2022-2023学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2023的相反数等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．a6÷a3＝a23．下列展开图中，是正方体展开图的是（）A． B． C． D．4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（）A． B． C． D．5．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是．10．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．11．分解因式：2x3﹣8＝．12．地球上陆地的面积约为149000000平方千米，把数据149000000用科学记数法表示为．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝°．14．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．15．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．17．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝．18．如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A（b，b）②当b＝2时，k＝4③m＝④S四边形AOCB＝2b2则所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）2sin60°+（）﹣1；（2）（a+b）÷（）．20．解不等式组并求出它的所有整数解的和．21．每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．一、确定调查对象（1）有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是；二、收集整理数据按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计表类别ABCD视力视力≥5.04.94.6≤视力≤4.8视力≤4.5健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数160mn56三、分析数据，解答问题（2）表中m＝，调查视力数据的中位数所在类别为类；（3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；22．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．23．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，绳子和实心球的单价各是多少元？24．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．26．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为．A．B．1C．D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．27．某雨润肉店店主从市场行情了解到，在足够长的一段时间里，猪肉的进价均为20元/kg，若该店月猪肉销量y（kg）与销售价格x（元）的关系如下表，且y是x的一次函数．y（kg）8002000x（元）3024（1）求y与x的函数关系式；（2）若在销售猪肉所获得利润的基础上，该店每月还需用其支付其它开支共4000元．试求该店销售猪肉所获得的月净利润p（元）与x（元）之间的函数关系式；（3）在第（2）问的基础上，根据店主提供的数据，该肉店的猪肉月销售量至少为1800kg，则当销售价格为多少元时，p最大？并求出该最大值．28．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE＝1：：2，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求DN的长．

参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2023的相反数等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．【分析】根据相反数的定义进行计算即可．解：﹣2023的相反数是2023．故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．a6÷a3＝a2【分析】选项A根据同类项以及合并同类项法则判断即可；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．解：A．a与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3．下列展开图中，是正方体展开图的是（）A． B． C． D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项和D选项都不符合题意；四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，故B选项不符合题意，C选项符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．5．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．解：∵∠AOC＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°．∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝75°﹣25°＝50°．故选：D．【点评】本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【分析】运用公式S＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母线长l＝5，半径r为4，∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活地运用公式求解．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x是y随x的增大而减小，所以当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．解：∵对称轴是直线x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．8．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（）A． B． C． D．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是解题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是5．【分析】根据众数的定义求解即可．解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5，故答案为：5．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．10．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x﹣3≥0，据此求出实数x的取值范围即可．解：∵二次根式有意义，∴x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．11．分解因式：2x3﹣8＝2（x3﹣4）．【分析】直接找出公因式，再提取公因式法分解因式即可．解：2x3﹣8＝2（x3﹣4）．故答案为：2（x3﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．地球上陆地的面积约为149000000平方千米，把数据149000000用科学记数法表示为1.49×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将149000000用科学记数法表示为1.49×108．故答案为：1.49×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝35°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AD与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是2．【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分．15．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是1．【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．17．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝6．【分析】先把图补全，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN＝6，可得答案．解：如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，∴GN∥BC，∴AG＝BG，∴GN是△ABC的中位线，∴GN＝BC＝×12＝6，∵PM＝GM，∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．18．如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A（b，b）②当b＝2时，k＝4③m＝④S四边形AOCB＝2b2则所有正确结论的序号是②③．【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；④根据菱形的面积＝底边×高可解答．解：如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD＝＝b，∴A（b，b）；故①不正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），∴k＝2×2＝4，故②正确；③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，∴B（b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴bm﹣2b＝﹣b，∴m＝，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：②③；故答案为：②③．【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关于x轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）2sin60°+（）﹣1；（2）（a+b）÷（）．【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．解：（1）原式＝2×+2﹣2＝+2﹣2＝2﹣；（2）原式＝（a+b）÷＝（a+b）•＝ab．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20．解不等式组并求出它的所有整数解的和．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．解：，解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜4，∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，∴该不等式组所有整数解的和是3．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．21．每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．一、确定调查对象（1）有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是方案三；二、收集整理数据按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计表类别ABCD视力视力≥5.04.94.6≤视力≤4.8视力≤4.5健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数160mn56三、分析数据，解答问题（2）表中m＝64，调查视力数据的中位数所在类别为B类；（3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）利用样本估计总体即可；解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）由题意可得，调查的总人数为：160÷40%＝400（人），由题意可知，m＝400×16%＝64（人），调查视力数据的中位数所在类别为B类；故答案为：64；B；（3）调查的总人数为：160÷40%＝400（人），由题意可知，m＝400×16%＝64（人），n＝400﹣64﹣56﹣160＝120（人），1600×＝704（人），所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人．【点评】本题考查扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．22．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；故答案为：；（2）画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，则乙不输的概率是＝．【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，绳子和实心球的单价各是多少元？【分析】设绳子的单价是x元，则实心球的单价是（x+23）元，利用数量＝总价÷单价，结合84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出绳子的单价，再将其代入（x+23）中，即可得出实心球的单价．解：设绳子的单价是x元，则实心球的单价是（x+23）元，根据题意得：＝，解得：x＝7，经检验，x＝7是所列方程的解，且符合题意，∴x+23＝7+23＝30．答：绳子的单价是7元，实心球的单价是30元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．【分析】（1）根据线段中点的定义可得AD＝AB，根据三角形的中位线定理可得EF∥AB，EF＝AB，从而可得EF＝AD，进而可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；（2）当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，再根据三角形的中位线定理可得DE＝BC，从而可得AF＝DE，然后利用（1）的结论即可解答．【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF＝BC，∴AF＝DE，由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；（2）∵⊙O的半径为5，∴AC＝AB＝10，∵BC＝16，BD＝CD，∴CD＝8，在Rt△ACD中，AD＝＝＝6，∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，∴DE＝＝＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，正确作出辅助线，熟练掌握掌握切线的判定与性质是解题的关键．26．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为B．A．B．1C．D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故选B．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝．在AB上取点D，使AD＝AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝＝4k，又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝．∴DH＝ADsinA＝k，AH＝＝k．则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．由正对的定义可得：sadA＝＝．【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．27．某雨润肉店店主从市场行情了解到，在足够长的一段时间里，猪肉的进价均为20元/kg，若该店月猪肉销量y（kg）与销售价格x（元）的关系如下表，且y是x的一次函数．y（kg）8002000