高中数学教案范文精选

千里之行，始于第2页/共2页精品文档推荐高中数学教案范文精选教案，所谓备课，其主要内容就是写教案，它包括对教材进行讨论、对同学进行分析，周密考虑需要的教学手段、采纳的（教学（方法）），今日我在这给大家整理了数学教案大全，接下来随着我一起来看看吧!

数学教案(一)

指数与指数幂的运算教案

整体设计

教学分析

我们在学校的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开头我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

教材为了让同学在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个详细例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让同学回顾了学校学过的整数指数幂，也让同学感受到其中的函数模型，并且还有思想（教育）价值.后一个问题让同学体会其中的函数模型的同时，激发同学探究分数指数幂、无理数指数幂的爱好与欲望，为新学问的学习作了铺垫.

本节支配的内容蕴涵了很多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、靠近的思想(有理数指数幂靠近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象讨论指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.

依据本节内容的特点，教学中要留意发挥信息技术的力气，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为同学的数学探究与数学思维供应支持.

三维目标

1.通过与学校所学的学问进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.把握分数指数幂和根式之间的互化，把握分数指数幂的运算性质.培育同学观看分析、抽象类比的力量.

2.把握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想.通过运算训练，养成同学严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让同学了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

3.能娴熟地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培育同学严谨的思维和科学正确的计算力量.

4.通过训练及点评，让同学更能娴熟把握指数幂的运算性质.展现函数图象，让同学通过观看，进而讨论指数函数的性质，让同学体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点

(1)分数指数幂和根式概念的理解.

(2)把握并运用分数指数幂的运算性质.

(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值.

教学难点

(1)分数指数幂及根式概念的理解.

(2)有理指数幂性质的敏捷应用.

课时支配

3课时

教学过程

第1课时

：路致芳

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何推断生物的进展与进化，又怎样推断它们所处的年月?(考古学家是通过对生物化石的讨论来推断生物的进展与进化的，其次个问题我们不太清晰)考古学家是根据这样一条规律推想生物所处的年月的.老师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算.

思路2.同学们，我们在学校学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是确定的，这就是我们本堂课讨论的课题：指数函数——指数与指数幂的运算.

推动新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个，立方根呢?

(2)如x4=a，x5=a，x6=a，依据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)依据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

活动：老师提示，引导同学回忆学校的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对比类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互沟通争论后回答，老师准时启发同学，详细问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价同学的思维.

争论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根.

老师板书n次方根的意义：

一般地，假如xn=a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n1且n∈正整数集.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能依据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点?4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点?

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否（总结）一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

活动：老师提示同学切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，准时点拨同学，从数的分类考虑，可以把详细的数写出来，观看数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的同学准时表扬，对回答不精确     的同学提示引导考虑问题的思路.

争论结果：(1)由于±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不肯定存在，如负数的偶次方根就不存在，由于没有一个数的偶次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的争论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a0).

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示.

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在.

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思索

依据n次方根的性质能否举例说明上述几种状况?

活动：老师提示同学对方根的性质要分类把握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡察同学，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，留意观看方根的形式，准时订正同学在举例过程中的问题.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.

如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数.

思索

nan表示an的n次方根，式子nan=a肯定成立吗?假如不肯定成立，那么nan等于什么?

活动：老师让同学留意争论n为奇偶数和a的符号，充分让同学多举实例，分组争论.老师点拨，留意归纳整理.

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕.

解答：依据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

通过探究得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(na)n=a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数.

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的肯定值.

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(ab).

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些学问，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目认真分析.观看同学的解题状况，让同学展现结果，抓住同学在解题过程中消失的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清晰运算挨次，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，假如是奇数，无需考虑符号，假如是偶数，开方的结果必需是非负数.

解：(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(ab).

点评：不留意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题消失的一个重要缘由，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的争论，造成错解.

思路2

例1下列各式中正确的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活动：老师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑依据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，同学先思索哪些地方简单出错，再回答.

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错.

(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，依据运算挨次也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错.

(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错.

(4)D项是一个正数的偶次方根，依据运算挨次也应如此，故D项正确.所以答案选D.

答案：D

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算挨次，有时极易选错，选四个答案的状况都会有，因此解题时千万要细心.

例23+22+3-22=__________.

活动：让同学们乐观思索，沟通争论，本题乍一看内容与本节无关，但认真一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，依据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，老师提示，引导同学解题的思路.

解析：由于3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到方法把其化成一个完全平方式.

思索

上面的例2还有别的解法吗?

活动：老师引导，去根号经常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观看两个式子的特点，具有对称性，再考虑并沟通争论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消.同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法.

另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

点评：对双重二次根式，特殊是A±2B形式的式子，我们总能找到方法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

变式训练

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围.

解：由于a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

点评：利用方根的运算性质转化为去肯定值符号，是解题的关键.

知能训练

(老师用多媒体显示在屏幕上)

1.以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n1且n∈正整数集)

答案：C

2.化简下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|.

3.计算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

问题：nan=a与(na)n=a(n1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.

活动：组织同学结合前面的例题及其解答，进行分析争论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义.

通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时争论一下.再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时争论一下，就可得到相应的结论.

解：(1)(na)n=a(n1，n∈N).

假如xn=a(n1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na肯定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立.

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.

当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立.

例如：525=2，5(-2)5=-2.

当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以假如a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;假如a0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

即(na)n=a(n1，n∈N)是恒等式，nan=a(n1，n∈N)是有条件的.

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.

课堂小结

同学认真沟通争论后，在笔记上写出本节课的学习收获，老师用多媒体显示在屏幕上.

1.假如xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n1且n∈正整数集.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数.

(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a0).

(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示.

(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.把握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

作业

课本习题2.1A组1.

补充作业：

1.化简下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6(|a|?b2)2=3|a|?b2.

2.若5a8，则式子(a-5)2-(a-8)2的值为__________.p=

解析：由于5a8，所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.p=

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想方法去掉一层根式，

不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

设计感想

同学已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举详细实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种状况来进行，每种状况又分a0，a0，a=0三种状况，并结合详细例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要敏捷处理这些题目，关心同学加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学.

第2课时

：郝云静

导入新课

思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入全部活组织，先为植物汲取，再为动物汲取，只要植物和动物生存着，它们就会不断地汲取碳14在机体内保持肯定的水平.而当有机体死亡后，即会停止汲取碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开头衰变并消逝.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年月(半衰期：经过肯定的时间，变为原来的一半).引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂.

思路2.同学们，我们在学校学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是确定的.这就是本节的主讲内容，老师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.

推动新课

新知探究

提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么?

(2)观看以下式子，并总结出规律：a0，

①;

②a8=(a4)2=a4=，;

③4a12=4(a3)4=a3=;

④2a10=2(a5)2=a5=.

(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗?

，，，(x0，m，n∈正整数集，且n1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?

(5)你能推广到一般的情形吗?

活动：同学回顾学校学习的整数指数幂及运算性质，认真观看，特殊是每题的开头和最终两步的指数之间的关系，老师引导同学体会方根的意义，用方根的意义加以解释，教导启发同学类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把详细推广到一般，对写正确的同学准时表扬，其他同学鼓舞提示.

争论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…?a，a0=1(a≠0);00无意义;

a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根.实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变.

依据4个式子的最终结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).

(3)利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm=.

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是.

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.

(5)假如a0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a0，m，n∈正整数集，n1).

综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，老师板书：

规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1).

提出问题

(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的?

(2)你能得出负分数指数幂的意义吗?

(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义?

(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a0，去掉这个规定会产生什么样的后果?

(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：同学回想学校学习的情形，结合自己的学习体会回答，依据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，老师在黑板上板书，同学合作沟通，以详细的实例说明a0的必要性，老师准时作出评价.

争论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+.

(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.

规定：正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈=N+，n1).

(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.

(4)老师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是：

正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.

(5)若没有a0这个条件会怎样呢?

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子消失了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的状况下总表示正数，而不是负数，负数只是消失在指数上.

(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q).

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题.

应用示例

例1求值：(1);(2);(3)12-5;(4).

活动：老师引导同学考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，依据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展现出来.

解：(1)=22=4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

(4)=23-3=278.

点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟识的根式运算，如=382=364=4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式.

a3?a;a2?3a2;a3a(a0).

活动：同学观看、思索，依据解题的挨次，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和挨次，同学争论沟通自己的解题步骤，老师评价同学的解题状况，鼓舞同学留意总结.

解：a3?a=a3?=;

a2?3a2=a2?=;

a3a=.

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其挨次是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特殊要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.

例3计算下列各式(式中字母都是正数).

(1);

(2).

活动：先由同学观看以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的挨次是先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算挨次仍符合我们以前的四则运算挨次，再解答，把自己的答案用投影仪展现出来，相互沟通，其中要留意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算挨次进行，要留意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟识后可以简化步骤.

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了.

本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.

变式训练

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4计算下列各式：

(1)(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a0).

活动：先由同学观看以上两个式子的特征，然后分析，化为同底.利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最终写出解答.

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能训练

课本本节练习1,2,3

【补充练习】

老师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让同学解答，老师巡察，启发，对做得好的同学赐予表扬鼓舞.

1.(1)下列运算中，正确的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为()

A.B.

C.D.

(5)化简的结果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2.计算：(1)--17-2+-3-1+(2-1)0=__________.

(2)设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

3.已知x+y=12，xy=9且xy，求p=的值.

答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3.解：.

由于x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又由于xy，所以x-y=-2×33=-63.p=

所以原式==12-6-63=-33.

拓展提升

1.化简：.

活动：同学观看式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，依据本题的特点，留意到：

x-1=-13=;

x+1=+13=;

.

构建解题思路老师适时启发提示.

解：

=

=

=

=.

点拨：解这类题目，要留意运用以下公式，

=a-b，

=a±+b，

=a±b.

2.已知，探究下列各式的值的求法.

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).

解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

(2)将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47;

(3)由于，

所以有=a+a-1+1=8.

点拨：对“条件求值”问题，肯定要弄清已知与未知的联系，然后实行“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.

课堂小结

活动：老师，本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的（笔记本）上，同学们之间相互沟通.同时老师用投影仪显示本堂课的学问要点：

(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.

(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q).

(4)说明两点：

①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系.

②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算.

作业

课本习题2.1A组2,4.

设计感想

本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让同学反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观看、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多支配一些练习，强化训练，巩固学问，要帮助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.

第3课时

：郑芳鸣

导入新课

思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，究竟有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数.并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增加的数是无理数.对无理数指数幂，也是这样扩充而来.既然如此，我们这节课的主要内容是：老师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂.

思路2.同学们，在学校我们学习了函数的学问，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简洁的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满意我们的需要，随着科学的进展，社会的进步，我们还要学习很多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的学问，我们必需学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必需把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，老师板书本节课的课题.

推动新课

新知探究

提出问题

(1)我们知道2=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值?

(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发觉什么样的规律?

2的过剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

……

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

……

(3)你能给上述思想起个名字吗?

(4)一个正数的无理数次幂究竟是一个什么性质的数呢?如，依据你学过的学问，能作出推断并合理地解释吗?

(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：老师引导，同学回忆，老师提问，同学回答，乐观沟通，准时评价同学，同学有困惑时加以解释，可用多媒体显示帮助内容：

问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向.

问题(2)对图表的观看一方面从上往下看，再一方面从左向右看，留意其关联.

问题(3)上述方法实际上是无限接近，最终是靠近.

问题(4)对问题赐予大胆猜想，从数轴的观点加以解释.

问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特别到一般.

争论结果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值.

(2)第一个表：从大于2的方向靠近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向靠近.

其次个表：从小于2的方向靠近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向靠近.

从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即靠近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点肯定在数轴上，由此我们可得到的结论是肯定是一个实数，即51.451.4151.41451.414251.41421……51.4142251.414351.41551.4251.5.

充分表明是一个实数.

(3)靠近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的学问.

(4)依据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜想一个正数的无理数次幂是一个实数.

(5)无理数指数幂的意义：

一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.

提出问题

(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时，必需规定底数是正数?

(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?

(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗?

活动：老师组织同学互助合作，沟通探讨，引导他们用反例说明问题，留意类比，归纳.

对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明.

对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通.

对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了.

争论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱.

(2)由于无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

①ar?as=ar+s(a0，r，s都是无理数).

②(ar)s=ars(a0，r，s都是无理数).

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r是无理数).

(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.

实数指数幂的运算性质：

对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R).

应用示例

例1利用函数计算器计算.(精确到0.001)

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4).

活动：老师教会同学利用函数计算器计算，熟识计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最终按=，即可求得它的值;

对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最终按=即可;

对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最终按=即可;

对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最终按=键.有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算.

同学可以相互沟通，挖掘计算器的用途.

解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3)≈2.336;(4)≈6.705.

点评：娴熟把握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会;用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可.

例2求值或化简.

(1)a-4b23ab2(a0，b0);

(2)(a0，b0);

(3)5-26+7-43-6-42.

活动：同学观看，思索，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应当把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，老师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对同学作准时的评价，留意总结解题的方法和规律.

解：(1)a-4b23ab2==3b46a11.

点评：根式的运算经常化成幂的运算进行，计算结果如没有特别要求，就用根式的形式来表示.

(2)

=

=425a0b0=425.

点评：化简这类式子一般有两种方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采纳分式的基本性质把负指数化成正指数.

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万留意方根的性质的运用.

例3已知，n∈正整数集，求(x+1+x2)n的值.

活动：同学思索，观看题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，与具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题供应了思路，老师引导同学考虑问题的思路，必要时赐予提示.

=.

这时应看到1+x2=，

这样先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可.

解：将代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

==5.

点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法.

知能训练

课本习题2.1A组3.

利用投影仪投射下列补充练习：

1.化简：的结果是()

A.B.

C.D.

解析：依据本题的特点，留意到它的整体性，特殊是指数的规律性，我们可以进行适当的变形.

由于，所以原式的分子分母同乘以.

依次类推，所以.

答案：A

2.计算2790.5+0.1-2+-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3.计算a+2a-1+a-2a-1(a≥1).

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1).

本题可以连续向下做，去掉肯定值，作为思索留作课下练习.

4.设a0，，则(x+1+x2)n的值为__________.

解析：1+x2=.

这样先算出1+x2，再算出1+x2，

将代入1+x2，得1+x2=.

所以(x+1+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提升

参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂的意义.

活动：老师引导同学回顾无理数指数幂的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，依据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值，利用靠近思想，“逼出”的意义，同学合作沟通，在投影仪上展现自己的探究结果.

解：3=1.73205080…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

3的过剩近似值

的过剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

…………

我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数

21.7,21.72,21.731,21.7319，…，

同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：

21.8,21.74,21.733,21.7321，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为，

即21.721.7321.73121.7319……21.732121.73321.7421.8.

也就是说是一个实数，=3.321997…也可以这样解释：

当3的过剩近似值从大于3的方向靠近3时，23的近似值从大于的方向靠近;

当3的不足近似值从小于3的方向靠近3时，23的近似值从小于的方向靠近.

所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述规律变化的结果，即≈3.321997.

课堂小结

(1)无理指数幂的意义.

一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R).

(3)靠近的思想，体会无限接近的含义.

作业

课本习题2.1B组2.

设计感想

无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让同学通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让同学自己通过实际状况去探究，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让同学体会，特殊是靠近的思想、类比的思想，多作练习，提高同学理解问题、分析问题的力量.

备课资料

【备用习题】

1.以下各式中成立且结果为最简根式的是()

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2.对于a0，r，s∈Q，以下运算中正确的是()

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3.式子x-2x-1=x-2x-1成立当且仅当()

A.x-2x-1≥0B.x≠1C.x1D.x≥2

解析：方法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-10，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，则式子x-2x-1=x-2x-1成立.

故选D.

方法二：

对A，式子x-2x-1≥0连式子成立也保证不了，尤其x-2≤0，x-10时式子不成立.

对B，x-10时式子不成立.

对C，x1时x-1无意义.

对D正确.

答案：D

4.化简b-(2b-1)(1b2).p=

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1b2).p=

5.计算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

两边立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+1540，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

数学教案(二)

三角函数的周期性

一、学习目标与自我评估

1把握利用单位圆的几何方法作函数的图象

2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期

3会用代数方法求等函数的周期

4理解周期性的几何意义

二、学习重点与难点

“周期函数的概念”，周期的求解。

三、学法指导

1、是周期函数是指对定义域中全部都有

，即应是恒等式。