射影面积法求二面角

仅供个人参考射面法

cos=

射影原

）凡面的形含可原形积该形另个平上的影形积的可用影积式cos

SS

射斜

）出面的小例1、如图在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD，∥BC,∠ABC=90°，⊥平面ABC，SA=AB=BC=112

.面SCD与面SAB所成的角的大小。解法：可用射影面积求，B这里只要求出S

△

SCD

与

△

SAB

即可，故所求的二面角θ应满cosAD图

6。3例22008北理如图，在三棱锥中，，ACB90

，

，

AC

．（Ⅰ）求证：

AB

；（Ⅱ）求二面角

BAP

的大小；P

解）略（Ⅱ）

，

，eq\o\ac(△,)≌△

．又

AC

，

．AB

又

ACB

，即

A

B

，且

EACC

BC平面．取中点E．连结BE，，BE．

．

A

是

在平面

PAC

内的射影，CEAP

．∴△是△在面内射影，于是可求得：

BPAP2

，

AE26

，不得用于商业用途

仅供个人参考AE

2则S

射

ACE

1222

，设二角

BAP的大为，则

SS

射原

13

33∴二面角

BAP

的大小为

33练1如图，为正体ABCDAD的11棱CC的中点求面E和面CD所成1111锐的弦（答案：所求二面角的余弦值为cos=

23

）D

C

如一，在四棱锥

P

中，底AB

面

ABCD

是矩形，

平面

ABC，E

AB2,2，F

分D

1

C

1

别是AD，PC的点证明：平面BEF）求平面与面BAP角的大小A

1

B

1

（1解略（2中面与平面夹即为平面BEF

与平图

面

所成的锐二面角.方一垂法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面如图一：PA平面，平面PABC

又

ABPA面BAP又

平面

PBC

,

平面

PBC

平面

由题（1PC平，PC平BEF，平面面BEF.所以PBF是所求二面角的平面22,

11PCBCPA222

即平面

与平面

夹角为

4

方二平平法如果两平行平面同时与第三个平面相交这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互利用此结论可以平移某一面到合适的位置以便作出二面角的平面.如图二：取

BC

的中点

，连接

FG,

不得用于商业用途

E仅供个人参考EF

分别是

,

的中点EG

,FG

又

,ABB

平面

平面BAP.二面角BEF

的大小就是平面与平面BAP夹的大小.可以证明

BFG

为二面角

BEF

的平面角，并求出其大小为

4

方三射法利用公式

'

，其中

S

表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，

'

表示此多边形在另一个半平面射影的面积表原形与射影图所成的二面.如图三：取

的中点

H

，连接

FH

F为PC中,FHBC

由解法一知，

平面

FH

平面

，

平面

点F、E平面BAP的射影分别为H、A在平面BAP上射影为BAH可以证明BEF和均直角三角HFHF

12

BC

四边形

HFEA

为平行四边形，EF

记平面BEF与平面BAP夹为，

cos

S2S2BEF

所以

4

，即平面

与平面

夹角为

4

ABC正角，面且PA=AB=a,求面A-PC-B大。[维]二角大是二角平角来量，题利三线理逆来F平，还可以用影积式或面线两间离式二角平角不得用于商业用途

B

,EF=,AF=仅供个人参考,EF=,AF=解1三线理）PA取AC的中点，接，E做平PA面

连平面平面ABC,平PAC平面ABC=AC平PAC由垂定知BF

PC

图1

为面A-PC-B平角设PA=1,E中，BE=

4

BEEF

=argtan

解2三线理）取的点，接AEPE做

PE,FM

接FM

AB=AC,PB=PC

F

BC,PE

BC

A

M

CBC面面PBC平面PBC,平PAE面PBC=PE由垂定知AMPC为面A-PC-B平角FMA21设PA=1，AM=PE

图2

B

sin

=

AF42AM不得用于商业用途

,4仅供个人参考,4FMA

解3投法过B作BEACE,连PE平PA平PACPA平PAC平ABC,平PAC

平ABC=AC

A

B

C平PACPECPBC在平PAC上的影

图3设则PB=PC=

S

1

由影积式，

COS

SS

4.单位方体

111

中，求二面角

1

的度数。一、三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一作

AO,取AB的点1

M

,连结

OMAM

.由三垂线逆定理知

ACAOM

为所求二面角

AC1

的平面角在

A1

中

AO

AC1AC31二．射影法利用斜面面积和射影面积的关系：S

（为面与射影所成二面角的不得用于商业用途

仅供个人参考平面角）直接求解。解法二、取的中点，结

BC1

在平面

1

上的射影为

AGC1由

AGC

ABC

cos

12从而二面角

AC的大小为1不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasà