平面向量章末测试题

#章末综合测评（二）平面向量（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(—4,—3),则向量BC=( )A.(－7，－4) B.(7,4)C.(—1,4) D.(1,4)【解析】法—：设C(x,y),则AC=(x,y—1)=(—4,-3),[x=-4,所以1〔y=—2,从而BC=(—4,—2)—(3,2)=(—7,—4).故选A.法二：AB=(3,2)—(0,1)=(3,1),―►―► ―► 一一BC=AC—AB=(—4,—3)—(3,1)=(—7,—4)故选A.【答案】A2.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b±c,则实数k的值等于（）【导学号：82152126】A--2B.—3c.33D.2【解析】c=a+kb=(1+k,2+k),又b±c所以1X(1+k)+lX(2+k)=0,解得k=-2.【答案】A3.已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60°,则BD•CD=( )A.-2a23B.—4a2C.4aC.4a2D，2a2一■«•一，一一 一ffff3 ―-3 _,【解析】 由已知条件得BD-CD=BD-BA=%；3a-acos30°=]a2,故选D.【答案】D.对任意向量a,b，下列关系式中不但成立的是()A.IlabWlaIIbIB.la—bIWIIal—IbIIC.(a+b)2=Ia+bI2D.(a+b)•(a—b)=a2—b2【解析】根据a-b=\a\\b\cos3，又cos3W1,知Oi-b\WOb,A恒成立.当向量a和b方向不相同时，Ia—bI>\^a\-^b\\,B不恒成立.根据Ia+bI2=a2+2a-b+b2=(a+b)2,C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b)•(a—b)=a2—b2,D恒成立.【答案】B.已知非零向量a,b满足\b\=4\a\,且a±(2a+b),则a与b的夹角为(B.2nB.2A-32nC.-2nC.-35nd.t【解析】：a±(2a+b),.\a-(2a+b)=0,.,.2IaI2+a-b=0,即2IaI2+\a\\b\cos〈a,b〉=0.,:Ib\=4\a\,；・2Ui\2+4\a12cos〈a,b〉=0,・'・cos〈a,b〉=—2,・'・〈a,b〉=|n.【答案】C.AABC是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足通=2a,AC=2a+b，则下列结论正确的是()【导学号：82152127】B.a±bA.IB.a±bD.(4a+b)±BC

【解析】在^ABC中，由BC=AC—AB=2a+b-2a=b,得Ib1=2.又Ia1=1,所以a-b=IaIIbIcos120°=—1,所以(4a+b)-B(J=(4a+b)-b=4a-b+Ib|2=4X(—1)+4=0,所以(4a+b)±BC，故选D.【答案】DTOC\o"1-5"\h\z.已知向量a=(2,1),a-b=10,la+bl=、j30,则lbl=( )A.0 B.2C.5 D.25【解析】 因为a=(2,1),则有lal=\污，又a-b=10,又由a+bl=\,'50,：^\a\2+2a-b+lbl2=50,即5+2X10+lbl2=50,所以lbl=5.【答案】C.已知AD,BE分别为AABC的边BC,AC上的中线，设AD=a,BE=b,则BC等于（）图1图1【解析】23AD【解析】23ADA.3a24B.3a十3b2 4,C.3a—3bD.-3a十3b一人—J2^_,.1-^BC=2BD=2I3BE+3ADTOC\o"1-5"\h\z2 4=产+利【答案】B.设非零向量a",c满足同=回=|。|，a+b=c,则向量。”的夹角为（ ）A.150。 B.1200C.60° D.30°【解析】设向量a,力夹角为仇|c/=|a+b|2= +|b|2+2同网cos3,贝Ucos6=又夕R[0。，1801,120?故选8.【答案】B.在矩形ABCD中,AB=5,BC=1,E是CD上一点，且看AB=1,则成AC的值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.2C再 D再【解析】设花与前的夹角为仇则而与疝的夹角为a-仇又AD〃BC,故有4E与BC夹角为5-仇如图：,:AEAB=\AE\\AB\cos3=y13\AE\cos6=1,- 3/.pl£|cos0=T，'.AEBC=|AE|cos^-0^=|AE|sin0=1,：.AE=AE(AB+ =AEAB+AEBC=1+1=2.【答案】B11.已知向量为=(2,2),协=(4,1),在x轴上有一点P,使舒而有最小值,

则尸点坐标为()B.(3,0)D.(4,0)A.(－B.(3,0)D.(4,0)C.(2,0)【解析】设P(%,0),贝4有—► ___.一AP•BP=(%—2,0—2)^(x—4,0—1)—(x—2)(x—4)+2=x2—6x＋10=(x—3)2+1，当x=3时，AP•BP取最小值1,此时P点坐标为(3,0).【答案】B.设0W3<2n,已知两个向量OP1=(cosdsin。),OP2=(2+sin仇2—cos8)，则向量PP2长度的最大值是()【导学号：82152128】A.\/2 B.3C.3理 D.2V13【解析】 ：PP2=OPP2—OPP1=(2+sin3—cos3，2—cos3—sin3)，，IP1P21=、J(2+sin3—cos3)2+(2—cos3—sin3)2=-.../10—8cos3W3\;12.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上).已知向量a=(2,—1),b=(—1,m),c=(—1,2),若(a+b)〃c,则m=【导学号：82152129】【解析】•・•〃=(2,—1),b=(—1,m),，a+b=(1,m—1).

V(a+b)〃c,c=(—1,2),.•.2—(—1>(m—1)=0.，m=—1.【答案】 一1.已知向量a=(2,1),b=(1,—2),若ma+nb=(9,—8)(m,n£R),则m—n的值为.【解析】 •/ma+nb=(2m+n,m—2n)=(9，—8)，[2m+n=9, [m=2,...j .•.j ，m—n=2—5=—3.[m—2n=—8, [n=5,【答案】 一3.已知向量O~A1A~B,IOA1=3,则OA-O~B=.【解析】 因为(OA±Ab，所以(OA-Ab=(OA-(0A—(OA)=o)a-0A—oa2=0,所以(OA-(OB=OA2=|(OA|2=9,即(OA-(OB=9.【答案】9.在△ABC中，点M,N满足出力=2MLC,BN=NC.若M°N=xAB+yAC，则x=；y=.【解析】 ：AM=2MC, AM=|AC.•・,BN=NC,・•・AN=2(AB+AC),12：.MN=AN—AM=2(AlB+AC)—|AC11=2AB11=2AB—6AC.又MN=xAB+yAC，：x=；,1y=—6.【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

.(本小题满分10分)不共线向量a,b的夹角为小于120。的角，且lal=1,lbl=2,已知向量c=a+2b，求Icl的取值范围.【导学号：82152130】【解】Icl2=la+2bl2=lal2+4a-b+4Ibl2=17+8cos优其中3为a与b的夹角).因为0°<3<120°,所以一gvcos3<1,所以\》<1cl<5,所以|cI的取值范围为6/135)..(本小题满分12分)设次=(2,-1),OB=(3,0),O^C=(m,3).(1)当m=8时，将O)C用(JA和OB表示;⑵若A,B,C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件.【解】(1)【解】(1)当m=8时，(X：=(8,3),设(0=21o)a+22OB,・・・(8,3)=A1(2,-1)+A2(3,0)=(2A1+3A2,-A1),[2[2A,+3A2=8,i-A13,A1=-3，A2=竽・•・(0C=-3(OA+早OB.⑵若A,B,C三点能构成三角形，则有AB与AC不共线，―► ―► ―►又AB=OB-OA=(3,0)-(2,-1)=(1,1),-1)=(m-2,4)，AC=OC-OA=(m,3)-(2,则有1X4—(-1)=(m-2,4)，...m/6.19.(本小题满分1219.(本小题满分12分)设ij是平面直角坐标系中，轴和y轴正方向上的单位向量，ACB=4i-2j,就=7i+4/,AD=3i+6j，求四边形ABCD的面积.【导学号：82152131】【解】因为AB-AJ)=(4i-2/)•(3i+6/)=3X4—2X6=0,所以AB±AD,又因为AC=7i+4j=4i-2/+3i+6j=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形，又AB±AD，所以四边形ABCD为矩形.所以S四边形ABCD=^|X|AD=/i^X、"+6：30.20.(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果OA=2e1+me2,OB=ne1—e2，OC=5e1—e2，若A,B,C三点在一条直线上，且m=2n,求m,n的值.【解】以O为原点，e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy,则O)A=(2,m),OB=(n,—1),OC=(5,-1),所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0),又因为A,B,C三点在一条直线上，所以AC〃BC,所以3X0—(—1—m)-(5—n)=0,与m=2n构成方程组Jmn—5m+n—5=0,、m=2n,Im=10,Im=10,Wn=5.解得1 1n=x21.(本小题满分12分)已知a=(cosa，sina),b=(cosB，sin0),0<B<a<兀(1)若Ia—bl=〈,2求证:aJLb；⑵设c=(0,1),若a+b=c，求a,0的值.【解】(1)证明：由题意得Ia—b|2=2,

即(〃—b)2=a2—2a-b+b2=2.又因为a2=b2=1a|2=|b|2=1,所以2—2a-b=2,即a-b=0,故a±b.(2)因为a+b=(cosa+cosp,sina+sinp)=(0,1),所以cosa+cosp=0, ①所以sina+sinp=1, ②由①得，cosa=cos(n—p),由0Vp<兀，得0Vn—pVn.又0VaVn,故a=n—p.代入sina代入sina+sinp=1,得sina=sininp=2，而a>p，所以5n兀a=T，p=6.22.(本小题满分12分)已知向量a,b满足\a\=Ibl=1,Ika+bl=\月la—kb1(k>0,k£R).(1)求ab关于k的解析式f(k)；(2)若a〃b，求实数k的值；(3)求向量a与b夹角的最大值.【解】(1)由已知Ika+bl=x,''3la—kbI,有Ika+bl2=(^la—kbI)2,k2a2+2ka-b+b2=3a2—6ka-b+3k2b2.由la