数列求和的方法

11010101010f1010101010101010101010101011010101010f10101010101010101010101010数列求的法1、式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求①等差数列求和公式：n

n1nd2②等比数列求和公式Sq1q常见的数列的前n项和：

1…+n=

(n

，1+3+5+„„+(2n-1)=

2

+n

2

=

nn6

，

3

…3

n2

等.2、序相加：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法如果一个数

两项等距的两项之和等于首末两项之和采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法例1、知函数

222（1）证明：（2）求

f

f

的值.解1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，f

f

2

f

f

5

f

5

令Sf则Sf

ff

2

ff

两式相加得：S

f

f

所S

92

.1

nnnn小结解题时认真分析对某些前后具有对称性的数列可以运用倒序相加法求和.针对训练3求值S

12212223

101023、位相减：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.，其列等比数列，令nnnbn2

1

n

nqS

b122n

n两式相减并整理即得例2全国Ⅰ第19题第（）小题，满分6分）已知a，数列｛a｝的前n项和Sn解：

S

n

202

n

①21n

2

2

n

n

②②—①得Sn

2

小结错位相减法的求解步骤①在等式两边同时乘以等比数；②将两个等式相减；③利用等比数列的前项和的公式求和针对训练4求和：

n

x2x3nx4、项相消：把数列的通项拆成两项之差即数列的每一项都可按此法拆成两项之差在求和时一些正负项相互抵消于是前项的和变成首尾若干少数项之和这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

an

（其为零的等差数列为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）

1，特别地当时，knnnn2

5151（2）

1

，特别地k时

n

n例3、数公式n解：n12nn

(n

，求它的前n项

11124

1

1n

小结裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差且这两项是同一数列的相邻两项即这两项的结构应一致并且消项时前后所剩的项数相同.11针对训练5求数列,,3

,

n

,

的前n5、组求和：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和n

解：Sn

15

31455小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.针对训练6求和Sn

2

3

n

3

ｎ**2n-122222ｎ**2n-122222基本练习1.等数{}的前项＝ｎ

－，

a2123n

＝2.设n

，则＝_______________________.

4

(3n

114(3)

数列2),(1

2

),

2

n

),

的项式a

，n项和S

135,,,,2222

,

的n项为提高练习．数列{}足＝，且对任意的m∈Nn

都有：a＝a＋＋mn则mnn

()A

40162009

B

20082009

C．

20071004

D．

20072008．数列{}{}是差为的差数列，若其首项满足＋＝，＞b，，bnn1111∈，则数列{a}10项和等于

()AB．85．70D55．设m=1×2+2×ׄn·n则m等

()

nn3

1n(nC.nn(2．若=1-2+3-4+„n

·n则+＋Ｓ等173350

()A.1B.-1C.0D.2设{}等数列{}等差数列bc=+b若数列{c}„{c}前10nnnn项和为B.557C.467D.979．100„的是B.5050C.10100

()()．一个有项各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.．若1+2+„n=+bn+cn则=,c．已知等差数列{}首项＝，差＞，且其第二项、第五项、第十四项分别是等n比数列{}第、三、项．n(1)求数列{}{}通公式；n4

nnnn(2)设数列{}任意自然数n均n

cc12bb123n

n

成立．求＋＋＋„的．10已知数{}前项S满足:annnn(1)求证数列{a+n

23

(-1)}等比数列;(2)求数列{}通公式；n(3)证明：对任意的整数m有

11a8455

22n-1n-122n-1n-1基练答n、2、

(

、4、3

111123nn

、

2

S

22n

。提练答．解：∵＝＋＋，∴＝a＋a＋n＝＋＋nmnm11∴利用叠加法得到：

a

n(12，∴)2n(nnn

，∴

111112(1))aa232008200920091232008

．答案：．解：∵＝＋－1，＝＋nnn1∴a＝＋－＝＋＋―1)―111＝a＋b＋n－25＋n＝n＋311则数列{a}是等差数列，并且前项等：答案：．解：因为=n-n，则依据分组集合即n答案

．解：对前项和要分奇偶分别解决，即：=n答案：A

(n为)n(偶)2．解由题意可得设比为公差为d则1

qqd∴qq=0,∵q≠∴=2,a=2=(-1)(-1)=1-n,∴=978.nnn答案：A．解：并项求和，每两项合并，原„答案：．解设数列{},其中间项为,n10016

22nn1n2nn-1n-1nnn-11nnnnn-1nn-2n-2n333())22nn1n2nn-1n-1nnn-11nnnnn-1nn-2n-2n333())则=+a+„·aSa„=10003520011001620001001答案1000．解：原式=

(n2nn6

11答案：326．解：(1)题意得＋)(a＋d＝＋d)＞1解得＝2，∴＝－1可得b＝3nn(2)当＝1时，c＝31当≥2时由

nbn

，得c＝2·3，n故

nc2故c＋＋＋„＝3＋2＋×312

＋„×

2002

＝3

2003

．10(1)证明由知得=S=2a-2-(-1)(n2),nnnnn-1化简得a=2+2(-1)(n≥nn上式可化为+n

2(-1)a+(-1)］(≥∵=1,32故数列{}以为首项，公比为的比数33(2)解由1）可知a=.3∴a=n

12×2-(-1)=［-(-1)］故列{a}通项公式为a［-(-