数学中的抽屉原理

数中屉理先看简单的事实：把3书放到两个抽屉里，只有两种情况：一个一本一个本，或一个三本一个没有。无论哪种情况，都至少有一个屉里有两本或两本以上的书。更一般地说，只要被放置的数比抽屉数目大，就一定会有两本或两本以上的书放进同抽屉。（一）抽屉原理的常式【原理一果把个东西放进（mn只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两或两个以上的东西。【例1】求证：在任选取的n+1个整数中，至少存在两个整数，它们的差能被n整除。证明：对于个整，被除所得的余数为01，…n－1共n，按余数的不分成的n中，至少有两个在同一类里，即这两个数被n除所得的余数相同，那么它们的差就一定能被n除。【例2】幼儿园有三塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各若干个，每个小朋友意选择两件。证明：不管怎样挑选，在七个小朋友中总有个人选的玩具相同。证明三种玩具中选两件配方式共有下列六种兔猫颈鹿、熊猫长颈鹿、颈鹿一种可以看作一个抽屉，七人的7种选法中，有6种不同的搭配，由抽屉原理，七1页人中至少有两人挑选具时搭配方式相同。【原理二果把于东西，任意放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉有不少于m+1东西。【例3】在口袋里有色、蓝色和黄色的小球若干个，21个人轮流从袋中取球，人每次取3球。求证：这21个人中至少有3人取出颜色相同。证明取出的三个球色是同一色即全红全蓝或全黄）有三种不同的情况是色（如两红一蓝等有6种情况，是三色的（即红、蓝黄三色小球各一个）只有一种情况，故共可分成类。抽屉原理二知道，把21个人所取出的球按颜色可归为这10类中则必有一类至少有（个所以，个人中至少人取的球的颜色相同。运用抽屉原理只是肯了“存在”总有”至少有”，却不能确切地指出哪抽屉里存在多少。（二）怎样应用抽屉理应用抽屉原理解题，般有三个步骤：列出分类对象；找出分类规则（即构抽屉）并证明每一类中的东西符合题意；根据题意应用抽屉原证明结论成立。【例4】给定997个数1，3，，…，1993，求证：从中任取个不同的数其中必有两个整数的和为19942页证明：把这997个整中两数相加和为1994的每两个数分为一组，剩余的数为组，可分为499，为：｛，，999｝根据原理一，从这499组中任取数，必有两个数取自同一组中，那么这两数之和为问题得证。【例5】有个自然，且，求证：所有的差数中至少有四个相等。证明所有可能的1作为抽屉扣住“差”，构成下列差数作为分对象。对于可作出个差（即于可作出19个差（即…直至可作出一个差数共有1+2+3+…+19+20=210个差数。根据原理二由]+1=4，即至少有4个差相等，于是命题得证。【例6】求证：从任个自数中可以找到若干个数，使它们的和是的倍数证明：以自然数被n除得的余数1，2，…，n－分类制造抽屉，扣住“和构造下列和数：若中有一个是n倍，问题得证）可以看到，如直接给了分类对象，只要恰当制造抽屉就可以了；如果没有直接出分类对象，就要根据题意先构造出分类对象。有些问题要多次应用屉原理才能解决。3页【例7对任意给的84个互异的正整数试证其中一定存在四个正整数，仅用减、乘号和括号将它们适当综合为一个算式，其结果为的倍数提示：1992=83×24证明：由例可知，这84个互异正整数中，至少有两个数被83除的余数同，不妨设，则：83|（）在这82个互异的正数中有两数被24的余数相同，不妨设则24|（）因为（，）=1所以，83×24|（即：1992|（则即为所求证存的四个互异的正整数。【例8从前个自数中最少不看这些数而以任意方式）取出几个数，才保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的数？分析与解答：设想有30张分别写1、2、3、…、的片，背面向上放在桌子上，从中任意取，如果抽取两张，譬如说可能抽到35，它们之间没有数关系，但也也许抽到24，它们之间就有倍数关系了。来只抽两张，不能保证出现题设的结4页果。抽3呢？如果抽出4、、，那遗憾。抽4呢？如果抽出163711也成这样想下去，不容易找出题目所说“至少取几个数”中的最小数，看来要想个好办法。把前30个自然数分下列15组：｛，，4，8，｝｛，，，24｝｛，，｝｛，，｝｛，｝｛，22｝｛，26｝｛，30｝｛根据抽屉原则知：任取出个，至少有两个取出的数落入同一个组内，当是落入前面8组的某组，这两个数就有倍数关系。这说任意取出16个数后可以满足题目的要求，所以，从前30个然数中至少取16个数，就可保证取出的数中有两个数它们之间有倍数关系。【例9】能否在行列的格表（如图）的每一个空格中分别填上1，，这个数中的任意一个，使得每行、每5页列及对角线、BD上的各个数字的和互不相等？并对你的结论加以说明。分析与解答：这个问题初看起来似与抽屉原则关系不密切，下面我们先看图：图中行8列两条对角线共18“线”，每条线上都填有8数字，使各条线上的数字和都不相同，那么每条线上数字和取不值的可能性必须超过18种。下面我们来看各条线上取不值的可能情况有多少种。如果一条线上的个数字都填3，那么数字和最大值24，由于数字和都是整数，以从到24共有17不同的值。我们把数字和的17种同的值当作抽屉，而把18条线分到17个抽屉里，定有一个抽屉里有两条和两条以上的线，即18条线上的字和至少有两个是相同的。因此，不可能使线上数字和互不相同。【例10】从前个然数中任意取出个数，证明：取出的数中一定有两个数个数中大数不超过小数的1.5。证明：把前个自数从1始，连续的几个数为一组，其中最大的数小于最的数的1.5倍最少可以分成下面组：；，；4，5，；6页7，8，，；11，12，13，14，15，1617，18，19，20，21，2223，24，25．因为从前25个自然中任意取出个数所以至少有两个数取自上面第2到6组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的。说明：把前个自数分成的组以看成6个抽屉，所任意取的7数看成7个苹果，那么至少有两个苹果要取自同一个抽屉。注意到一组数中任何两个数的比值都不超过1.5，所以当判定一有两个数取自同一组时，这两个数就符合题目要求。上面证明中，分组方是关键，分组的目的就是为使用抽屉原则，分组是在构造屉。【例11】人考，总分为（百分制明至少有11人同分。证明：考试的得分可为0，，2…，99，100，每一得分可以