高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评5直角三角形的射影定理新人教A版选修41

5A41(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题在△ABC中于则的值( )A．3∶2C.3∶

B．9∶4D.2∶【解析】如图，在RACBC⊥A，由射影定理知A＝AD·AB，B2＝B·A，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴A＝3×51，B2＝2×510.AC

15 3＝ ，10 2

AC∶BC＝3∶2，【答案】C如图149 所示，在中为垂足，若＝1∶2，则AD的值( )图149A．6 B．32C．18

AD1

D．36【解析】由题意知DB＝2，A·D＝3，∴A＝1，2.【答案】B一个直角三角形的一条直角边为3cm2.4cm，则这个直角三角形的1面积为()【导学号：07370021】A．7.2cm2B．6cm2C．12cm2【解析】D．24cm2长为3cm的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知32斜边长为 1.81∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．2【答案】B在Rt△ABC

D AC3 BD )4于点，若AB＝，则CD等于(43A.4

4B.316C.9

9D.16【解析】如图，由射影定理，得A2＝C·B，A2＝B·B，A2 CD∴ ＝＝2，A2 BDCD9即＝16BD169.【答案】C在Rt△ACB中于若则tan∠BCD的值是( )1A.41C.2

1B.3D．2

【导学号：07370022】【解析】如图，由射影定理得C＝A·B.又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，2∴C＝A·B＝4，C＝，Rt△CDB

BDx1＝CD＝x＝.2 2【答案】C二、填空题如图1410，在矩形 ABCD中则对角线BD的长．【解析】∵OF＝a，∴AD＝2a.∵AE⊥BD，∴A＝D·B.

图1410DEEB

DE1，∵∶

＝BD41∴A＝B·B，4∴B＝4A＝4×＝16，B＝4.【答案】4a如图1411，已知 Rt△ABC的两条直角边的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点则cm.【解析】连接CD，则CD⊥A

图1411B.，得cm.由射影定理得B2＝B·B，即

16cm.＝516【答案】 5已知在梯形ABCDcm，则此梯3形的面积．【解析】如图，过C点作Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm，∴BE＝6.4cm，AE＝3.6cm，6.4×3.6＝4.8(cm)，∴AD＝4.8cm.又∵在梯形ABCD∴DC＝AE＝3.6cm.10＋3.6×4.8∴S梯形ABD

2 ＝32.64(cm2)．【答案】32.64cm2三、解答题48cm3∶5(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】(1)如图，设，过D由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(2－62＋(＝(2－2)，x＝0x＝2，1 2∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，20cm,12cm,16(2)作∴A＝A·A，AFA2 122 36∴＝AB＝20＝5(cm)．

B2 162 64＝AB＝20＝5(cm)．436 64∴两直角边在斜边上的射影长分别为5cm，5

cm.如图1412 所示垂直平分点E在CD上点分别为垂足．求证图1412【证明】∵CD垂直平分∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且∴AAA，B·BD2.∵A＝D，∴AAB·B.已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，A．1∶2B．2∶1( )C．1∶4D．4∶1【解析】15，∴两直角边在斜边1上的射影分别为 和545.【答案】C已知Rt△ABC中，斜边cm，D为AC上一点交AB于且则)A．1.24cmC．1.28cm【解析】如图，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ABC，ADDE∴AB＝BC，

B．1.26cmD．1.3cmDE3.2×2＝AB＝

＝1.28.【答案】C5如图1413 所示，在Rt△ABC中则BC＝ .图1413【解析】由射影定理得，A2＝A·A，B2BA，A2 AD A2·BD∴ ＝，即B＝ .B2 BD ADC2又∵C2＝A·BB＝AD.A2·C2 62 6－3.62∴B＝ ＝ ＝64.A2 3.2∴BC＝8.【答案】8如图1414，已知是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于，交CE于＝∠BCG＝F·G.图1414【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝