2019年高考数学一轮复习专题47解三角形及其应用举例(讲)

第07节解三角形及其应用举例【考纲解读】考点考纲内容5年统计解析展望1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.主若是利用定理等知识和方法解决一些2014浙江文18；理10，与测量和几何计算有关的问题，重点是弄18；懂有关术语，认真理解题意.从浙江卷来正弦定理和掌握正弦定理、余2015浙江文16；理16；看，三角形中的应用问题，主若是结合直余弦定理弦定理及其应用2016浙江文16；理16；角三角形，观察边角的计算，也有与导数2017浙江14；结合观察的情况.2018浙江卷13..5.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常有题型的解法.（3）理解三角形中的有关术语.【知识清单】测量距离问题实责问题中的有关看法(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方向角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方向角为α(如图2)．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角近似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数

(如图

4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比

(如图

4，i

为坡比

)．2.测量高度问题余弦定理：a2b2c22abcosC，b2c2a22accosA，c2a2b22accosB.b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2变形公式cosA＝2，cosB＝2，osC＝2abbcac测量角度问题应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．【重点难点打破】考点

1

测量距离问题【1-1】【2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考】如图，从气球

A上测得正前面的河流的两岸

B

，

C的俯角分别为

60o，

30

，此时气球的高是

60m，则河流的宽度

BC

等于

（）A．303B．3031C．403D．4031【答案】C【解析】由于从气球A上测得正前面的河流的两岸B，C的俯角分别为60o，30，，C30,BAC30,DAB30,AD60m，BCAB60，应选C.403cos30【1-2】以下列图，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定合适的地址C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．【答案】2007【1-3】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不能到达，测出AB的距离，测量者能够在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝3km，∠ADB＝∠CDB2＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】643【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝2.3在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DC∠BDC＝2·sin306·sin°＝.sin∠DBCsin45°4在△中，由余弦定理，得2＝2＋2cos45°＝333623AB－2·＋－2×××＝.ABCACBCACBC48242866∴AB＝4(km)．∴A，B两点间的距离为4km.【领悟技法】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转变成求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常有的命题角度有：两点都不能到达；两点不相通的距离；两点间可视但有一点不能到达.【贯通融会】【变式一】【2018届江西省南昌市第一轮训练六】一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65，港口A的东偏南20处，那么B，C两点的距离是()．102海里B．103海里C．20海里D．152海里A【答案】A【解析】如图由已知可得，∠

BAC=30°，∠ABC=105°，

AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得

BC=AB0sin45

×sin30°=10

2．故答案为：A.【变式二】以下列图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠＝45°，∠＝105°后，就可以计算、B两点的距离为()ACBCABAA．502mB．503mC．252m252D.m2【答案】A2【解析】由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理ACABAC·sin∠ACB50×2＝，∴AB＝sin∠ABC＝＝502(m)．sin∠ABCsin∠ACB12考点2测量高度问题【2-1】【2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二）】我国古代出名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参照译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同素来线上,从前标杆退行123步,人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好察看到岛峰,从后标杆退行127步,人的视线从地面过标杆顶恰好察看到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【2-2】如图，在坡度必然的山坡

A处测得山顶上一建筑物

CD(CD所在的直线与地平面垂直

)对于山坡的斜度为

α，从处向山顶前进

米到达

后，又测得

对于山坡的斜度为

β，山坡对于地平面的坡角为

θ.求BC的长；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．【答案】（1）BClsin；（2）CD2483.sin()【解析】(1)在ABC中，ACB，依照正弦定理得BCAB，sinBACsinACB因此BClsin.sin()(2)由(1)知BClsin24sin1512(62)米．sin( )sin30在BCD中，BDC2BDC36，sin，232依照正弦定理得BCCD，sinBDCsinCBD因此CD2483米．【领悟技法】已知三边如(a、b、c），由余弦定理求A、B，再由ABC180求角C，在有解时只有一解.已知两边和夹角如(a、b、C），余弦定理求出对对边.【贯通融会】【变式一】如下图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.【答案】hcossinsin( )【变式二】以下列图，测量河对岸的塔高BCD,BDC,CDs，并在点

AB时，能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.

C与

D，现测得【答案】s?tansinsin（＋）【解析】在BCD中，CBDBC＝CD，由正弦定理得，因此sinBDCsinCBDBCCD?sinBDC?ssinsinCBD＝.（＋）sin?在RtABC中，ABBCtanACBstansin.（＋）sin考点3测量角度问题【3-1】【2017广东佛山二模】某沿海四个城市A、B、C、D的地址以下列图，其中ABC60，BCD

135

，

AB

80nmile

，

BC

40303nmile，

CD

2506nmile，

D

位于

A的北偏东

75

方向.现在有一艘轮船从

A出发以

50nmile/h

的速度向

D

直线航行，

60min

后，轮船由于天气

原因收到指令改向城市

C直线航行，收到指令时城市

C对于轮船的方向角是南偏西

度，则

sin

__________．【答案】624【解析】设船行驶至F，则AF50，连接AC,CF，过A作AEBC于E，则AE80sin60403，BEABcos6040,CFBCBF303,ACAE2CE2503,cosace3,sinACE4，55因此cosACDcos135ACE2AC，因此CAD90，又AF50，AC503，可得10CDAFC60，因此CFNAFNAFCMAFAFC15，故sin624.【3-2】如图，扇形AOB是一个观光区的平面表示图，其中圆心角∠AOB为2π，半径OA为1km.为了便于游客观3光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧、线段及线段DB组成，其中DACCD在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；当θ为何值时，观光道路最长？设观光道路长度为L(θ)，则L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的长2θ＋cos1sinθ＋θ＝1－sinθ＋33＝cosθ－1sinθ＋θ＋1，θ∈0，π，33L′(θ)＝－sin3θ－3cosθ＋1，3由L′(θ)＝0，得sinθ＋6＝2，又θ∈0，ππ3，因此θ＝6，列表：ππππθ0，666，3L′(θ)＋0－L(θ)增函数极大值减函数因此当θ＝π6时，L(θ)达到最大值，即当

θ＝π6时，观光道路最长．【3-3】在海岸

A处，发现北偏东

45°方向，距离

A处(

3－1)海里的

B处有一艘走私船；在

A处北偏西

75°方向，距离

A处2海里的

C处的缉私船授命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以

10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？60°的方向能最快追上走私船，最少要花6【答案】缉私船沿北偏东10小时．【解析】如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有＝103t，＝10t.CDBD在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝AC232sin∠BAC＝6×＝2，得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．BC2于是∠＝120°.CBDsin∠CBD10t·sin120°1在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝CD＝103t＝2，CDBC得∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°.又sin120°＝sin30°，103t63＝6，得t＝10.因此缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．【领悟技法】依照已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种方法：利用正、余弦定理把已知条件转变成边边关系，经过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转变成内角的三角函数间的关系，经过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[注意]在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，省得漏解．判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的一致．马上条件化为只含角的三角函数关系式，尔后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，尔后利用常有的化简变形得出三边的关系．结论一般为特其他三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．其他，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．提示：1．在△ABC中有以下结论sinA＞sinB?a＞b.2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判断其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．【贯通融会】【变式一】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待救援，甲船立即前往救援，同时把信息见告在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船马上朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为( )212357A.7B．2C.2D．14【答案】D【变式二】在一次海上结合作战演习中，红方一艘侦探艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦探艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦探艇所需的时间和角α的正弦值．【答案】5314【解析】如图，设红方侦探艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依照余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.BCAC依照正弦定理得sinα＝sin120°，20sin120

°

53解得

sin

α＝

＝

.28

1453因此红方侦探艇所需要的时间为

2小时，角α的正弦值为

14

.【易错试题常警惕】易错典例：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？易错解析：不能够分清已知条件和未知条件，从而不能够将问题集中到一个三角形中．再利用正、余弦定理求解．解决此类问题时，要能理解题目给定的含义，转变到三角形中，利用正、余弦定理进行求解.正确解析：如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，A1A2＝30202，∴A1A2＝A2B2.2×60＝10又∠122＝180°－120°＝60°，∴△122是等边三角形，∴