第三章微分中值定理与导数应用

y第三章微分中值定理与导数应用y一、罗尔定理罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平fx存在一点C，使得其切线平行于x轴。yy=f(x)2oax例1验证罗尔定理对f(x)x22x3在区间[1,3]上的正确性解显然f(x)x22x3(x3)(x1)在[1,3]上连续，在(1,3)上可导，且说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;立的可能多于一个，也可能只有一个.例如yx,x[2,2]在[2,2]上除f(0)不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间[2,2]内找不到一点能使f(x)0.例如y1x,x(0,1]除了x0点不连续外，在[0,1]上满足罗尔定理的一切条,x0f0的点f又例如ycosx,x[,3]满足定理的一切条件，而0,2罗尔定理1)可用于讨论方程只有一个根；2)可用于证明等式.方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根.由介值定理存在x(0,1)使f(x)0,即x为方程的小于1的正实根.000设另有x(0,1),xx,使f(x)0.因为f(x)在x,x之间满足罗尔定理110101的条件,所以至少存在一个(在x,x之间)使得f()0.拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子(见后面).二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件(3)有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件(3)去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)abab得等式ba成立.不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB.当f(a)=f(b)时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格分析与证明：弦AB的方程为y=f(a)+f(b)f(a)(xa).曲线f(x)减去弦于是F(x)满足罗尔定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点，使得Fp()=0.2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导时,若000000日中值公式又称为有限增量公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.推论若函数f(x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数.2.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1)可用于证明等式；2)可用于证明不等式.2222又f(0)=0,f,(x)=1,于是ln(1+x)=xyy(X=F(x)柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=飞,的斜率为=,弦AB的斜的斜率为=,弦AB的斜率为.于是aAB.CMBlY=f(xMBAN1证明:作辅助函数第二节洛必达法则f,()f(b)f(a)baF,()=0,所以f(b)f(a)由f(b)f(a)=f,()有f(b)f(a)=f,()F(b)F(a)F,()baa柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.f(1)f(0)f,()f,(x)设g(x)=x2，则f(x),g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.注意中值定理成立的条件.、作业0w一．0型和w型未定式的解：法洛必达法则0w定义：若当x)a(或x)w)时，函数f(x)和F(x)都趋于零(或无穷大)，则极限limf(x)x)aF(x)(x)w)可能存在、也可能不存在，通常称为0型和w型未定式.0w例如limtanx,(0型);limlnsinax,(w型).x)0x0x)0lnsinbxw定理：设当x)0时,函数f(x)和F(x)都趋于零;(2)在a点的某去心邻域内,f,(x)和F,(x)都存在且F,(x)士0;(3)limf(x)存在(或无穷大),x)aF(x)(x)w)则limf(x)=limf,(x)x)aF(x)x)aF,(x)定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则证明定义辅助函数在U。(a,6)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数f(x)和F(x)满足柯西11有x)aF,(x)当x)0时,有飞)a,所以当limf,(x)=A,有limf,x)aF,(x)故limf(x)=故limf(x)=limx)aF(x)飞)a说明:1.如果limf(x)仍属于0型,且f(x)和F(x)满足洛必达法则的条件可继续使用洛xaF(x)0imf(ximxaF(x)xaF(x)xaF(x)当x时,该法则仍然成立,有limf(x)=limf(x);xF(x)xF(x)3.对xa(或x)时的未定式，也有相应的洛必达法则洛必达法则是充分条件如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限lim,(0型)x0x0解原式x0(x)x01x1x3x2x+10解原式=lim3x23=lim6x=3x13x22x1x16x22例3求lim2,(0型)10x+xx2x例5求limtanx,(型)几tan3xx2解原式=limsec2x=几3sec23xx2=limsin6x=几sin2xx21limcos23x=1lim6cos3xsin3x3x几cos2x3x几2cosxsinx2x2limlimxlimlimx注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好x)0x2tanxx)0x3x)03x23x)0x23关键将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型0型和w型0wx)+wwx)0sinxx例9求limxx.(00)型x)0+x)0+1x)1111.xxx (洛必达法条件不满足的情况)xxlimtann+)]4x4n=exp[limx]=exp[lim14x几2]=e4x+x+tan(+)xx24x从而原式=limf(n)=limf(x)=e40用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。．将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。．洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不此未定式的极限不存在。达法则，从而求出数列极限第三节泰勒公式一、泰勒(Taylor)中值定理的引入对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道,当x很小时,有如下的近似等式:这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之x处:首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小;其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须x用x高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.0设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n+1阶导数,现在我们希望做的是:找出一关于xx的n次多项式0n01020n0来近似表达f(x)要求p(x)与f(x)之差是比(xx)n高阶的无穷小并给出误差n0R(x)=f(x)P(x)的具体表达式.nn我们自然希我们自然希望p(x)与f(x)在x的各阶导数(直到n+1阶导数)相等这样就有nP(x)=a+a(xx)+a(xx)2+…+a(xx)nn01020n0n120n0n230n0pnxnan0ppxap(n)(x)n!0a.0n01n02n03n0n0n000n010n020n03f(n)(x)=p(n)(x)=n!a0n0n00100010于是就有n0002!00n!00n0002!00n!00二、泰勒中值定理泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导0数则当x在(a,b)内时f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项R(x)之0n和，即0002!00n!00n0002!00n!00nnn0n0n0n0两函数R(x)及(x一x)n+1在以x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件得n00 0n0011010 20所以R(n+1)(x)=f(n+1)(x)nnn0002!0n!0n0002!0n!000002!00n!00n0002!00n!00n000中值公式,因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.5．如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,f(n+1)(x)总不超过一个常数M,Rxxnx)a可见,当时,