保险风险理论研究简介课件

保险风险理论研究简介报告结构古典风险模型保险风险模型的研究现状及发展趋势一类马氏调制风险模型预备知识：齐次Poisson过程一、古典风险模型保险风险理论是概率论与数理统计应用研究的一个重要分支，主要借助概率论与随机过程理论来构造数学模型，描述各种风险业务，着重分析和研究与保险公司资产盈余等相关指标的概率统计规律（如破产概率等），为保险公司的长期稳定经营提供理论依据。风险理论已经发展了一个较长时期，较为系统的理论始于Lundberg和Cramer,他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系。关于风险理论系统的论述当推Gerber和Grandell的著作。通常的保险风险模型描述如下其中，表示在时刻t公司的盈余额，u为初始准备金。古典风险模型又称为经典风险模型是研究时间最长并且理论最为完善的风险模型。它表述如下：令是一个完备的概率空间，模型中的所有的随机变量和随机过程均定义在这样一个概率空间上。（1）过程是一个强度为的Poisson过程（2）是独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为，且，期望为

古典风险模型研究的一个主要问题就是破产概率，也就是盈余过程在某时刻小于零的概率。写成数学表达式破产概率即为：

而称为生存概率。令：

假设，当时，有。（即为轻尾分布，或矩母函数存在）。定义相对安全负荷

，设

。对于古典风险模型，的破产概率主要结果有：

（1）（2）当服从指数分布时，

（3）（Lundberg-Cramer逼近），

（4）（Lundberg不等式）。

二、保险风险模型的研究现状及发展趋势古典风险模型的推广离散风险模型的介绍保险风险理论发展中的重要工作及经典著作当前国内的研究情况古典风险模型的推广古典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但其模型比较简单条件要求强。随着保险业的发展、险种的不断增加，古典风险模型不能很好地反应保险公司的实际情况。因此，对古典风险模型作出更符合实际情况的推广很有必要。这些推广主要有以下几个方面：将古典风险模型的索赔到达过程（齐次Poisson过程）进行推广：推广为广义齐次Poisson过程；推广为非齐次Poisson过程；推广为Cox过程：Cox风险模型；推广为一般的更新过程：更新风险模型；等等。把单险种模型推广为多险种模型：双险种模型；多险种模型；具有延迟的多险种模型。把索赔额分布（轻尾分布）进行推广：重尾分布风险模型。为轻尾分布：；重尾分布：不是轻尾分布）。离散风险模型的介绍相对连续风险模型来说，离散风险模型研究的要少一些，且大都集中在完全离散复合二项风险模型的研究方面。离散风险模型实际背景描述如下：在保险公司的事务中，假定：只在每个离散时刻收取保费并可能进行一次赔付（在连续时间段中发生的赔付以及收取的保费均视为在时刻n进行）；保险公司在时刻，有初始准备金（），而且只通过收取保费获得收入，假定每单位时间收取的保费为，仅有的支出为投保人发生事故后，公司对其进行赔付；则称为完全离散复合二项风险模型，记为FDCBRM；对于此模型，通常假定：，。目前有许多文献对此进行了研究，如：Willmot(1993)和Shiu(1989)、成世学和伍彪（1998）、成世学和朱仁栋（2001）等等。复合二项风险模型与完全离散复合二项风险模型的差别在于，不必取离散值（非负整数和正整数）。进一步，可考虑带利息率、通货膨胀率、投资收益及随机干扰等因素的复合二项风险模型。保险风险理论发展中的重要工作及经典著作保险风险理论的形成起源于Lundberg和Cramer的工作，他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系：Lundberg：1903,1926Cramer：1930,1945,1955关于保险风险理论系统的论述是Gerber和Grandell的著作：Gerber（1979）：AnIntroductiontoMathematicalRiskTheory.1973：使用“鞅方法”估计破产概率上界；Grandell（1991）：AspectsofRisktheory.主要从索赔到达过程进行推广这个角度全面介绍了经典模型、Cox模型、更新模型、平稳模型等等。当前国内的研究情况南开大学：应用马氏过程和Brown运动研究带随机干扰的风险模型；清华大学：离散风险模型（随机模拟）；中国科大：大索赔重尾分布的风险模型；中南大学：马氏过程及马氏骨架过程应用于风险理论研究；上海大学：随机环境中的风险模型；湖南师大：离散风险模型。三、一类马氏调制风险模型针对与索赔无关的这类随机环境（比如经济形势，政策因素，保险公司内部的经营状况等），以下给出了一种特殊的随机环境下的风险模型：具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型。模型的基本假设设是一具有有限状态的平稳遍历马氏跳过程，其状态空间记为S.当它处于状i时，离开状态i的强度是，转移矩阵，密度矩阵，平稳分布为；保险费率是受马氏过程控制的，即时刻t的费率为，当时，费率为常数；N(t)是在时间（0，t］内保险公司发生的索赔次数，这个记数过程是参数为的齐次Poisson过程；第i次索赔量记为，索赔量是独立同分布随机变量序列，有共同分布F(x)和期望；假设、索赔量和索赔到达过程三者是相互独立.

令

其中u=R(0)≥0是保险公司的初始资产R(t)是在时刻t公司的盈余资产这就是我们要研究的具有马氏调制费率的复合Poisson风险模型。

对于给定的初始状态i,破产概率记为；为具有初始分布的最终破产概率；定义保险公司经营的相对安全负荷为其中，且总假设。主要结果和方法

应用马氏过程理论和微分法讨论该风险模型的破产概率。在相对安全负荷大于零的条件下，当初始资产趋向于无穷时，破产概率趋向于零。以下分别给出条件破产概率和最终破产概率所满足的积分方程，并导出了在零初始资产的条件下，最终破产概率的明确表达式。结论3

若马氏链的初始分布为则最终破产概率满足如下的积分方程特别地有本模型可做的进一步研究估计破产概率的收敛速度估计破产概率的lundberg型不等式资产盈余的瞬时分布四、预备知识：齐次Poisson过程定义1计数过程称作齐次Poisson过程，如果它满足以下几个条件：；对于任意，增量有参数为的Poisson分布，即对；

这里是常数，称作过程的强度。具有独立增量。

在以上定义中，条件（1）是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制。条件（2）蕴含过程具有平稳增量，即的分布只依赖于差数而与的具体值无关。条件（3）表示过程是无后效的，即对任意正整数n和任意实数，独立于，定义2齐次Poisson过程在任意时刻，没有重点，即

我们把满足上式的点过程