无穷级数知识点

p无穷级数1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即存在，称级数收敛。k2.若任意项级数

收敛，发散则条件收敛u收敛则称级n

nn绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.2.任何级数收敛的必要条件nn3.若有两个级nnnn则①)，vn收敛发散，)发散。nnnn

。③若二者都发散，u)不确定，nk4．三个必记住的常用于比较判敛的参考级数：a)等比级数：ar

a

,收b)P级数：

n

1n

，，对数级数：

n

1，pn，p5.三个重要结论①a)收敛lim存在②正项（不变号）级数a收，nnnn反之不成立，③2都收收，nn

n

或

n

收6．常用收敛快慢n111n3nnn111n3nn正整数

an(a!n由慢到快连续型

(0)

x

x

x

由慢到快1.达朗贝尔比值法lim

llimn当连收2.柯西根值法limn

n

un

发（当为某次方时）l单独讨论3.比阶法①代数式

收敛收敛发散发散nnnnn②极限式

lim，其中：v

n

v都是正项级数。•u是的高无穷u收敛收敛发发散nnnnnnnnnn•u是的同无穷ukv敛散相同nnnnn•是的高无穷收敛收敛发散发散。nnn

111lnlnln1~nnn

2~，nn0n

2110ndxn，也可选用基准级数就可知原级20132n8、任意项●布尼茨判交级数任意项级数的特例）limu收敛。nnn这是一个必要条件，如果①不满足，则(必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还n是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。●任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。●

任意项级数判敛的两个重要技巧：如果级数a当xx0,因为x=0a点收敛，则级数在圆如果级数a当xx0,因为x=0a点收敛，则级数在圆n000分换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。穷小试法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，

ax)0

1．贝尔（Abel）理20nn域xx内绝对收敛；如果级数x当x点发散，则级数在圆域xx外发散。由阿01贝（Abel定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x0

x理并没0有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如推论：如果

不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：当与称R为ax10幂级数敛半径、收区间和敛区域

n的已(0

，若n

an或na；则根据比值判敛法有：anna1alimxlimnann+1

收敛。a,a●收敛半径RR平面收,

。

R有一个收敛点0,

●收敛区,x幂级数的收敛区000间是非空点集()n至少x处收敛0n

至少在处收敛由阿贝尔00定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R上）收敛性待定，故收敛域是

xx之一。0003．收敛区内的性质(1)

a

的和函数f阶导数；(2)可逐项微分

f'())nn

(3)

可逐项积分

0

f(xdxxdx)nn

n

nx

n(4)

绝对收敛。．利用泰勒公式可常用初等函展开成级数－泰勒数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。①

1un1②

1n1

u

(1,1)

n!

u(sinun

un(2

un

un(2)!

u(ln(1)n

un

ln

(nnn

u1,1])

un!

u

lla1fx)aaf(xlla1fx)aaf(x)cos0nn0nn⑧u

n

2n

3

arctanu

n

(u2n12

3

⑩

n

n

xn

)

，

n

!

n

!n

5.幂级数求方法●函数项级数求和方法一般先求收敛域然后逐次积分或微分用上述各泰勒级数结论进行零部件组装●

数项级数求和方法构造辅助幂级数法。1．期函数开成付里叶数•f(x)

为2l周期函数，则anf(x(acosxsinx),2ll

1al1bl

f(xxdxlf(x)sinl•特别地，l

时af(x(cosnx)2•当f(x)偶函数

fxnxdx1bf)sin1n2ln2ll0ln1lf(x)anx2n

2

0

fx•当f(x)奇函数f()sinnnnf()sinnnnf()nn

lnllllf(x)sinnxbnn

0

fnxdx2．周期函展开成付里级数方如果非周期函数fl

可以t

l

x相互转换，为了利用付里叶级数展，必须将有两种，即：（1偶拓展令(x)

f(x)0f()

使F(偶函数，展开后取0上的函数值即为f。（2）奇拓展令()

fx