中考数学《勾股定理的应用》专题练习（附答案解析）

第页中考数学《勾股定理的应用》专题练习（附答案解析）一、综合题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax+b经过点A(−2，0)（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．2．如图1，已知O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．（1）探究AE'与BF'的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE'为直角三角形．3．设△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根。（1）判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由。（2）若△ABC是等腰三角形，求a，b，c的值。4．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．5．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，A(0，4)，B(4，4)，（1）O′的坐标为（2）设弧AC与线段AB、BC所围成的封闭图形的面积为S（图中阴影部分），嘉琪说S>1，请通过计算判断嘉琪的说法是否符合题意；（3）我们把横纵坐标都是整数的点叫做格点．直线l与⊙O6．下面是6×6的正方形网格，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，如图1，△ABC的顶点均为网格上的格点．（1）AB=，BC=，AC=．（2）∠ABC=°．（3）在格点上是否存在点P（点P不与点B重合），使∠APC=90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P（4）请在图2中画出一个三角形，使三边长分别为3，10，5，并求此三角形的面积．7．在如图的网格中建立平而直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(2,5)，C(4,4)，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：（1）直接写出△ABC的形状；（2）画出AC边上的高线BE；（3）画出点B关于AC的对称点F；（4）D(2,1)，点P在AB上，若∠DPA=45°，直接写出点P的坐标．8．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是（1）试判断△ABC的形状；（2）若3b=a+3c，求cosA9．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D.（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由.10．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．11．如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k（1）求反比例函数y=kx（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．12．已知：如图，双曲线y=kx（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）连结BC，求△ABC的面积.13．如图1是一款“雷达式”懒人椅。当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB，CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接，金属杆CD的OD部分可以伸缩(即OD的长度可变)．已知0A=50cm，OB=20cm，OC=30cm，DE=BF=5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上(如图3所示)，此时点E和点A重合。（1）如图2，已知∠BOD=6∠ODB，∠OBF=140°。①求∠AOC的度数。②求点A，C之间的距离。（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长。14．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响?请说明理由；（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米／时，那么学校受到影响的时间是多久?15．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，点F的坐标为；（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．16．如图，在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：ΔABC的内角和等于180°；（3）若aa−b+c=1

参考答案与解析1．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+ax+b∴4−2a+b=0，解得a=6，∴y=x（2）解：C(−3,−1)，∠BOC=90°2．【答案】（1）证明：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA=OD，∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E′OF′，∴OE′=OF′，∵∠F′OB=∠E′OA，OA=OB，在△E′AO和△F′BO中，OE'=OF'∠F'OB=∠E'OA∴△E′AO≌△F′BO（SAS），∴AE′=BF′；（2）证明：∵取OE′中点G，连接AG，∵∠AOD=90°，α=30°，∴∠E′OA=90°﹣α=60°，∵OE′=2OA，∴OA=OG，∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，∴AG=GE′，∴∠GAE′=∠GE′A=30°，∴∠E′AO=90°，∴△AOE′为直角三角形．3．【答案】（1）△ABC是直角三角形

理由：∵a，b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根

a+b=c+2，ab=2（c+1）

∴（a+b）2=（c+2）2，

∴a2+2ab+b2=c2+4c+4

a2+2×2（c+1）+b2=c2+4c+4，

整理得a2+b2=c2，

∵a，b，c是△ABC的三边，

∴△ABC是直角三角形.（2）解：∵△ABC是以c为斜边的直角三角形，

当△ABC时等腰三角形时，则a=b

∴c2=2a2则c=2a

∴a+a=2a+2

解之：a=b=2+4．【答案】（1）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，∴这三条线段能组成三角形的概率为：7（2）解：∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：15．【答案】（1）（2，0）（2）解：如图2，连接O′A、由勾股定理可知，O′A=2AC∴O′∴△AO′C∴S扇形AS△AO′则阴影部分的面积S=S所以嘉琪的说法符合题意；（3）解：（6，3）和（2，5）．6．【答案】（1）5；25；（2）90（3）解：如图所示：（4）解：如图所示：BC=3，∴7．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形（2）解：如图，线段BE即为所求作；（3）解：如图，点F即为所求作；（4）P(65，178．【答案】（1）解：由题意，得∆=4b2-4a2-4c2=0，∴b2-a2-c2=0，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形；（2）解：∵3b=a+3c，∴a=3b−3c，∵b2=a2+c2，∴b2=(3b-3c)2+c2，∴4b2+5c2-9bc=0，∴5c∴(∴cb=4∵∠B=90°，cos∠A=c∴c∴cosA=c9．【答案】（1）解：∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：a+b+c=09a−3b+c=0解得a=−1∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，∴点D的坐标为（﹣1，4）（2）解：∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝12×BC×CD+（3）解：存在，Q（﹣37作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得，−3=0+b4=−k+b解得k=−7b=−3∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣37∴点Q的坐标为（﹣3710．【答案】（1）解：如图所示，点M即为所求，且M（2，0）．（2）解：直线CD是⊙M的切线，由A（0，4），可得小正方形的边长为1，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，∴CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，∴MC2＝ME2+CE2＝42+22＝20，在Rt△CED中，∠CED＝90°，∴CD2＝ED2+CE2＝12+22＝5，∴MD2＝MC2+CD2，∴∠MCD＝90°，又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线．11．【答案】（1）解：将点A（4，3）代入y=kx则反比例函数解析式为y=12（2）解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC=4、AC=3，∴OA=42∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）解：∵点B坐标为（9，3），∴OB所在直线解析式为y=13由y=1过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，则△OAP的面积=12×（2+6）×3﹣12×6×2﹣12．【答案】（1）解：∵双曲线y=kx∴4=k解得m=2k=8∴双曲线的解析式为y=8x，直线AB的解析式为（2）解：设C(m，8m)∵C是AD的中点，∴C(2+n2∴8m∴m=4，∴C（4，2），联立y=8解得x=−2y=−4或x=2∴B（-2，-4），∴AC2=(4−2)2∴AC∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC13．【答案】（1）①解：设∠ODB=x度，则∠BOD=6x度.∵∠OBF=∠BOD+∠ODB=140°∴6x+x=140，解得x=20∴∠AOC=∠BOD=120°.②解：如图2，连结AC，作AH⊥CD于点H.∵∠AOC=∠BOD=120°，∠AOH=60°∴OH=25，AH=253∴AC=CH2（2）解：如图3，当懒人椅完全叠合时，OE=OA=50cm.∵OB=20cm，OC=30cm，DE=BF=5cm.∴CF=OC−OB−BF=5cm.CD=OC+OE−DE=30+50−5=75cm．14．【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AE⊥MN于点E，点A到铁路MN的距离为80米，AE=80m，周围100米以内会受到噪音影响，80<100，学校会受到影响；（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB.AC。则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，AB＝100m，AE＝80mBE=ABBC=2BE=120m，火车的速度是180千米／时=50m／s，t=BC50答：学校受到影响的时间是2.4秒.15．【答案】（1）F（3，4）（2）解：当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=12AB=4，BO=43，∴（3）解：当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）解：在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF=FD2+AD2=5，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD