不相邻的概率（ ） B. C. D. 【答案】A解：从9个人中任挑3人的措施总数为种，从中任挑3个人，若3个人都相邻，则措施总数为7；若只有两个人相邻，措施总数为（其中第一种6表达相邻的两个人在最左边或最右边的种数，5表达相邻的两个人在其她位置）。综上，所求概率。已知椭圆和圆上各有一动点A,B，求的最大值（ ） B. C. D. 【答案】B解：问题转化为先求椭圆上动点A到圆心的距离最大值，再加上半

9、径1即为的最大值：设，由A在椭圆上得，当时，因此.求的值（ ） B. C. D. 【答案】D解：原式已知，的最大值为11，最小值为3，求（ ）3 B. 5 C. -5 D. -3【答案】C解：作出可行域，最大值应在直线与直线交点处获得，此时，代入得，经检查符合题意。已知复数满足：，且，则下列选项对的的是（ ） B. C. D. 【答案】ABD解：，结合及知：若，则必有，此时；若，则，此时。同理，故AB对的。若C项对的，由题干条件可知此时，两边取模得：，显然不一定，故假设不成立，C不对。D项：由，及得：，因此，即，D项对的.英国，法国，意大利，巴西，西班牙和德国六个国家参与足球比赛。甲乙丙对话：

10、甲说：意大利和西班牙肯定不是冠军；乙说：冠军肯定出自法国或德国；丙说：巴西肯定不是冠军；已知这三人说的话，恰有两人对的一人错误，问冠军球队是哪个国家的（ ）巴西 B. 德国或法国 C. 英国 D. 意大利或西班牙【答案】C解：假设分析法：若甲说话错误，则冠军来自意大利或西班牙，但此时导致乙的说法就错误，与条件矛盾，故假设不成立；若乙说话错误，此时要使得甲，丙说法对的，则冠军只能是英国；若丙说话错误，则冠军是巴西，此时会导致乙的说法错误，与题设矛盾，故假设不成立。综上，冠军只能是英国。数列满足：，则下列选项对的的是（ ） B. C. D. 【答案】CD解：，即数列成首项，公比为2的等比数列，令，

11、A错误；令，B错误；，即，C对的；时，因此，D对的。为三角形的内角，已知均为整数，问的也许值（ ）4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】BCD解：在三角形中，设，则，注意到，因此k取1,2,3均可，B，C，D对的；假设成立，此时， 显然该不定方程无整数解，故，A错误。数列满足：，记，求的体现式（ ） B. C. D. 【答案】A解：，即数列成公比为的等比数列，因此，两式错位相减得：，选A。若参数使得对于任意非负实数恒成立，则下列选项中对的的是（ ）若，则M的最大值为0若，则M不存在最小值“M的最大值为1”的充要条件是“”若，则M的最小值为-2【答案】BC解：A项：当时，原式等价于，若至少有一

12、种等于0，则不等式对于任意非负实数恒成立的充要条件是；若均非零，即时，此时值域为，因此，综上，M最大值为，故A错误；B项：若，则原式对任意恒成立，此时M可取无穷小，B对的；C项：同A项分析，若至少有一种等于0时可得；若均非零，则，时易得M最大值为1，同理当M最大值为1亦可得（否则若，则，矛盾），故C对的；D项：在C项的基本上，时，考虑情形，同A分析知值域为，此时只须即可，M最小值不存在，D错误。有一种三棱锥，其中一种面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积也许是（ ） B. C. D. 【答案】BCD解： 可分类讨论，构成符合规定的三棱锥无外乎下面几种情形：如图（1）

13、，三棱锥中底面BCD为边长等于2的正三角形，AB垂直于底面BCD，即ABC与ABD为等腰直角，AB为三棱锥的高，此时易计算得三棱锥体积，D对的；如图（2），若三者中两者为直角，BCD为边长等于2的正三角形，此时可把公共直角边作为高，计算得三棱锥体积（事实上此时三棱锥为正三棱锥），B对的；如图（3），若ABD与CBD均为边长等于2的正三角形，此时计算得三棱锥体积，C对的；（1）（2）（3）复数满足，下列选项对的的有（ ） B. C. D. 【答案】D解：先考察原方程的实根，在实数范畴内考察函数，只有一种零点，因此方程只有一种实根，此时，故先排除A，C选项；下面再考察方程的虚根，代入原方程得：，又，解得，由上述讨论知，故此时，D项对的，又此时，故B项错误.综上，只有D项对的。向量的模长为正整数且，则（ ） B. C. D. 【答案】AC解：， eq oac(,1)， eq oac(,2)向量的模长均为正整数，由 eq oac(,1)知，故，若，代入 eq oac(,1)得此时无整数解；若，代入 eq oac(,1)得