信号及其描述修改

中北大学机电工程学院2008年3月

机械工程测试技术基础熊诗波、黄长艺主编当前1页，总共92页。1第1章信号及其描述1.1信号的分类与描述1.2周期信号与离散频谱1.3瞬变非周期信号与连续频谱1.4随机信号机械工程测试技术基础当前2页，总共92页。2

1.0概述在生产实践和科学试验中，需要观察大量的现象及其参量的变化。这些变化量可以通过测量装置变成容易测量、记录和分析的电信号。一个信号中包含着被测系统的某些有用信息，这些信息反映被测系统的状态或特性，它是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展趋势的依据。第1章信号及其描述当前3页，总共92页。31.1信号的分类与描述

为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可以将其分为：1按信号随时间的变化特征分类--确定性信号与随机信号；3按信号的能量特征分类--能量信号与功率信号；2按信号幅值随时间变化的连续性分类--连续信号与离散信号当前4页，总共92页。41确定性信号与随机信号确定性信号：可用明确数学关系式描述的信号。随机信号：不能用数学关系式描述的信号。信号确定性信号随机信号周期信号非周期信号简单周期信号复杂周期信号准周期信号瞬态信号平稳随机信号非平稳随机信号当前5页，总共92页。5周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号

x(t)=x(t+nT)简单周期信号mkAx(t)复杂周期信号当前6页，总共92页。6b)非周期信号：再不会重复出现的信号。准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率比不是有理数。当前7页，总共92页。7瞬态信号:在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。0当前8页，总共92页。8c)随机信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。平稳与非平稳当前9页，总共92页。92连续信号与离散信号a)连续时间信号b)离散时间信号当前10页，总共92页。103能量信号与功率信号

a)能量信号在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：

一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。瞬态信号当前11页，总共92页。11在测量中，常把被测信号转换为电压或电流信号来处理。当电压信号x(t)加到R=1的电阻上，其瞬时功率对时间积分就是信号在该积分时间内的能量（p19）。注意：信号的功率和能量未必具有真实的量纲。当前12页，总共92页。12b)功率信号当信号x(t)在所分析的区间（-∞，∞），能量。此时，在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。噪声信号一般周期信号当前13页，总共92页。13

1.1.2信号的时域描述和频域描述图1-4.信号的时域描述和信号的频域描述当前14页，总共92页。14当前15页，总共92页。15信号的频谱：将组成信号的各频率成分按序排列，以频率为横坐标，分别以幅值和相位为纵坐标，便分别得到信号的幅频谱和相频谱。信号时域描述直观地反映信号瞬时值随时间变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。它们是从两个侧面，观察事物本质特征的两种不同方法，两种描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量。当前16页，总共92页。16例如：表1-1为两个周期方波的二维频谱图，注意：幅频相同，但相频不同。当前17页，总共92页。17

1.2周期信号和离散频谱狄里赫利条件：1.函数在一周期内极大值与极小值为有限个2.函数在一周期内间断点为有限个3.函数在一周期内函数绝对值积分为有限值即

当前18页，总共92页。181.2.1傅里叶级数的三角函数展开式

（1-7，8，9）当前19页，总共92页。19当前20页，总共92页。20

周期信号是由一个或几个、甚至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的，以频率为横坐标，以幅值和相角为纵坐标作图，则分别得到幅频谱图和相频谱图，由于n是整数序列，各频率成分都是w0的整倍数，相邻频率的间△w=w0=2π/T0，因而谱线是离散的。通常，把w0成为基频，并把成分称为n次谐波。当前21页，总共92页。21例1-1P9求图1-6中周期性三角波的傅里叶级数当前22页，总共92页。221.2.2傅里叶级数的复指数函数形式根据欧拉公式有：

（1-10，11，12）当前23页，总共92页。231.2.2傅里叶级数的复指数函数形式因此式（1-7）可改写为：

令则（1-13，14，15）当前24页，总共92页。241.2.2傅里叶级数的复指数函数形式将式（1-8）带入式（1-14），并令即得：（1-16）一般情况下，是复数，可以写成（1-17）式中（1-18，19）当前25页，总共92页。25当前26页，总共92页。26当前27页，总共92页。27例1-2画出余弦、正弦函数的实、虚频谱图。解：根据欧拉公式（1-11，12），余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。一般周期函数按傅里叶级数的复指数函数形式展开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇对称的。当前28页，总共92页。28第1章信号及其描述当前29页，总共92页。29说明：周期信号的频谱具有如下三个特点：①周期信号的频谱是离散的。②每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是各分量频率的公约数。③各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析中没必要取那些次数过高的谐波分量。当前30页，总共92页。30从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。信号的频带指信号包含频率成份的范围。当前31页，总共92页。311.2.3周期信号的强度表述（衡量标准）周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表述。当前32页，总共92页。32当前33页，总共92页。33当前34页，总共92页。34表1-2几种典型周期信号上述各值之间的数量关系第1章信号及其描述当前35页，总共92页。35

1.3瞬变非周期信号与连续频谱概述：

非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号，其频谱各有独自的特点。

周期信号可展开成许多乃至无限项简谐信号之和，其频谱具有离散性，且诸简谐分量之间的频率具有一个公约数——基频。但是，几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。也就是说，具有离散频谱的信号不一定是周期信号。只有各个简谐成分的频率比是有理数时，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成后的信号才是周期信号。当前36页，总共92页。36 如果各个简谐成分的频率比不是有理数，例如,各个简谐成分在合成以后，不可能经过某一时间间隔后重演，其合成信号就不是周期信号。但这种信号有离散频谱，故称为准周期信号。多个独立振源激励起某对象的振动往往是这类信号。当前37页，总共92页。37通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。常见的此类信号如图1-11所示。图1-11a为矩形脉冲信号，图1-11b为指数衰减信号，图1-11c为衰减震荡，图1-11d为单一脉冲。下面讨论这种非周期信号的傅立叶变换及其频谱。当前38页，总共92页。381.3.1傅立叶变换

周期信号，当周期T→∞时，变成非周期信号，这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一种数学方法――傅立叶变换。当前39页，总共92页。39当前40页，总共92页。40当前41页，总共92页。41于是，

（1-25，26，27）由于时间t是积分变量，故积分之后仅是w的函数。当前42页，总共92页。42当前43页，总共92页。43而周期函数的傅立叶系数Cn反映的是对应频率成分幅值的大小当前44页，总共92页。44例1-3求矩形窗函数的频谱。当前45页，总共92页。45引用式(1-12)稍作修改,有代入上式得(1-33)Sincθ以2π为周期并随θ的增加而做衰减震荡，是偶函数，在nπ（n=±1，±2…）处其值为零。当前46页，总共92页。46矩形窗函数的幅值频谱为矩形窗函数的相位频谱视符号而定。当为正值时相角为零，当为负值时相角为π。当前47页，总共92页。471.3.2傅立叶变换的主要性质傅立叶变换构建了信号时域描述和频域描述的对应关系，熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于了解信号在某个域的变化和运算在另一个域中产生何种相应的变换和运算关系，最终有助于对复杂工程问题的分析和简化计算。当前48页，总共92页。48表1-3傅立叶变换的主要性质当前49页，总共92页。49当前50页，总共92页。50对称性（1-38）当前51页，总共92页。51应用这个性质，利用已知的傅里叶变换对即可得出相应的变换对。对称性举例：图1-14。当前52页，总共92页。52③时间尺度改变特性（1-39）当前53页，总共92页。53时间尺度改变特性举例如图1-15。第1章信号及其描述当前54页，总共92页。54 当时间尺度压缩（k>1）时，频谱的频带加宽，幅值压低，图1-15c； 当时间尺度扩展（k<1）时，频谱的频带变窄，幅值增高，图1-15a。 例如：记录磁带慢录快放，时间尺度压缩，处理信号效率提高，信号频带加宽；记录磁带快录慢放，时间尺度扩展，处理信号效率降低，信号频带变窄。当前55页，总共92页。55④时移和频移特性（1-40，41）

证明略。当前56页，总共92页。56时移特性表明：将信号在时域中平移，则其幅频谱不变，相频谱中相角的改变量与频率成正比，例（表1-1）：频移特性表明：如果频谱函数在频域中平移f0，则其代表的信号波形将与频率为f0的正、余弦信号相乘，即进行了调制。当前57页，总共92页。57

第3节傅立叶变换与瞬变非周期信号的连续频谱第1章信号及其描述当前58页，总共92页。58卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率域分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系x(t)h(t)

y(t)当前59页，总共92页。59当前60页，总共92页。60补充：线性叠加证明略。

a，b为常数

当前61页，总共92页。61例：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化当前62页，总共92页。621.3.3几种典型信号的频谱1.矩形窗函数的频谱由例1-3的讨论可知，一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。在时域中截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数之乘积。因而，所得频谱将是原信号频域函数和函数的卷积，它的频谱将是无限延伸的。当前63页，总共92页。63当前64页，总共92页。64函数及其频谱①函数的定义（P33）从函数值极限来看（1-47）从函数强度（面积）的角度来看

（1-48）

用它可描述一些作用时间极短、但取值极大的物理现象，如云层之间的放电，瞬时间的冲击力等。定义中积分等于1，说明其强度为1，若强度为K的脉冲用kδ(t)表示。当前65页，总共92页。65

第3节傅立叶变换与瞬变非周期信号的连续频谱第1章信号及其描述当前66页，总共92页。66当前67页，总共92页。67函数与其它函数的卷积当前68页，总共92页。68当前69页，总共92页。69函数的频谱（1-53，54）可见，时域的函数，在频域具有无限宽广的频谱，而且在所有频段上都是等强度的，这种频谱称为“均匀谱”。如图1-18所示。

当前70页，总共92页。70特性：（1）乘积性（2）积分性（3）卷积性（4）傅氏变换当前71页，总共92页。71根据傅里叶变换的对称性、时移性、频移性，可以得到下列傅里叶变换对(p35)：（1-55）当前72页，总共92页。72正、余弦函数的频谱密度函数因为正、余弦函数不满足绝对可积条件，所以不能直接进行傅里叶变换。解决的办法是：在傅里叶变换时引入函数。根据欧拉公式，正、余弦函数可以写成当前73页，总共92页。73应用式（1-55），可以认为，正、余弦函数是把频域中的两个函数向不同方向平移后，它们的差或和的傅里叶逆变换。即：（1-56，57）正、余弦函数及其频谱如下图1-19所示。

当前74页，总共92页。74当前75页，总共92页。754.周期单位脉冲序列的频谱当前76页，总共92页。76当前77页，总共92页。77其频谱如图1-20所示，当前78页，总共92页。78

第4节随机信号1.4.1概述随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，而且不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观察值只能代表在其变动范围中可能产生的结果之一。随机信号服从统计规律，描述随机信号必须用概率统计的方法。随机信号广泛存在于工程技术的各个领域。确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了次要的随机因素后，抽象出来的模型。测试信号总是受到环境噪声污染的，故研究随机信号具有普遍、现实的意义。当前79页，总共92页。79对随机信号按时间历程所做的各次长时间观测称为样本函数，记作，如图1-21所示。当前80页，总共92页。80

样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作

（1-61）

随机过程的各种平均值，比如均值、方差、均方值和均方根值等，都是按集合平均来计算的。集合平均的计算不是沿着某个样本的时间轴进行，而是将集合中所有样本函数对同一时刻的观察值取平均。为了与集合平均相区别，把按单个样本的时间历程进行的计算叫做时间平均。当前81页，总共92页。81随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。所谓平稳随机过程，是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则，为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经随机过程，也称这样的随机过程其具有遍历性。工程上