全国中考数学试题分类解析汇编专题40尺规作图

2012年全国中考数学试题分类分析汇编(159套63专题）专题40：尺规作图一、选择题1.（2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连结AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。、连结AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。关于甲、乙两人的作法，可判断【】A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确【答案】A。【考点】垂径定理，等边三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含度角的直角三角形。【剖析】依据甲的思路，作出图形以下：连结OB，∵BC垂直均分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。∴OE=DE=1OD。2又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=1OB。∴∠OBE=30°。2又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。第1页共19页∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。依据乙的思路，作图以下：连结OB，BD。∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。又∵BC垂直均分OD，∴OM=DM。∴BM为∠OBD的均分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。应选A。（2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的均分线的表示图以下图，则能说明∠AOC=∠BOC的依照是【】A．SSSB．ASAC．AASD．角均分线上的点到角两边距离相等【答案】A。【考点】作图（基本作图），全等三角形的判断和性质。【剖析】连结NC，MC，依据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，∴△ONC≌△OMC（SSS）。∴∠AOC=∠BOC。应选A。3.（2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图印迹第2页共19页中，?FG是【】A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D。【考点】作图（基本作图），平行线的判断，全等三角形的判断和性质。【剖析】依据同位角相等两直线平行，要想获得CN∥OA，只需作出∠BCN=∠AOB即可，而后再依据作一个角等于已知角的作法解答：依据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，依据作一个角等于已知角的作法，?FG是以点E为圆心，DM为半径的弧。应选D。4.（2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A,B为圆心，以大于1AB长为半径作弧，两弧交于点C．若2点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【】(A)m＋2n=1(B)m－2n=1(C)2n－m=1(D)n－2m=1【答案】B。【考点】作图（基本作图），角均分线性质，点到x轴、y轴距离。【剖析】如图，依据题意作图知，OC为∠AOB的均分线，点C的坐标为(m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE=m－1。依据角均分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1。应选B。二、填空题1.（2012河南省005分）如图，在△ABC中，∠C=90，∠CAB=50，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆第3页共19页心，大于1EF的长为半径画弧，两弧订交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC2的度数为▲【答案】650。【考点】作图，角均分线的性质，三角形内角和外角的性质。【剖析】依据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的均分线，依据角均分线的性质有0∠GAB=25。∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴依据三角形内角和定理，得∠B=400。∴依据三角形外角性质，得∠ADC=400＋250=650。2.（2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺正确作出其一条对称轴。（保存作图印迹）【答案】作图以下：【考点】作图题，【剖析】正五边形的性质。连结BD，CE交于点O，连结AO，即为所求。三、解答题1.（2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的均分线BD交AC于点D（保存作图印迹，不要求写作法）；第4页共19页（2）在（1）中作出∠ABC的均分线BD后，求∠BDC的度数．【答案】解：（1）作图以下：2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。∵AD是∠ABC的均分线，∴∠ABD=1∠ABC=1×72°=36°。22∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。【剖析】（1）依据角均分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的均分线：①以点B为圆心，随意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于1EF为半径画圆，两圆相较于点G，连结BG2交AC于点D。2）先依据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角均分线的性质得出∠ABD的度数，再依据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。2.（2012广东佛山8分）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)①用量角器胸怀两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②结构图形，假如一个角包括(或覆盖)另一个角，则这个角大．关于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．第5页共19页注：结构图形时，作表示图（草图）即可．（2012广东珠海6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的均分线．1）用尺规作图方法，作∠ADC的均分线DN；（保存作图印迹，不写作法和证明）2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）第6页共19页【答案】解：（1）以下图：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形。【考点】作图（基本作图），平行的判断和性质，等腰三角形的判断。【剖析】（1）作法：以D为圆心，以随意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于1GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN。则DN即为所求。22）设DN交AM于F，则AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD。又∵AM是△ABC外角∠CAE的均分线，∴∠FAD=1×180°=90°。∴AF∥BC。2∴∠CDF=∠AFD。又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF=∠ADF。∴AD=AF。∴△ADF是等腰直角三角形。4.（2012广东汕头7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．1）用直尺和圆规作∠ABC的均分线BD交AC于点D（保存作图印迹，不要求写作法）；2）在（1）中作出∠ABC的均分线BD后，求∠BDC的度数．【答案】解：（1）作图以下：第7页共19页2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。∵AD是∠ABC的均分线，∴∠ABD=1∠ABC=1×72°=36°。22∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。【剖析】（1）依据角均分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的均分线：①以点B为圆心，随意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于1EF为半径画圆，两圆相较于点G，连结BG2交AC于点D。2）先依据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角均分线的性质得出∠ABD的度数，再依据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。（2012浙江杭州8分）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保存作图印迹，不用写出作法）；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明S圆>．S【答案】解：（1）以下图：（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边。第8页共19页∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为5a。25225a2∵△ABC的外接圆的面积为S，∴S==圆圆24又∵△ABC的面积S1×3a×4a=6a2△ABC2S圆25a225=4>。∴6a2=S24【考点】作图（三角形），勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心。【剖析】（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B，连结AB，BC，则△ABC即为所求。2）由三边，依据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，依据直径所对圆周角是直角的性质知AC是△ABC外接圆的直径。进而求出圆和三角形面积即可求出两者的比值。6.（2012湖北宜昌7分）如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连结DE．1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；（要求：用尺规作图，保存作图印迹，不写作法和证明）2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．【答案】（1）解：作图以下：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。∵∠ADE=∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）。【考点】作图（复杂作图），平行四边形的性质，全等三角形的判断。1419956【剖析】（1）以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连结BF，则∠CBF=∠ADE。（2）依据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，由ASA可证△ADE≌△CBF。第9页共19页（2012湖北荆州8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），获得Rt△ADE，此中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．（1）请依据题意用实线补全图形；（2）求证：△AFB≌△AGE．【答案】解：（1）绘图，如图：2）证明：由题意得：△ABC≌△AED。AB=AE，∠ABC=∠E。在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，∴△AFB≌△AGE（ASA）。【考点】翻折变换（折叠问题），旋转的性质，全等三角形的判断。【剖析】（1）依据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，而后利用ASA的判断方法，即可证得△AFB≌△AGE。（2012四川达州7分）数学课上，商讨角均分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角均分线，方法如下：第10页共19页小颖的身旁只有刻度尺，经过试试，她发现利用刻度尺也能够作角均分线.依据以上情境，解决以下问题：①李老师用尺规作角均分线时，用到的三角形全等的判断方法是_________.②小聪的作法正确吗？请说明原因.③请你帮小颖设计用刻度尺作角均分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【答案】解：(1)SSS。小聪的作法正确。原因以下：∵PM⊥OM,PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°。在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON，Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。∴∠MOP=∠NOP。∴OP均分∠AOB。3）以下图.步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH；②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；③作射线OQ。则OQ为∠AOB的均分线。【考点】作图（复杂作图），全等三角形的判断和性质。第11页共19页【剖析】（1）依据全等三角形的判断即可求解。2）依据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再依据全等三角形的性质即可作出判断。3）依据用刻度尺作角均分线的方法作出图形，写出作图步骤即可。9.（2012四川巴中9分）①如图1，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA’B’；②折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图2），要将点D沿某条直线翻折180°，恰巧落在BC边上的点D’处，，请在图中作出该直线。【答案】解：①如图，△OA’B’即为所求图形。②如图，直线MN即为所求图形。【考点】作图（旋转和轴对变换）。【剖析】（1）依据旋转角度为90°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O可找到各点的对第12页共19页应点，按序连接即可得出△A′B′O即可。2）连结DD′，再作出DD′的垂直均分线即可。（2012山东青岛4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保存作图印迹．已知：线段a、c，∠．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠．结论：【答案】解：（1）作图以下，△ABC即为所求。【考点】作图（基本作图）。【剖析】①作∠ABC=∠，②作BC＝a，AB＝c，③连结AC。△ABC即为所求。（2012广西北海8分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。1）作∠B的均分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保存作图印迹，不用写作法和证明）；（2）连结DE，求证：△ADE≌△BDE。第13页共19页【答案】解：（1）作图以下：（2）证明：∵∠ABD＝1×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A。∴AD＝BD。2又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）。【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判断。【剖析】（1）①以B为圆心，随意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于

12FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的均分线。②分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作2直线与AB交于点E，点E就是AB的中点。2）第一依据角均分线的性质可得∠ABD的度数，进而获得∠ABD=∠A，依据等角平等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE。（2012广西贵港5分）如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。（1）请用直尺和圆规按要求作图（保存作图印迹，不写作法和证明）；①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；②以点B为极点，在AB边的下方作∠ABD=∠BAC．（2）请判断直线BD与⊙A的地点关系（不用证明）．第14页共19页【答案】解：（1）作图以下图：（2）直线BD与⊙A相切。【考点】作图（复杂作图），直线与圆的地点关系，平行线的判断和性质。【剖析】（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可。②以点A为圆心，以随意长为半径画弧，与边AB、AC订交于两点E、F，再以点B为圆心，以同样长度为半径画弧，与AB订交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧订交于点N，作射线BN即可获得∠ABD；（2）依据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再依据平行线间的距离相等可得点A到BD的距离等于BC的长度，而后依据直线与圆的地点关系判断直线BD与⊙A相切：∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD。∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，∴点A到直线BD的距离等于BC。∴直线BD与⊙A相切。13.（2012广西玉林、防城港6分）已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）.1）作底角∠ABC的均分线BD,交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保存作图印迹，而后用墨水笔加黑）；2）经过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形.第15页共19页【答案】解：（1）以下图，BD即为所求：2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°－36°）÷2=72°。∵BD均分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°。∴∠CDB=180°－36°－72°=72°。∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC。∴△ABD和△BDC都是等腰三角形。【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判断和性质，三角形内角和定理。【剖析】（1）以B为圆心，随意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于1MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D。BD即为所求。22）依据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再依据等角平等边可证出结论。（2012甘肃白银7分）为了推动乡村新式合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理地点以以下图），请你用尺规作图的方法确立点P的地点．要求：写出已知、求作；不写作法，保存作图印迹．【答案】解：已知：A村、B村、C村，第16页共19页求作：一个医疗点P，使P到该镇