初二分式方程的应用专题及分式方程复习讲义教师版

#/15T同步：分式方程应用题分类讲解一、【行程中的应用性问题】【例1】 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少?分析:所行距离速度时间快车96千米x千米/小时96x慢车96千米(x-12)千米/小时96x-12一~~40等量关系：慢车用时-快车用时="(小时)60【例2】甲、乙两地相距828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h,比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度.解：设普通快车车的平均速度为％km/h,则直达快车的平均速度为1.5、km/h,依题意，得828—6x828x =1.5x，解得x=46,经检验，【例3】A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。分析:At87分析:At87所行距离速度时间

甲(87-45)千米x千米/小时87—45x乙45千米(x+4)千米/小时45x+430等量关系：甲用时间=乙用时间+60(小时)【例4】一队学生去校外参观.他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x千米/时，骑车速度为2x千米/时，依题意，得：151530 - = x60【例5】 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.解：设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：”二主—竺3xx60【例6】 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B,求甲与乙的速度之比。甲 乙分析：甲 乙等量关系：甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟yx_35 解：设OA=X,OB=Y,则甲的速度为X,乙的速度为Y,依提议得Xy60、【工程类应用性问题】【例1】 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？分析：单独做所需时间一天的工作量实际做时间工作量甲x天1X2天乙3工—X天213—X2（2+1）天等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=11 12x-+3x =1x工作总量 一天的工作量所需天数工作总量 一天的工作量所需天数X2【例2】 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：输入汉字数每分钟输入个数所需时间甲1500个x个/分1500X乙1500个3x个/分15003x等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）15001500” 二20x 3x【例3】 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。分析1：原计划情况960公顷x公顷960x实际情况960公顷(x+40)公顷960x+40等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）960960 ,—— =4xx+4分析2：工作总量所需天数一天的工作量原计划情况960公顷x天960x实际情况960公顷(x-4)天960x-4等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）9609600 二40x-4x【例4】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家2需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的3，厂家需付甲、丙两队共5500元.⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.解：⑴设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需＞天完成，丙队单独做需％天完成，依题意可得:「116（—+—）=1, ①xy<10(-+1)=1, ②yz经检验，x=10,y=15,z=30是原方程组的解.⑵设甲队做一天厂家需付〃元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付0元，根据题意，得

a=800,b=650,c=300.’6(〃+b)=8700,10(b+c)=9500,a=800,b=650,c=300.、 7由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.此工程由甲队单独完成需花钱10a=8000元；此工程由乙队单独完成需花钱15b=9750元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少.【例5】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？解：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天.设工程总量为1,甲的工作效率就是七乙的工作效率是兀依题意，得即规定日期是6天.【例6】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：2640 2M0上口r = -60x2工 ,解得x=11【例7】甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？90分析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间X小时。乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时60间是X-6小时。等量关系：甲所用时间=乙所用时间、【营销类应用性问题】【例1】某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？总价值价格数量甲2000元乙4800元混合X元解：设混合后的单价为每千克工元，则甲种原料的单价为每千克(1+3)元，混合后的总价值为(2000+4800)元，混2000+4800 2000 4800合后的重量为X 斤，甲种原料的重量为X+3，乙种原料的重量为X-1，依题意，得：2000 48002000+4800X+3+X-1=X，解得X=17,经检验，X=17是原方程的根，所以X=17.【例2】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同.其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？解：两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,mWn),依题意，得：1000m+1000??m-\-n采购员A两次购买饲料的平均单价为1000+1000 2(元/千克)，800-1-800_800 800阳+用采购员B两次购买饲料的平均单价为期0 (元/千克).m 2m2(m-ji)1而2小+脱-2伽+璋〉0.【例3】 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？30000解:设调价前每件商品的利润为x元，二月份商品单价为(x-0.4)元，二月份获得利润32000元，一月份销售量为 132000件，二月份销售量为1-0.4件，依题意得:3200030000v 二5000TOC\o"1-5"\h\zx-0.4 1四、【轮船顺逆水应用问题】【例1】轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。等量关系：顺流用时+逆流用时=5(小时)48 48 「 + =51+41-4【例2】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中速度为1千米/时，则顺水航行速度为(1+2)千米/时，逆水航行速度为(1—2)千米/时，依题意，得30 201+2=1—2,解得五、【其他应用性问题】【例1】要在15%的千克中加入多少盐才能路程速度时间1二10.盐水40使盐水顺流48千米(x+4)千米/小时481+4逆流48千米(x-4)千米/小时481一4的浓度变为20%.溶质分析：设加入盐1千克.浓度问题的基本关系是：溶液=浓度.

溶液溶质浓度加盐前4040X15%15%加盐后40+%40X15%+%20%40*15%+%20解：设应加入盐%千克，依题意，得40+%=100.解得%=25经检验，％=2货车行驶25千米与小车行驶35货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各【例2】甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器各加入等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升?30义15%18%*20解：设加入的水位x升，依题意得：30+% 20+%《分式方程》•复习专题训练一、选择题1.、一3 1,,,,方程弟=吊的解为（）A.4x=51x=—2x=—2D.无解2.1 1一x以下是方程x—1.、一3 1,,,,方程弟=吊的解为（）A.4x=51x=—2x=—2D.无解2.1 1一x以下是方程x—M=1去分母后的结果，其中正确的是（）A.2—1—x=1B.2—1+x=1C.2—1+x=2x2—1—x=2x3.已知方程x—5=3一言有增根则a的值为（）A.B.—5C.6D.44.解方程4—x22—x的结果是（A.x=—2x=2x=4D.无解5.为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A— B.x—A— B.x—520=35 C”D工=35

x+20x.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套.在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为.160, .160, 400A.x+1+20%x=18160,400—160B，-T+1+20%x=***18C项+患=18x20%xC项+患=18x20%xD.400十400—16020%x=18 - 7.（2011中考预测题）用换元法解方程x2—2x+x2—^x=8,若设x2—2x=y,则原方程化为关于y的整式方程是（）A.y2+8y—7=0y2—8y—7=0CA.y2+8y—7=0y2—8y—7=0C.y2+8y+7=0D.y2—8y+7=08.解分式方程2xm+1x+1x+1x2+x x时产生增根，则m的值是（A.—1或—2B.—1或21或21或一29.分式方程f=三的解为（）x—3x—1A.A.x=1 B.x=—1C.x=3D.x=—3mx+1.mx+1.若解分式方程『=-1时产生增根，则m的值是（）A.0B.1C.—1D.±1x—2Y.方程E=x―6的解是（）A.A.x=1 B.x=2 C.x=3D.x=4、填空题12.方程x+1x—2=0的解为12.方程x+1x—2=0的解为13.若分式1x—1与1互为相反数，则x的值是14..当x=x+3时,分式口的值等于2.1515.天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是x天，则x的值是.已知x+1=3,则代数式x2+为勺值为x x2.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行2千米所用的时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为2x+a.关于x的方程『=1的解是正数,则a的取值范围是三、解答题.解方程.2 3(1)x=x«；2 3(1)x=x«；(2)—+1工;(3)x=3x—2；(4)rx—12(3)x=3x—2；(4)rx—12x—1x, 2x+1(5)xn+1=下(6)-x—12x—2 —1=0.x21某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.⑴求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;⑶如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？22去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水.为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务，问原计划每天修水渠多少米？23.去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？附：参考答案一.选择题3 1 1…一1一.【解析】X^2=X^p3(x+1)=x+2,3x+3=x+2,2x=—1,x=—2,经检验x=-2是原方程的根.【答案】B.【解析】等号两边同乘以2x,去分母后为2—1+x=2x.【答案】C3【解析】原式去分母后得x=3(x—5)—a,把增根x=5代入得a=—5.

【答案】B4【解析】8 24【解析】=X2=1X，8=2(2+x)，8=4+2x，x=2当x=2时，4—x2=0,♦.x=2是原方程的增根，,.原方程无解.【答案】D5.【解析】由题意知小车的速度为(x+20)千米/时，根据货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，得25_35=x+20.【答案】C6.【解析】采用新技术后的工作效率为(1+20%)x,前160套所用时间为粤，后来的(400—160)套，所用时间为x400—160400—1601+20%*，可列方程为160+400—1601+20%x=18【答案】B7 -7【解析】由题意可得,y+y=8,则y2—8y+7=0.【答案】D8【解析】方程两边同乘以x(x+1)得2x2—(m+1)=(x+1)2.・•方程有增根，，x=0或一1.当x=0时，2X02—(m+1)=(0+1)2,・'.m=—2.当x=—1时，2X(—1)2—(m+1)=(—1+1)2,；.m=1,故m=1或一2.【答案】D9【解析】题方程两边同时乘以(x—3)(x—1),约去分母得x(x—1)=(x—3)(x+1),解得x=—3.经检验：x=—3是原方程的根.••分式方程的解为x=—3.【答案】D10题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根.mx+1J=—1有增根，.'x—1=0,.，.x=1,.，.mx+1=—x+1.当x=1时，解得m=—1.x—1【答案】C11.【答案】C二、填空题12【解析】3——=0,2(x—2)—(x+1)=0,解得x=5,经检验x=5是原方程的根.x+1x—2【答案】x=5

213【解析】x^+1=0,2+(x—1)=0,，x=-1,经检验x=-1是原方程的根.【答案】一1x+314【解析】口=2,x+3=2(x-1),x+3=2x—2,x=5,经检验x=5是原方程的根.【答案】515【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设120m用的天数+后来180m新工效所用的天数=30.1201 300—120 “【答案】T+1+20%x=3016【解析】由题意得x16【解析】由题意得x一2十乂一4=1，解得x=6.【答案】617【解析】x2+x2=(x+1)2-2=32—2=9—2=7.【答案】718【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时，则二2G=12，解得x=40,经检验，x=40是原x+10x—10方程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时.【答案】40千米/时19【答案】a<—1.三、解答题(共40分)… 2 320.解：(1)x=x+3,方程两边同乘以乂(乂+3),得2(x+3)=3x,整理得2x+6=3x,x=6,经检验x=6是原方程的…x—3 3(2)x-…x—3 3(2)x-2+1=2-x，方程两边同乘以(x—2),得(x—3)+(x—2)=—3,去括号，得x—3+x—2=—3,合并同类项，得2x—5=-3,2x=2,・・.x=1,经检验x=1是原方程的解，.♦•原方程的解为x=1.(3)x=3x—2，方程两边同乘以x(3x—2)得3x—2=乂2,即x2—3x+2=0,；.(x—2)(x—1)=0,；.x1=2,x2=1,经检验x1=2,x2=1都是原方程的解，.♦•原方程的解为x1=2,x2=1.(4)解法一：去分母，得(x—1)2—x(x—1)—2x2=0,化简，得2x2+x—1=0,解得x1=—1,x2=2.经检验x1=—1,x2=1是原方程的解.・♦・原方程的解为x1=—1,x2=2.x—1解法二：令q-=t,原方程可化为：t2—t—2=0,解得t1=2,t2=—1.x—1当t=2时，=2,解得x=—1,当t=—1时，x7^=—1,解得x=2.X 2经检验，x=—1,x=：是原方程的解.・,・原方程的解为X1=—1,