空间中直线与直线之间的位置关系方法指引老师

空中线直之的置系方指（）明条线面方证明两条直线异面的方法有两种：①用定义证明时用反证法设两条直线不异面据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．②用定理证明：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件a，A，B∈aB，然后可以推导出直线与是面直线，以下我们将该结论作为例题进行论证，从而使我们在应用它时能够“理直气壮【例1】求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线．思点如图．2—，已知a∈B．求证直线AB与是异面直线若是用定义来证明直线不同在任何一个平面内们很难办到但我们可以考虑从问题的反面入手，即使用反证法证明．解假设直线AB与同一平面内，那么这个平面一定经过点和直线．∵B∈，经过点和线能有一个平α，∴直线AB与a应α内．∴A∈．这与已知相盾，∴直线AB与a是异面直线．误剖不会从问题的反面入手，导致思路受阻．评）反证法是证明两直线为异面线的常用方法是有效的方法反法的证明思路是“否定结论，找矛盾体可分解为以下三步：①假设结论不正确，即否定结论；②找矛盾假设的前提下过正确的逻辑推理到盾盾以是与已知公理、定理、定义矛盾，也可以是与已知条件矛盾，或自相矛盾等等；③否定假设，肯定要证明的结论．（2）本例的结论，可以为判定定理来判定两直线为异面直线，此命题可用数学语言描述为：若，∈，，直线AB与a是面直线．试相题1.1已a是一对异面直线，而直线、d是a都交的两直线，若在、b、c、d四直线中，无三线共点的情况．证明、异面直线．参答：用反证法1.2在方体ABCD—D中求证AC与BD异面．1lll参答：【例2如图12，已知不共面的三条直线，相于点P∈aB∈，C∈，D∈c，求证：AD是面直线．

思点此题我们既可以用反证法证明以例的结论作为判定定理来证．证一反证法设和BC面，所确定的平面为α，那么点、、、D都平α内，∴直线a、、都平面α内，与已知条件、b、c不面相矛盾．∴是面直线．证二直接用判定定理aP，∴a和c确一个平面，β，知面，B∈平面β，面β，BAD∴是面直线．误剖在证法二中若少耐心不待满足定理的条件就得到结论成明过程的不完整和缺乏严密性因此我们在用判定定理证明两直线为异面直线时定注意判定定理的四个条件必须交待完整，缺一不可．评：题充分体现了证明异面直线的两种方法：①反证法；②用12的定定理直接证明．试相题.l如2．．2—，a，b是面直线A、∈，、∈b，E、分别为线段和BD的点，判断直线和位置关系，并证明你的结论．参答：EF和a是面线，可用反证法证明．（）异直所角求求两条异面直线所成角的关键是作出异面直线所成的角异面直线所成角的方法是中条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交值得注意的是平后相交所得的角必须容易算出因此平移时要求选择恰当位置．【例3】是边长为a正三角形所在平面外一点SA＝SB＝SCaE、分是SCAB中点）异面直SA与成的角）异面直线和SF所成角的余弦值．思点（1如图．．—20∵是SC的点，要平移使与EF相交，只需取中，，则EM为的位线，∴EMSA∴与EF所的角即为所求（2）如图21．2—20在SCF中只要把平移到E点可以了∵为中点，∴仍考虑用三角形中位线来实现平移，取CF的点，连接GE∴（或其补角）即为所的．

AE＋－22＝＝＝a24AE＋－22＝＝＝a24解）取的点，连接FM，则由三角形中位线定理知∥SAEM＝

，MF∥BC且＝2BCa1∴∠MEF或其补角是与成的角在△EM2＝2FM2a＝连接，由题设条件易知：FCE为直角三角形，∴EF

2－CE

3a2(a)2－()2＝222∴△为腰直角三角形，∴∠MEF＝45，∴异直线SA与EF所的角为45．1（2）连接CF并其中点G，连接EG、AG则∥SFEGSF，∴（或其补角）是异面直线SF所的31a在△AGE中，AE＝，＝4，在Rt△中，2＋AF＝(∴由余弦定理得：

3aa)2＋()＝a4∠AEG＝

33a2a2＋－24162232a2

23

，2∴异面直线和SF所成的角的余弦值为3．误剖①这里的计算量较大，易造成运算错误；②当平移两条异面直线中的一条后获得的角是钝角能将这个角作为异面直线所成的角而将它补角作为异面直所成的角关于这一点，极易在具体问题中出错，需引起注意．评：求异面直线所成的角时，可以平移两条异面直线中一条可以平移两条，原则是易于作图，且平移各线段的长度易于计算，如：本例中2）也可以平移两条直线，依据仍然是三角形的中位线，如图．．2—，取SA的中点K把、SF均移到K点

交，为此可取SE和的点GH，接HK即可，在GHK中＝＝4，但GH的解却很麻烦，∴这种平移就不如本例中给出的方法好．试相题3.1如．1．—，是△所平面外一点＝SB，且∠ASB＝∠＝∠CSA＝90M、分是AB和的点，求异面直线与BN所角．参答：arccos

105【例4已知空间四边形ABCD中AB＝，E、分是BCAD上点并且∶＝AF∶FD12＝（图．．2—AB和所角的大小．思点由于受本题图形的局限所在选择适当的点平移异面直线时点不宜选在ABCD上，从题设条件看，应将它选在对角线D的近B点三等分点G处再将与EF相连，还要连，是异面直线与CD所成的角就是（或的补角∠的小可以eq\o\ac(△,在)中过计算求得．解如图—，结BD，在取点，∶＝∶2，连结FG、．中，BG＝∵GD，∴EG∥CD；同理FGAB，∴FG所的锐角（或直角）就是异面直线AB和成的角．△BCD中∥CD，＝，EG∶＝∶，EG＝1△中，FGABAB＝3，FG＝∶，∴＝在EFG中EG＝1，＝2＝，由余弦定理，得：cosEGF＝

EG2＋FG2－＝－EGFG

．∴∠EGF120°，由于异面线和CD所的角是锐角或直角，

∴与CD所的角为60．误剖误将作所求AB与角．评：异面直线所成角的一般步骤是：①选择适当的点移面直线的一条或两条成为相交直线里点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点．②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算．③因为异面直线所成的角θ的取值范围是°θ≤°以当在三角形中求的交角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．试相题.l如图2．2—23在空间四边形中AB＝CD＝8，、N别是BD的中点，若异面直线与CD成角为°，求的．参答：或4（3）异面直线间距离的求法如何求异面直线间的距离简地说，运用“定义法即法作出异面直线的公垂线段再法求出它的长又由于面直线的距离具“在性“小性公垂线段是分别在两异面直线上任意两点间的连线中长度最短的一条线段小”就能产生“最小值法设建立起两端点分别在两异面直线上的线段长的函数，然后求函数的最小值．【例5如图2—16长方体ABCD—CD中＝2AD＝．求异面直线11l1AA与BD间距离1思点先作出公垂线段后，再计算公垂线段的长即得所求．解过点作垂直BD为足．由于A⊥AEl∴是面直线AA与BD的垂段1在Req\o\ac(△,t)BAD中两直角边的长分别为AB＝2，AD＝∴AE＝

ABAD2BD555∴异面直线与BD间距离为51误剖误点有两个一是作不出异面直线的公垂线迷失计算方向一个是作出异面直线公垂线，但不给予论证，导致证明缺乏严密性．评：两异面直线间的距离，我们常常采作证、算个步骤这里所“作”即作出公垂线即明作出的公垂线与两异面直线都垂直且都相交即算公垂

线段的长．【例】在空间四边形中＝＝CD＝DA＝＝＝，E、分是AB的中点．（1）求证是AB和CD的公垂线段（2）求AB和的离．思点利用等腰三角形底边上的中线即是高的性质，从而易证就是异面直线AB和CD的垂线段，只须解eq\o\ac(△,Rt)可（如图．1—24示解1如图．1．2所示．连AFBF∵与为长为正三角形F为CD的点．3∴AF＝a又为AB中点，∴EF与垂相交，同理⊥CD．∴EF为AB、CD的公垂线段（2）由（）知，和CD的离，在eq\o\ac(△,Rt)FEB中∵

BF

32

a

，BE

∴EF

BF－BE

3a2－2＝a4即和CD间的距离为

误剖不利用等腰三角形的性质；计算EF长时不能构造eq\o\ac(△,Rt)．试相题6.1如2．1．—，在长方体ABCD—ABCD中，若AA＝ABn，＝，11ll1则异面直线与间距离；面直线ABBC间的距离为________．11ml参答））

m

＋l评：本例考查我们对两条异面直线间距离概念的理解、以及证与计算能力．②用“定义法”求异面直线间的距离的步骤可简单地归纳为：一作，二证，三计算．试相题6.2在所