土木工程制图平面立体的投影及线面投影分析

土木工程制图平面立体的投影及线面投影分析第1页/共101页2对老师们的温馨提示

这一批教学演示文稿（PPT），是为使用卢传贤主编的《土木工程制图》教材进行课堂教学而编制的电子讲稿之框架、雏形，它原则上不能直接作为通用的电子讲稿来使用，更不能称其为“电子教案”，它绝对不能代替教案设计。文稿的作者本来无意，也不可能设计出来能为大家“统一”使用的电子讲稿。由于各校的专业实际、学时、学生水平、教学条件以及教师的教学风格的不同，必然对演示文稿会有不同的要求，期望有不同的风格。本套演示文稿仅仅是提供一种借鉴，做了一些基本的准备，使用者在使用前一定要根据自己的实际情况对其做个性化处理：删除本页的声明，调整内容结构，改进编排顺序，简化、削减文稿中的文字份量，加强图形、图片、视频、动画的表现效果，充实你的精彩表演方法，把它改造成符合你自己需要的、能更好展示教学水平的、表演技艺出众的实用化作品，以提高课堂教学效果。祝你圆满成功！

第2页/共101页3目录§3.1平面立体的三面投影

§3.2立体上直线的投影分析

§3.3立体上平面的投影分析

§3.4

点、线、面间的相对几何关系

§3.5

同坡屋顶的画法第3页/共101页4§3.1平面立体的三面投影

由多个平面围成的立体，称为平面立体，简称平面体，也称多面体。最简单的平面体有棱柱、棱锥、棱台等。第4页/共101页5§3.1平面立体的三面投影

一、棱柱

棱柱是由两个互相平行的多边形底面和若干个棱面围成的，相邻两棱面的交线称为棱线，所有的棱线都互相平行。棱线垂直于底面的叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。第5页/共101页6§3.1平面立体的三面投影

一、棱柱5秒后自动演播棱柱投影图实例第6页/共101页7§3.1平面立体的三面投影

二、棱锥

棱锥是由多边形底面和若干个汇交于顶点的棱面围成的，相邻棱面的交线叫棱线，所有的棱线都通过锥顶。底面是正多边形且锥顶位于通过底面中心而垂直于底面的直线上，这样的棱锥叫正棱锥。

第7页/共101页8§3.1平面立体的三面投影

二、棱锥棱锥投影图实例5秒后自动演播第8页/共101页9§3.1平面立体的三面投影

三、棱台

棱锥被平行于底面的平面截割，截面与底面间的部分为棱台。所以，棱台的两个底面彼此平行且相似，所有的棱线延长后交于一点。第9页/共101页10§3.1平面立体的三面投影

三、棱台棱台投影图实例5秒后自动演播第10页/共101页11§3.1平面立体的三面投影

几种常见平面立体的两面投影图

三棱柱四棱柱四棱台三棱锥四棱锥五棱锥点击1次第11页/共101页12§3.2立体上直线的投影分析

一、直线的投影

一般情形下直线的投影仍为直线，特殊情形下，直线的投影会积聚成点。所以，画直线的投影，需要画出直线两端点的投影，然后连成直线的投影。

第12页/共101页13§3.2立体上直线的投影分析

直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示；对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、投影面垂直线、任意倾斜直线。第13页/共101页14§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

1.投影面平行线水平线

（1）正面投影∥OX；（2）侧面投影∥OYW;(3)水平投影反映线段实长和对V、W的倾角。第14页/共101页15§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

1.投影面平行线正平线

（1）水平投影∥OX；（2）侧面投影∥OZ;(3)正面投影反映线段实长和对H、W的倾角。第15页/共101页16§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

1.投影面平行线侧平线

（1）水平投影∥OYH

；（2）正面投影∥OZ;(3)侧面投影反映线段实长和对H、V的倾角。第16页/共101页17§3.2立体上直线的投影分析

投影面平行线的投影特性归纳为：平行于哪个投影面的直线，在它所平行的那个投影面上的投影反映线段的实长和对另两投影面的倾角，另外的两投影则平行于相应的投影轴。单击开始自动演播第17页/共101页18§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

2.投影面垂直线铅垂线

（1）正面投影⊥OX

；（2）侧面投影⊥OYW;(3)水平投影积聚成一点。第18页/共101页19§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

2.投影面垂直线正垂线

（1）水平投影⊥OX

；（2）侧面投影⊥OZ;(3)正面投影积聚成一点。第19页/共101页20§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

2.投影面垂直线侧垂线

（1）正面投影⊥OZ

；（2）水平投影⊥OYH;(3)侧面投影积聚成一点。第20页/共101页21§3.2立体上直线的投影分析

投影面垂直线的投影特性归纳为：垂直于哪个投影面的直线，在它所垂直的那个投影面上的投影积聚成一点，它的另外两个投影则垂直于相应的投影轴，并反映线段的实长。单击开始自动演播第21页/共101页22§3.2立体上直线的投影分析

二、与投影面成各种倾斜状态的直线

3.任意倾斜直线（普通斜直线）

三个投影都是倾斜的线段，其投影长度都比实长短。第22页/共101页23§3.2立体上直线的投影分析

三、直线上的点投影有从属性、定比性:k、k'、k"分别在sa、s'a'

、s"a"上，且sk:ka=s'k':k'a'=s"k":k"a"=SK:KA。自动演播第23页/共101页24§3.2立体上直线的投影分析

三、直线上的点投影有从属性、定比性:k、k'、k"分别在sa、s'a'

、s"a"上，且sk:ka=s'k':k'a'=s"k":k"a"=SK:KA。第24页/共101页25§3.2立体上直线的投影分析

三、直线上的点例3-1已知侧平线SB上的点K的正面投影k',求其水平投影k。已知方法一，利用从属性方法二，利用定比性下页解答第25页/共101页26§3.2立体上直线的投影分析

三、直线上的点例3-1已知侧平线SB上的点K的正面投影k’,求其水平投影k。已知方法一，利用从属性方法二，利用定比性解：单击开始自动演播第26页/共101页27§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

平行：AB与CD

相交：AB与BC

交错：AB与CE

它们既不平行也不相交第27页/共101页28§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

1.平行

AB与CD平行，则各同面投影保持平行，即

ab∥cd,a'b'∥c'd',a"b"∥c"d"

10秒后自动演播第28页/共101页29§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

1.平行

AB与CD平行，则各同面投影保持平行，即

ab∥cd,a'b'∥c'd',a"b"∥c"d"

任意倾斜直线，只要ab∥cd,a'b'∥c'd',自然就有a"b"∥c"d"

，所以只需任两个投影有平行关系，即能说明空间直线是平行的。但对于投影面的平行线，必需在它们所平行的那个投影面上的投影有平行关系，才能说明问题。第29页/共101页30§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

2.相交

AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同一点的投影规律。第30页/共101页31

四、两直线间的相对几何关系

2.相交

AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同一点的投影规律。§3.2立体上直线的投影分析10秒后自动演播第31页/共101页32§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

2.相交

AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同一点的投影规律。

任意倾斜二直线的任两个投影的交点符合一点的投影规律，即能认定二直线是相交的。但对于二直线中有一条是某个投影面的平行线，则必需看该直线所平行的那个投影面上的投影才能说明问题。第32页/共101页33§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

3.交错交错二直线的某个同面投影可能出现平行，也可能出现相交，但投影的交点不符合点的投影规律。第33页/共101页34§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

3.交错交错二直线的某个同面投影可能出现平行，也可能出现相交，但投影的交点不符合点的投影规律。单击开始自动演播第34页/共101页35§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

3.交错

交错直线同面投影的交点，不是同一个点的两投影。交错直线同面投影的交点，不是同一个点的两投影。交错直线的两投影可能平行，但不可能三投影都出现平行。交错直线的两投影可能平行，但不可能三投影都出现平行。第35页/共101页36§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

3.交错

交错直线同面投影的交点，是二交错直线上一对重影点的投影。

第36页/共101页37§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

3.交错

交错直线同面投影的交点，是二交错直线上一对重影点的投影。重影点投影的可见性由它们与投影面的距离判定。

单击开始自动演播第37页/共101页38§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

4.两直线垂直

直角投影法则：相交垂直或交错垂直的两直线，当其中之一为投影面平行线时，它们在所平行的那个投影面上的投影，反映垂直关系。

第38页/共101页39§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

4.两直线垂直例3-2

如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二投影。

已知下页解答第39页/共101页40§3.2立体上直线的投影分析

四、两直线间的相对几何关系

4.两直线垂直例3-2

如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二投影。

解：按对边平行关系画全a'b'd'c';按邻边垂直关系画出ac;按对边平行关系画全abdc。单击开始自动演播已知作图第40页/共101页41§3.2立体上直线的投影分析

五、直线的辅助投影

掌握了点的辅助投影的求法，就能作直线的辅助投影。本节的任务是解决如何选择辅助投影面，表现在投影图上就是如何选择辅助投影轴，这要看需要解决的问题是什么。主要有两类：

1.原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映线段的实长、倾角；

2.原投影无积聚性的直线,需要其辅助投影有积聚性。第41页/共101页42§3.2立体上直线的投影分析

五、直线的辅助投影

1.原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映线段的实长、倾角单击开始自动演播建立与AB平行且垂直于H的辅助投影面V1在投影图上表现为O1X1与ab平行第42页/共101页43§3.2立体上直线的投影分析

五、直线的辅助投影

1.原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映线段的实长、倾角

直角三角形法 如果辅助投影轴的选择恰使一个端点的辅助投影与其旧投影重合，则得出简便的作图方法，即直角三角形法。第43页/共101页44§3.2立体上直线的投影分析

五、直线的辅助投影

2.原投影无积聚性的直线,需要其辅助投影有积聚性单击开始自动演播对于投影面平行线，只需作一次辅助投影建立H1垂直于AB,则它就同时垂直于V表现在投影图上即作O1X1垂直于a'b'第44页/共101页45§3.2立体上直线的投影分析

五、直线的辅助投影

2.原投影无积聚性的直线,需要其辅助投影有积聚性而对于任意倾斜直线，则需要作两次辅助投影单击开始自动演播第45页/共101页46§3.3立体上平面的投影分析

一、平面的投影

平面立体的表面是平面多边形，画出这些多边形的顶点、边线的投影就表示了立体的各个表面。第46页/共101页47§3.3立体上平面的投影分析

一、平面的投影

但从确定平面的位置来说，通常仅仅知道平面的一些几何成分就够了。例如，给出不在同一直线上的三个点、一条直线和直线外一点、相交两直线、平行两直线、任意的平面图形等，都可以确定一个平面，作出确定平面的这些几何成分的投影，就在投影图上表示了一个平面。今后，也经常使用几何抽象的方法表示一个平面。第47页/共101页48§3.3立体上平面的投影分析

平面与投影面的夹角，是用平面角来度量的，称为平面对投影面的倾角。与水平投影面的倾角叫水平倾角，用α表示；与正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示；与侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。第48页/共101页49§3.3立体上平面的投影分析

一、平面的投影

平面在投影图上表现出来的特性，常与平面对投影面的倾斜状态有关。根据平面对投影面的倾斜状态，可将平面分成：投影面平行面、投影面垂直面、任意倾斜平面（普通斜平面）。第49页/共101页50§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

1.投影面平行面的投影特性

按所平行的投影面分别取名为：

水平面（∥H）、正平面（∥V）、侧平面（∥W）第50页/共101页51§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

1.投影面平行面的投影特性

水平面：水平投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平行的直线。第51页/共101页52§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

1.投影面平行面的投影特性

正平面：正面投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平行的直线。第52页/共101页53§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

1.投影面平行面的投影特性

侧平面：侧面投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平行的直线。第53页/共101页54§3.3立体上平面的投影分析

投影面平行面的投影特性，可归纳成：投影面的平行面，在它所平行的那个投影面上的投影反映实形，另外的两投影分别积聚成平行于投影轴的直线。第54页/共101页55§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

2.投影面垂直面的投影特性

按所垂直的投影面分别取名为：

铅垂面（⊥H

）、正垂面（⊥V）、侧垂面（⊥W

）第55页/共101页56§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

2.投影面垂直面的投影特性

铅垂面：水平投影积聚成倾斜直线，且反映β、γ，其余二投影为相仿形。第56页/共101页57§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

2.投影面垂直面的投影特性

正垂面：正面投影积聚成倾斜直线，且反映α、γ，其余二投影为相仿形。第57页/共101页58§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

2.投影面垂直面的投影特性

侧垂面：侧面投影积聚成倾斜直线，且反映α、β，其余二投影为相仿形。第58页/共101页59§3.3立体上平面的投影分析

投影面垂直面的投影特性，可归纳成：投影面的垂直面，在它所垂直的那个投影面上的投影积聚成倾斜的直线，并反映该平面与另两个投影面的倾角；它的另外两投影，都是原平面图形的相仿形。第59页/共101页60§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

3.任意倾斜平面的投影特性

各投影均为原图形的相仿形。第60页/共101页61§3.3立体上平面的投影分析

二、各种倾斜状态的平面

3.任意倾斜平面的投影特性

各投影均为原图形的相仿形。第61页/共101页62§3.3立体上平面的投影分析

三、平面内的直线

1.

在平面内作直线

直线在平面内的几何条件：通过平面内的两点；通过平面内一点且平行于面内另一直线。

例3-4MN是三角形平面内的一条直线，已知m'n'，求mn。点击1次已知作图过程分解第62页/共101页63§3.3立体上平面的投影分析

三、平面内的直线

1.

在平面内作直线

直线在平面内的几何条件：通过平面内的两点；通过平面内一点且平行于面内另一直线。

例3-4MN是三角形平面内的一条直线，已知m'n'，求mn。单击开始自动演播已知作图动画第63页/共101页64§3.3立体上平面的投影分析

三、平面内的直线

2.平面内的投影面平行线

它既符合直线在平面内的几何条件，又具有投影面平行线的投影特性。此外，除投影面平行面外，其他平面内同一投影面的平行线还是一组互相平行的直线，它们的同面投影有相同的方向。同一投影面的平行线是互相平行的直线第64页/共101页65§3.3立体上平面的投影分析

四、平面的辅助投影

解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问题。

1.

原投影无积聚性的平面,需要其辅助投影有积聚性取面内投影面平行线的垂直平面为辅助投影面投影图上表现为投影轴垂直于投影面平行线的相应投影第65页/共101页66§3.3立体上平面的投影分析

四、平面的辅助投影

解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问题。

1.

原投影无积聚性的平面,需要其辅助投影有积聚性单击开始自动演播作图动画作图结果第66页/共101页67§3.3立体上平面的投影分析

四、平面的辅助投影

解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问题。

2.

原投影不反映实形的平面,需要其辅助投影反映实形对于投影面垂直面，选择平行于该平面的投影面可达目的第67页/共101页68§3.3立体上平面的投影分析

应用例子：求斜切棱柱顶面的实形。第68页/共101页69§3.3立体上平面的投影分析

四、平面的辅助投影

2.

原投影不反映实形的平面,需要其辅助投影反映实形

对于任意斜平面，需要先求出有积聚性的辅助投影，再求有实形性的辅助投影第69页/共101页70§3.4点、线、面间的相对几何关系

一、平面内的点

几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。

例3-6

点M是ABC平面上的点，已知其正面投影m'，求水平投影m。解作图动画已知单击开始自动演播解作图结果第70页/共101页71§3.4点、线、面间的相对几何关系

一、平面内的点

几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。

例3-7

点M是侧垂面ABC上的点，已知其正面投影m'，求水平投影m。已知解作图动画单击开始自动演播解作图结果第71页/共101页72§3.4点、线、面间的相对几何关系

一、平面内的点

几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。

例3-8

补全平面四边形ABCD的水平投影abcd。已知解作图动画单击开始自动演播解作图结果第72页/共101页73§3.4点、线、面间的相对几何关系

一、平面内的点

几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。

例3-9

完成任意斜平面的水平投影。已知解作图动画单击开始自动演播解作图结果第73页/共101页74

二、平面立体上的点和直线

1.平面体表面的可见性可见性的判断和表示规则：（1）各投影的外形轮廓线总是可见的；（2）位于可见表面或表面的可见区域的点、线是可见的，反之则不可见；（3）不可见表面与不可见表面的交线是不可见的；（4）可见线用实线表示，不可见线用虚线表示，二者投影重合时只画实线。虚实重合只画实线§3.4点、线、面间的相对几何关系两不可见表面的交线不可见第74页/共101页75§3.4点、线、面间的相对几何关系

二、平面立体上的点和直线

2.平面体表面上的点和直线例3-10求作四棱柱表面上A、B、C三点的其余投影。已知解作图动画

单击开始自动演播解作图结果

第75页/共101页76§3.4点、线、面间的相对几何关系

二、平面立体上的点和直线

2.平面体表面上的点和直线

例3-11已知三棱锥表面上点M的正面投影m'，求M的其余二投影。

已知解作图动画

单击开始自动演播解作图结果

第76页/共101页77§3.4点、线、面间的相对几何关系

二、平面立体上的点和直线

2.平面体表面上的点和直线

例3-12已知三棱锥表面上线KMN的正面投影k'm'n'，求M的其余二投影。

已知解作图动画

单击开始自动演播解作图结果

第77页/共101页78§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

1.直线与平面相互平行

几何条件：直线平行于面内一条直线，则直线与平面平行。单击开始自动演播第78页/共101页79§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

1.直线与平面相互平行

检查直线与平面是否平行，看能否在平面内作出与直线平行的直线。如果平面的某投影有积聚性，只要积聚投影与直线的同面投影平行，则线、面必然平行。

第79页/共101页80§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

1.直线与平面相互平行例3-15过面外一点M作水平线使与平面ABC平行。

已知解作图动画单击开始自动演播解作图结果第80页/共101页81§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

2.平面与平面相互平行

几何条件：两平面内各有一对相交直线对应平行，则两平面相互平行。相交直线对应平行，则平面平行平行直线对应平行，则平面不一定平行第81页/共101页82§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

2.平面与平面相互平行

要判断两平面是否平行，就检查两平面内是否存在相交而对应平行的直线对。

第82页/共101页83§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

2.平面与平面相互平行

两平面如果同面投影都有积聚性，则只需看积聚投影是否平行即可说明问题。

两平面平行两平面不平行第83页/共101页84§3.4点、线、面间的相对几何关系

三、直线与平面、平面与平面平行

2.平面与平面相互平行

平面分析示例：ABCD与EFGH是否平行？为什么？第84页/共101页85§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交相交问题是求解共有元素的问题，即求交点、交线的问题;同时还要区分出可见性。

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。

例3-17求直线AB与铅垂面P的交点K，

并分清可见性。第85页/共101页86§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。

例3-17求直线AB与铅垂面P的交点K，并分清可见性。作图过程分清可见性5秒后自动演播第86页/共101页87§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。

例3-18求铅垂线DE与平面△ABC的交点K，并分清可见性。已知作图分清可见性自动演播第87页/共101页88§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。

例3-19

求铅垂面P与任意斜平面△ABC的交线，并分清可见性。第88页/共101页89§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。

例3-19

求铅垂面P与任意斜平面△ABC的交线，并分清可见性。单击开始自动演播已知作图分清可见性第89页/共101页90§3.4点、线、面间的相对几何关系单击开始自动演播

四、直线与平面、平面与平面相交

1.相交的任何一方有积聚投影的情况

例3-20

长方体被铅垂面P和正垂面Q切割，作出P与Q的交线MN的投影。第90页/共101页91§3.4点、线、面间的相对几何关系

四、直线与平面、平面与平面相交

2.相交的任何一方都没有积聚投影的情况

方法一：建立辅助投影面，使相