固体物理-期末考试

#/13、概念、简答1.晶体，非晶体，准晶体；(p1,p41,p48)答:理想晶体中原子排列十分规则,主要体现是原子排列具有周期性,或称为长程有序,而非晶体则不具有长程的周期性.,因此不具有长程序,但非晶态材料中原子的排列也不是杂乱无章的,仍保留有原子排列的短程序.准晶态:具有长程序的取向序而没有长程序的平移对称序;取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性,沿取向序对称轴的方向具有准周期性,有两个或两个以上的不可公度特征长度按着特定的序列方式排列..布拉菲格子；(p11)答:布拉菲格子是一种数学上的抽象,是点在空间中周期性的规则排列,实际晶格可以看成在空间格子的每个格点上放有一组原子，它们相对位移为r,这个空间格子表征了晶格的周期性叫布拉菲格子..原胞，晶胞；(p11)答:晶格的最小周期性单元叫原胞.晶胞:为了反映晶格的对称性,选取了较大的周期单元,我们称晶体学中选取的单元为单胞..倒格子，倒格子基矢；(p16)股据基关一,一,小.温二丈一4、；浙的矢m2K-一2. 曹 口 tl-5)Oj-L«2乂。了」.2"——X—■『•L"工/，3」称为倒格子基矢量.正如以叫为基矢可以构成布拉伐格子一样，以与.%,%为基矢也可以构成一个锢格子串倒格子每个格点.独立对称操作：m、i、1、2、3、4、6、.七个晶系、十四种布拉伐格子；(p35)答a 暮布掩伐梏* ।胸JM承府三亲।品系R—4胃一rti*夹角不悴眼m三制c79«a.心#4晶范。J/&为Xo才口..LGJ90*：格i物池斜祝心单34U工T HX.…Q1H=呻64By£*lg.我小14二用近苴僻检田交雄gIE交体心JH之.画心正业1i?Ur*u」JX七产由"奈 1"1=-£1.一岸日"="=］之O°.士也电。二三用4p ad* ■■> Trf1.^^3,/呜方品系au=百jlF-r?* I£Zvfi--：.y= p而罐四方 !休心四方Cr*-5-口*C\y.z><*山一六用附不z>iK小工*，叁三■A?士皆"正六用<7e*Cekj♦jD>.<7#r，\",i.p立方骷系。1 <3t—*-,日xct=蕊=y=90*简单也方倬心，立方面心也力1-。

.第一布里渊区:倒格子原胞答：在倒格子中取某一倒格点为原点，做所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将倒格子空间分成许多包围原点的多面体，其中与原点最近的多面体称为第一布里渊区。a=-（i+j+k的晶体为何种结构；若8.基矢为空间分成许多包围原点的多面体，其中与原点最近的多面体称为第一布里渊区。a=-（i+j+k的晶体为何种结构；若8.基矢为1又为何种结构？=aj解：计算晶体原胞体积：由原胞推断，晶体结构属体心立方结构。_a__ 3a_若a3=-(j+k)+—i则•(axa)3由原胞推断，该晶体结构仍属体心立方结构。a000a0=-aaa222a00=0a03aaaT22a3a,-厂、3a-=(j+k)+一i229.固体结合的基本形式及基本特点。（p49p55、57p67p69答：离子型结合以离子而不是以原子为结合的单位，共价结合是靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键，具有饱和性和方向性。金属性结合的基本特点是电子的共有化，在晶体内部一方面是由共有化电子形成的负电子云，另一方面是侵在这个负电子云中的带正点的各原子实。范德瓦尔斯结合往往产生于原来有稳固电子结构的原子或分子间，是一种瞬时的电偶极矩的感应作用。.是否有与库仑力无关的晶体结合类型？答：共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形成电子共享形式，通过库仑力把两个原子连接起来。离子晶体中，正负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成晶体，电偶极矩的作用力实际上就是库仑力。氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不再重合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。.为什么许多金属为密堆积结构？答：金属结合中，受到最小能量原理的约束要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低（绝对值尽可能的大原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠的越紧密，库仑能越低，因此，许多金属结构为密积结构。.引入玻恩——卡门条件的理由是什么?答：由原子运动方程可知，除原子链两端的两个原子外其他任一个原子的运动都与相邻的两个原子运动相关，原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程同其他原子不同，引入玻恩——卡门条件方便于求解运动方程。并且引入玻恩——卡门条件后，实验测得的振动谱与理论相符的事实说明玻恩——卡门边界条件是目前较好的一个边界条件。13.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，他包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学支格波。

14.布洛赫定理(p145)汨陈赫定理指出，当势场具有晶格周期性时•被动方程的解W果有如下性侦:则，+Jt.)=e—'*呻"> L(4-3)其中*为一矢量.(人3)式表胡当平移晶格矢量茂.时，,波函徽只增加了位相因子机―♦.(4N)式就是布洛制定理.松姆霜络赫定.理可以把波函数写成TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"*(r) ,，我(r〉 . (4-4)其中M门具有与晶格同样的周期性,仰1E\o"CurrentDocument"世"+&)=胆3) ,. (4-5)\o"CurrentDocument"«-4)式表达的波函数程为布珞越函敷，它是平面波与周期函数的乘积. 二.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值答:紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近，因此紧束缚模型电子能量与在孤立原子中的能量相近，孤立原子中电子能量是一个负值，所以紧束缚模型电子能量是一负值。.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？答：在低温下，本征半导体能带与绝缘体的能带结构相同。但是本征半导体禁带较窄，禁带宽度在2个电子伏特以下。由于禁带窄，本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发跃迁到禁带上面空带底部，使得满带不满，空带不空，二者都对导电有贡献。、.布洛赫函数满足V(r+R)=eikRW(冷为什么说上式中的具有波矢的意义？_答：人们总可以把布洛赫函数展成傅立叶级数V(r)=Ea(k'+G)ei(agGn)淇中k星电子的波矢。将V(r乂代入V(r+R)=eikRnV(r)得至Uh eik，R「=e域其中利用G•R=2兀mrr由上式可知，k=k'有波矢的含义n。例i面心立方晶格，晶格常数为例i面心立方晶格，晶格常数为a原胞体积为。二二第一布里渊区体积为4Q4斗CT二、证明与计算1立方格子的特征项 目简立方体心立方面心立方晶胞体积a3a3a3每个晶胞所含格点数12(即1+8X1/8)4(即8X1/8+6X1/2)原胞体积a3a3/2a3/4最近邻数6812最近邻距离a3aa2n2a22倒格子与正格子的区别与联系

f f 二'=———例2体心立方晶格，晶格常数为〃原胞体积为二第一布里渊区体积为a2Q步,例3：知某种晶体固体物理学原胞基矢为a=ai+逝ja=-ai+还i2 2 2 2 2a=ck3（1）求原胞体积。（2）求倒格子基矢（3）求第一布里渊区体积 j j例4：证明正格矢和倒格矢之间的关系式为：G•R=2a=ck3（1）求原胞体积。（2）求倒格子基矢（3）求第一布里渊区体积 j j例4：证明正格矢和倒格矢之间的关系式为：G•R=2兀m（m为整数）G=&1bl+/瓦-FP2.&.〔,弭n.均为整数）员■&二a/十4%十4里）’5也十%生十%%）又v 叫"=2a/S=｛；：；：：）,1,无匕=2疗Q"+1工％十八也）设族=4勺+乙%+4%（根为整数）.-.R'G=例5：证明：不存在5度旋转对称轴。证明： 1h■■ALJB如图所不,Axm是同一晶列上o格点的西个最近邻格点,晶任总数为“二绕过。点垂直于纸面的转轴顺时针旋转S角，则A点转到w点，若此操作为对称操作则H点处原来必有一个格点？同理，逆时针艇转OB,则W点处原来必有一个格点，距离为：X®=2a|c.os回=ma.（HT为赖彖）其中 |cos6*|=y<1于是可得：阳口吟：外甘«-1=&=卜*容&=与6号??2—2： 3=7T.日=271因为逆时针旋转I1.某占分别等于顺时针旋转三■浮飞,所以晶格对称转动所允许的独立转角为:。押，苧弓玄，统一写成亨贝以1=123,4,6由此可知，不允许有5度旋转对称轴二3.课后习题：1.1证明：原子球半径为r,晶格常数af8）f8）[3J12氏1.633c1.2、试证明六方密排密堆积结构中a证明：ABCD四原子球构成四面体结构，1.3试证明：面心立方的倒格子为体心立方。3d2 ——4 3—39'=（24证明：已知面心立方正格子基矢如K=由倒松矢公式可得:£1 ■ c=ag二x:子（t，7十2—g-7+S）二者只相差一常数公因子，因此得证口2"（区x区）2jt（rx1）2托（Jx4）一（—"力）>肩=冢，-/+*）=?（，+]-鼻）1.3试证明：体心立方的倒格子为面心立方.证明：已知体心立方正格子基矢如下:由倒格矢公式可得:瓦=达（*了）.一一一 对・五二工开s；三）二eg十书上匕-工行用L--<-w+m ）=氧;+力7包=--=（z-Fk）sJ 上 上 上1.8画出体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列休心立方品格(100)(110)(111)(111)面与(110)面交线的晶向[110]1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面交线的晶向5倒格矢G=力向+必々+/% 垂直于正格子中密勒指数为的晶面族。G=/A+内，瓦+牝证明母小:设晶面ABC是晶面族(hjh^hj)中最靠近原点的晶面,截距分别力即后=见正-/式-心瓦百晶面族LR声力C的法线方向。思路:能证明H同时垂直于U于面上4万右口简单证明如下：1.6证明衢立方的ChkJL）晶面系的面「可距证明思路:r_2kG=向西+十证明思路:r_2kG=向西+十证明：荷立方晶格正格子基矢为:FI•第二章问题：计算马德隆常数证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为a=2ln2证明方法a=X土-1 （同号为负异号为正）aj=2 j2、计算二维正方离子交替排列的平面离

I子晶体的马德隆常数a薛二设最近邻距离为一A为中心参考离子，我们选取不同的中性离子组来计算，作以比较°第一种选法选取中性离子组EFGH来计第a异号同号贡献因子i/4中性离子组^^越大所得数值越漉确。4.4、用紧束缚近似法求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相应的能带函数。最近邻 4个1次近邻 4个aJ=42d贡献因子1/2=1.2929笫二种选垠:方法选取较大的中性离子"LKLMN解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：Es(k)=8—J—£J(R)e-ik-(Rs)s0 sRs=近邻一在面心立方中，有12个最近邻，若取R=0，则这12个最近邻的坐标是：m.(1,1,0),—(1,1,0),—(1,1,0),—(1,1,0)TOC\o"1-5"\h\z乙 乙 乙 乙a(0,1,1),a(0,1,1),a①」』),a①」1)乙 乙 乙 乙a(1,0,1)a(1,0,1),a(tod,a(t,o,t)乙 乙 乙 乙由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(R)有相同的值，简S单表示为Ji=J(R)。又由于s态波函数为偶宇称，即①(-r)=3(r)1S s s・•.在近邻重叠积分-J(R)='*(己-R)[U化)-V(R)]中化)d己中，波函数的贡献

s i s si为正 一 J」・Jt>0。 一一一 一于是，把近邻格矢R代入Es(R)表达式得到：SSEs(k)=8-J-J£e-ik-RS01 sRs=近邻a a a a=8-J-Je-i2(kJk/+e-i2(kJky)+e廿k/ky)+e-i2(一k「ky)4s4 0 1a a a a—i(k+k) —i(k—k) —i(—k+k) —i(—k—k).+e2yz+e2yz+e2 yz+e2 yz+a a a a--i(k+k),〃一ia(k—k),〃一ia(—k+k),,-i(—k—k)e2xze2xze2xze2xz—J0—2J—J0—2J1a a彳cos2(—ky)+cos2(丫ky)+xycosa(k+k)+cosa(k—k)2yz 2yz+cosa(k+k)+cos(k—k)2z% z%Jcos(a+P)+cos(a—0)=2cosacosP=£=£—J—4Js0 1cos—kcos—k+cos—kcos—k+cos—kcos—k2% 2y2y2z2z2%（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：a（1,1,1）,a（1,1,1）,a（1,1,1）,a（1,1,1）乙 乙 乙 乙a——a——a——a———门,看…,…,”1,1)Es(k)=£—J—8J(cosakcosakcosak)s0 1 2% 2y2z4.7、有一二维单原子链，间距为〃，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E（k）函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级Ef及Ef处的能态密度。TOC\o"1-5"\h\z〈解〉(1),E(k)=£—J—J(eika+e-ika)=£—J—2Jcoska