全国高中数学联赛河南赛区预赛(高二)

２０８年第２期２７２０１８年全国高中数学联赛河南赛区初赛（高二）中图分类号２４７９Ａ文章编号００６４２０２０２７０４Ｇ４文件表记码、填空题（每题８分共６４分已知函数／若的１．（＊＝／？定义域为域为＞＾７＞ＪＵ的值为Ａ２已知在棱长为６的大正四周体内放个小正四周体若小正四周体可在大四周体内随意转动则小正四周体棱长的最大值为

并设厶０价厶／＾厶／＾５的面积挨次为ＳＳＳＳ则５已知均为正数则的最大值为６若（２＊＋４＝§以￡２则Ｓ％除以３的余数为３在Ａ＋的睁开式中全部奇数项７设经过定点Ｍ０的直线与抛物ａ的和为已知点在且知足＝知戶若＋４内线Ｊ／交于ｖＱ两点ＰＭＭ＾２为常数的值为ＱＡＰ＝ＡＢ＋则ａＡＣ，ｊｊ由卜ｎｍｏｄｐ１１ｌ＾＾于是６ａｒｕ易知（包括重复的数每个会合中的每个二次剩客ｆ（ａ，ｂ＝＜＾ｆ（ｂａ＝０＾ｆ（＝ｂａａ）０由（１知＆６〇〇＝＾《＋？）故／ｅ由概括假定６ａａ）０ｗｏ因为６＞ａ＞且ｕａ＋ｖ６ｌ所以ｕ＞０＾

余被计算了两次二次节余的个数的倍记１在卜素的个数为ｍ则知所求之和是小于｜的二２中元Ａ（ｍｏｄ／＜专｝引理得证由引理知对于全部的ａ６６Ａ／ａ６当且仅当ａ模６的逆属于会合Ｕ，２，６１且最多有｜个对于随意奇素数；整数赛〇／〇０＝当《（〇￡／〇）且仅当模Ｐ的逆小于ｆ

＾ｆ（ｐ＝ｎ２ｍ而在区间卜内完整平方数的个数为（熊斌供给李建泉翻译）２８８将圆的组？平分点分别染上红色或蓝色从随意点开始按逆时针方向挨次记录ＫＡ矣Ａ心个点的颜色称为该圆的个“阶色序”当且仅当两个Ａ阶色序对应位Ａ置上的颜色起码有个不相同时称为不一样的Ａ阶色序若随意两个３阶色序均不同样则ｎ的最大值为二６分已知、ｃｏｓａ＋Ｐ＝ｃｏｓａ＋ｃｏｓｐ求ｃｏｓ的最大值三２０分已知方程２６＊ｙ＋４ｙ＝１７？１３４ｘ＋６ｙ＋３０在平面上表示椭圆求它的对称中心及对称轴四０分在数列中ａ为给定的非２ａ零整数ａ？＝ａｎ＋ａ？＋）若ａ＝４ａ＝１求ａ（６７０１（２证明从中定能选用无量多项构成两个不一样的常数列五０分ＡＣ的边长分别为２已知△Ｂ？６、Ｃ且知足＝２ａｌｃａｂｃ６能否存在边长均为整数的△４ＢＣ？若存在求出三边长若不存在说明原因参照答案、１０注意到／Ｕ＝｜（＊ｌ）＋｜＜｜则Ａ矣＝＜ａｒ矣ｙ＾于是／Ｕ在区间ｍｎ上为增函数ｆ（ｍ＝＋＝ｋｍ，ｒｒｉｍ故ｆ（ｎｎｋｎｍ＝０舍或（）ｎ＝２ｋ）＜０（

中等数学ｊｍ＝ｋ）＜０２１２．２由小正四周体可在大正四周体内随意转动知小正四周体棱长最大时为大正四周体内切球的内接正四周体记大正四周体的外接球半径为及小正四周体的外接球大正四周体的内切球半径为ｒ易知＝／！故小正四周体棱长的最大值为ｘ６２Ｉ３５２易知ｗ的睁开式全部奇数ｖ５＋）中项的和为复数的实部。、。到故（？，。全＋＝（１０２４（ｌ＋ｆ＝５２５１２Ａ４５４３注意到＝ＰＡ＋ｊＰＣＰＡｊ（ＰＢ贝Ｊ５裔＋４苑＋３应０故５４３Ｓ办由题意知Ｍ矣ａｂｃ联合Ｍ得＝＞２０８年第２期故财及当且仅当ｃ＝２６＝４ａ２及时获得６令ａ＝０得ａ。＝４＂分别令ａ和＊将得到的两式相加得Ｓａ＝ｙ＋２）ｚ故ｌ＞＋２６４＝＋＾ｎｌｌ＝ｍｏｄ３７２设直线的参数方程为ｘ＝ａ＋ｃｏｓａｙｓｎａ此中为参数ａ为倾斜角且ａ６０代入抛物线方程得ｓｎａ４＾ｃｏｓａ４ａ＝０设该方程的两根为＾则４ｃｏｓａ４ａＭ＋ｈ＝ｓｉｎａｓｎａ既啊ＰＭ＋丄（＾２）ｈｔ２２ｃｏｓａ＋ｇｓｎａ常数所以＝ａ２８．８在３阶色序中因为每个点的颜色均有两种选择则３阶色序共有ｘ２ｘ种２２８由个点可以构成个３阶色序知ｎ在８于是ｎ＝８可以取到比如按逆时针方向确立八个点的颜色为“红红红蓝蓝蓝红蓝”切合条件二、由题意得

ｃｏｓａｃｏｓｐｓｎａ＝ｓｎｐｃｏｓａ＋ｃｏｓ８２９ＭＪ（ａｓｉｎａ．ｓｉｎ＾８＝ｃｏｓ）ｃｏｓ８ｃｏｓａ０Ｐ记点（８ｓ＃ｃｏｓ直线ｃｏａｎａｙｃｏａ０则点的轨迹方程为单位圆＊＋／＝１且／点Ｐ在直线上故圆心０到直线的距离为００ｄ？＾／（ｃｏｓａ＋ｎａ）（ｓ＝？ｃｏｓａ＋２ｃｏｓａ２＾０１＾ＣＯＳＱ＾Ｊ３１进而ｃｏｓａ的最大值为Ａ三易知点４ｉｆ均在椭圆上设椭圆的对称中心为ａ６）则由对称性知点Ａ（２ａ２ｂ＼）Ｂ（２ａｌ２ｂ＋ｌ）均在椭圆上代入已知方程得１７（２ａｌ１６２〇ｌ）２６ｌ）＋４２６ｌ３４２ａｌ＋６２６ｌ＋１３（（＝〇，①７（２ａ６（２ａ）（２６＋）＋４（２６＋３４（２ａ）＋６（２４＋）＋１３）＝０②②①得并化简ｂ２ａ２③将式③代人式①并化简得４ａ２８ａ＋４＝０ａ＝６＝０ｌ则该椭圆的对称中心为〇因为对称轴经过对称中心故可设对称轴方程为ｙ＝ｋ（ｘｋ＾０设点４对于直线ｙ＊的对称点为４＊ｙ则〇〇Ｈ兮Ｈｙ〇１１ｓｘ０１ｋ３０ｋ＋２ｋ＋Ｘ〇＝ｋ２＋ｌｒ＝＞Ｑｋｒ＾Ｔ又点皂在椭圆上则１７？含６０ｙ０＋４ｙＪ３４＊０＋１６ｙ０＋１３＝０将式④代人上式并化简得＿０１３＊８＝因为Ｏ所以ＷＵ３ｋ＝０＝＝１３Ｓｋ＞１〇所以所求椭圆的对称轴方程为３±５＝尤ｙ６四易知ａ＝４７＝ａ＝３，ａ＝２ａ＝１６９ａａ０ａ〇〇０注意到自第２０项起每三个相邻的项周期地取值１〇又２０８９＋６６６ｘ３＋故ａ０＝２先证明数列＜必在有限项后出（）现“０”项假定Ｗ中没有“〇”项因为ａ？＋＝〇＋于是当办３时均有ａ＞若ａ＞ａ？则＋ａ＋＝ａ＋ａ＾ａ＋ｌｎ彡３若ａ＜ａ则＋ａ＋＝〇〇＋＾〇Ｕ？５３进而ａ２要么比ａ起码小要么比ａ起码小１°ａ＞ａＡ＋２令？＝＝２）６°＋°＾％＋专０＜６６１则＋因为卜为确立的正整数这样下去必

中等数学存在某项＜０这与ｈ＞０矛盾故中必有“〇”项项为ａ记若第次出现的“０ＭＭ＃０则自第ｎ项开始每三个相邻的项周期地取值〇ＭＭ即°？ａａ＾＝＝＋＊＋＋其０＝因此数列Ｕ中定能选用无量多项构成两个不一样的常数列五、不如设ａ彡６５ｃ明显ｃ＞２若ｃ＞５此时士士由ａ６ｃ＝２ａｌ）６ｌｃ得（矛盾故ｃ只能取２３４⑴若ｃ＝２＝＝＝ａ６（ａ６）＾ｏ＋６又ａ彡６彡２故无解⑵若＝３ｃ则３ａ６４ａ６）ａ４４＝２＝＞６又ａ彡ｂ彡３解得（ａ６＝１６１０６５８）（）（