2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何86双曲线学案理

8．6双曲线[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．会合＝{|||1|－|2||＝2}，|12|＝2c，此中a，c为常数且>0，>0：PMMFMFaFFac当a<c时，P点的轨迹是双曲线；当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2y2＝1(>0，>0)y2－x2＝1(>0，>0)2－222aabababb图形续表13．必记结论焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线?离心率e＝2?两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊疗自测]1．观点思辩(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x2y2mn220.( )

x2y2＝0，即xy＝2－2±mnmn(3)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于2.( )x2y2y2x21＋(4)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与2－2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则2abbae112＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )e2答案(1)×(2)√(3)√(4)√22．教材衍化(1)(x2y2x22选修A1－1P53T3)已知椭圆＋＝1和双曲线－y＝1有公共的焦点，那么双曲线85m的渐近线方程是()33A．x＝±6yB．y＝±6x22C．x＝±2yD．y＝±2x答案D2＋y22分析由椭圆x＝1和双曲线x－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，85m所以双曲线方程为x2－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.应选D.221(2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则此双曲线的离心率为________．答案51a12分析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以b＝2，即b＝2a.由c222222c2c＝a＋b，得c＝a＋4a＝5a，即a2＝5，所以e＝a＝5.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线：2－2＝3(>0)的一个焦点，则点F到C的Cxmymm一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m答案A分析由题意知，双曲线的标准方程为x2y22222－＝1，此中a＝3m，b＝3，故c＝a＋b3m3＝3m＋3，不如设F为双曲线的右焦点，故F(3m＋3，0)．此中一条渐近线的方程为y＝1x，即x－＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3·m＋1|＝3，应选A.mmy1＋－m2x2y2(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：a2－b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个极点在E上，，的中点为E的两个焦点，且2||＝3||，则E的离心率是________．ABCDABBC答案222分析由已知得|AB|＝|CD|＝a，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.4b2因为2|AB|＝3|BC|，所以a＝6c，3又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－12(舍去)．题型1双曲线的定义及应用x2y2典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线4－12＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12利用双曲线定义获得|PF|＋|PA|＝2a＋|PB|＋||，再利用||＋||≥||求出最小值．PAPAPBAB答案Bx2y2的左焦点F的坐标为(－4,0)分析由题意知，双曲线4－12＝1，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋2＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当，，B三点共线且P在，B之间时取等号．4－1APA|PF|＋|PA|的最小值为9.应选B.12225)2典例2(2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C：(x＋5)＋y＝4，C：(x－＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为________．依据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，而后用定义法求解．2x答案－y＝1分析设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r＞2，||＝r＋2，||＝－2，于是有1或1|CC|＝r－2|CC|＝r＋2，22∴||1|－|2||＝4＜25＝|12|，即圆心C的轨迹L是以1，2为焦点，4为实轴长CCCCCCCC的双曲线，x2y2∴L的方程为42－242＝1，25－22即x－y2＝1.4方法技巧应用双曲线定义需注意的问题在双曲线的定义中一是不可以遗漏“绝对值”，不然轨迹是双曲线的一支；二是“常4数”小于|F1F2|，不然轨迹是线段或不存在．求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练：x2y21．(2017·衡水模拟)已知△的极点，分别为双曲线－＝1的左、右焦点，ABPABC169|sin－sin|极点P在双曲线上，则sinP的值等于( )47A.B.545C.4D.7答案Ax2y2|sin－sin|分析由16－9＝1得a＝4，b＝3，c＝5.联合双曲线定义及正弦定理得sinP＝||PA|－|PB||2a4|AB|＝＝，应选A.2c5222．已知双曲线x－y＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝π，则△PF1F21693的面积为________．答案93分析由题意，得|F1F2|＝216＋9＝10.||1|－|2||＝8，PFPF因为|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosπ＝100，3所以|1|·|2|＝36.PFPF所以△1|·|2|sinπ12＝|1＝93.SPFF2PFPF3题型2双曲线的标准方程及应用x2y2典例(2018·兰州检测)已知双曲线4－b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线订交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )x23y2x24y2A.4－4＝1B.4－3＝1x2y2x2y2C.4－4＝1D.4－12＝1此题采纳方程法．5答案D分析不如设A(x0，y0)在第一象限，由题意得222x0＋y0＝2，①2x0·2y0＝2b，②by0＝x0，③16由①③得x0＝4＋b2，④2b2164b2所以y0＝4×4＋b2＝4＋b2，⑤由②④⑤可得b2＝12.x2y2所以双曲线的方程为4－12＝1.应选D.[条件研究1]若将典例中条件变成“以|12|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点FF为(3,4)”，求双曲线的方程．b4解因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，a＝3.又c2＝a2b2a＝3，＝4，所以此双曲线的方程为x2y2＋，所以－＝1.b916x22[条件研究2]若将典例中变成“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆4＋y＝1共焦点”，求双曲线的方程．x22x2y2解椭圆4＋y＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，412222x22＝1.所以2－2＝1，a＋b＝3，解得a＝2，b＝1，所以所求双曲线方程是－yab2方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法．2．待定系数法．提示：利用求待定系数法求双曲线标准方程的要点是：设出双曲线方程的标准形式，根x2y2据已知条件，列出对于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线a2－b2＝1，有相x2y2同渐近线时可设所求双曲线方程为a2－b2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练x2y21．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )6x222y2A.4－y＝1B．x－4＝13x23y23x23y2C.20－5＝1D.5－20＝1答案Ab1x22分析由题意得c＝5，a＝2，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为4－y＝1.应选A.2．(2018·福建漳州模拟)已知双曲线x2y2F，ab221F2，P为双曲线C右支上异于极点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0)，且P与点bxF1对于直线y＝－a对称，则双曲线的方程为________________．y2答案x－4＝1分析设点(1,0)，因为△12的内切圆与x轴切于点(1,0)，则|1|－|2|＝|1|APFFPFPFAFbx－|AF2|，所以2a＝(c＋1)－(c－1)，则a＝1.因为点P与点F1对于直线y＝－a对称，所12π|1|b1222PF1222以∠FPF＝2，且|PF2|＝a＝b，联合|PF|－|PF|＝2，|PF|＋|PF|＝4c＝4＋4b，可得＝2.所以双曲线的方程为2－y2＝1.4题型3双曲线的几何性质角度1与双曲线有关的范围问题(多维研究)x22典例(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：2－y＝1上的一点，F1，F2是C→→，则y的取值范围是()0123333A.－3，3B.－6，622222323C.－3，3D.－3，3→→的不等式求解．012答案A分析不如令1为双曲线的左焦点，则2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2FF＝3，∴F1(－3，0)，F2(→→3，0)，则MF1·MF2＝(－3－x0)·(3－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x02＋y02－3.233x0－222→2＝32∴－0<又知y0＝1，∴0＝2＋20，∴→1·y0－1<0.3<，应选A.2xyMFMFy37[条件研究]→→→→将本例中条件“MF1·MF2<0”改为“MF1·MF2＝0”，求△MF1F2的面积．解由→1·→2＝0得1⊥2，知△12为直角三角形．设M为双曲线右支上一点，MFMFMFMFMFF12＝12＋|22122＋12则|MF|－|MF|22，|MF|MF|＝(|MF|－|MF|)2|MF|·|MF|＝12，得121212角度2与双曲线渐近线有关的问题x2y2典例(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．波及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．2答案y＝±2x分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)．x2y2由a2－b2＝1，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，x2＝2py，2pb2y1＋y2＝a2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，ppp∴y1＋2＋y2＋2＝4×2，即y1＋y2＝p，2221b2∴a2＝p，即a2＝2，∴a＝2，2∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.角度3与双曲线离心率有关的问题典例(2016·全国卷Ⅱ12x2y2M在E)已知F，F是双曲线E：a2－b2＝1的左、右焦点，点1上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝3，则E的离心率为()3A.2B.2C.3D．21将等式sin∠MF2F1＝3转变成对于a，b，c的等式．8答案A分析由1⊥x轴，可得M－c，b2，MFab211222∴|MF1|＝a.由sin∠MF2F1＝3，可得cos∠MF2F1＝1－3＝3，又tan∠MF2F1＝2211＝，∴＝3|MF|bb，∴b2＝FF|acac221232－2e－1＝0，∴e＝2.应选A.方法技巧

222222222222ac，∵c＝a＋b?b＝c－a，∴c－a－ac＝0?e2与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略c1．双曲线的离心率e＝a是一个比值，故只要依据条件获得对于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，而后变形成对于e的关系式，而且需注意e＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法c2a2＋b2b2(1)求a，b，c的值，由a2＝a2＝1＋a2直接求e.(2)列出含有，，的齐次方程(或不等式)，借助于2＝2－2消去b，而后转变成关abcbca于e的方程(或不等式)求解．2222x2y2x2y2x3．求双曲线a－b＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令a－b＝0，即得两渐近线方程a±y＝0.b冲关针对训练1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右极点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2答案D22分析设双曲线E的标准方程为x2－y2＝1(a>0，>0)，则(－a,0)，(0)，不如设abbABa,点M在第一象限内，则易得M(2a，3a)，又M点在双曲线E上，于是2a23a2a2－b2＝1，可22b2得b＝a，∴e＝1＋a2＝2.应选D.22222．(2018·成都统考)已知>>0，椭圆1的方程为x2＋y2＝1，双曲线2的方程为x2－y2abCabCab93＝1，C1与C2的离心率之积为2，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．±2＝0D．2x±＝0xyy答案A分析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝a2－b2a2＋b2a，e2＝a.因3a4－b43b41b2为e1·e2＝2，所以a2＝2，即a＝4，所以a＝2.2故双曲线的渐近线方程为y＝±ax＝±2x，即x±2y＝0.应选A.题型4直线与双曲线的综合问题典例1以P(1,8)为中点作双曲线为y2－4x2＝4的一条弦AB，求直线AB的方程．此题采纳“点差法”．y22＝4，1解设A(x，y)，B(x，y)，则12211222－42＝4，yx(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1＋x2)(x1－x2)，∵弦AB的中点是P(1,8)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝16.16(y1－y2)＝8(x1－x2)，y－y21∴直线AB的斜率为1x1－x＝，221∴直线AB的方程为y－8＝2(x－1)，即直线AB的方程为x－2y＋15＝0.典例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右极点为(3，0)．求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不一样的交点→→此中OA和B，且OA·OB>2(为原点)，求k的取值范围．直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，而后求解．22解(1)设双曲线方程为x2－y2＝1(>0，>0)．abab2222x22由已知得a＝3，c＝2，于是a＋b＝2，b＝1，故双曲线C的方程为3－y＝1.10将y＝kx＋2代入x2－y2＝1，得3(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线交于不一样的两点，得1－3k2≠0，62k2＋361－3k2＝361－k2>0，212即k≠3且k<1.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，62k－9则xA＋xB＝1－3k2，xAxB＝1－3k2.→→由OA·OB>2，得xAxB＋yAyB>2.xx＋yy＝xx＋(kx＋2)(kx＋2)ABABABAB＝(2AB2(ABkxxxkx2－962k＝(k＋1)1－3k2＋2k·1－32＋2k3k2＋73k2－1.3k2＋7－3k2＋9于是32－1>2，即3k2－1>0，k解得1k2k2<1，<<3，又∵313<k2<1，故k的取值范围为3∪3.－1，－33，1方法技巧x2y2直线y＝kx＋m与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的地点关系的剖析：y＝kx＋m，1．代数法x2y222222222消去y，得(b－ak)x－2kmax－a(m＋b)＝0.a2－b2＝1，b二次项系数为0时，直线Lk＝±a与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点．二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，>0?直线与双曲线订交(两个交点)；＝0?直线与双曲线相切；<0?直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形联合思想考察直线与渐近线的地点关系，转变成其斜率的大小关11系．冲关针对训练x22若双曲线E：a2－y＝1(a＞0)的离心率等于2，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．求k的取值范围；(2)若|AB|＝63，点C是双曲线上一点，且→→→，求k，m的值．OC＝m(OA＋OB)c＝2，a2＝1，解(1)由a得2a2＝c2－1，c＝2，故双曲线E的方程为x2－y2＝1.y＝kx－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2－y2＝1，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A，B两点，k＞1，故2－41－k2＝2kk＞1，即－2＜k＜2，

×－2＞0，所以1＜k＜2.故k的取值范围是{k|1＜k＜2}．(2)由(*)得x1＋x2＝22k，12＝22，k－1xxk－1∴||＝1＋k2·x1＋22－412ABxxx22－k2＝21＋k＝63，k2－12整理得28k4－55k2＋25＝0，25255∴k＝7或k＝4，又1＜k＜2，∴k＝2，所以x1＋x2＝45，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.→→→设C(x3，y3)，由OC＝m(OA＋OB)，得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)(45m,8m)．∵点C是双曲线上一点，221∴80m－64m＝1，得m＝±4.1故k＝2，m＝±4.12x2y2m＋n3m－n22离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)答案A分析2222由题意可知：c＝(m＋n)＋(3m－n)＝4m，此中c为半焦距，2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1，∵方程x2－y2＝1表示双曲线，22m＋n3m－n∴(2＋)·(32－)>0，mnmn22∴－m<n<3m，∴－1<n<3.应选A.x2y252．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝2x2y2x，且与椭圆12＋3＝1有公共焦点，则C的方程为()x2y2x2y2A.8－10＝1B.4－5＝1x2y2x2y2C.－＝1D.－＝15443答案Bx2y2x2y2分析解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为4－5＝k(k>0)，即4k－5k＝1，x2y24k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程∵双曲线与椭圆12＋3＝1有公共焦点，∴x2y2为4－5＝1.应选B.解法二：∵椭圆x2y2x2y2＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴1231232225b52a＋b＝(±3)＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y＝2x，∴a＝2②，联立①②可解得a24，b2＝5.∴双曲线C的方程为x－y＝1.45应选B.x2y23．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右极点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．23答案313b分析如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝ax，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝ab22.a＋b又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，33ab322∴d＝2MA＝2b，即a2＋b2＝2b，∴a＝3b，ca2＋b223aa＝.24．(2018·兰州诊疗)若双曲线x222－y2＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为π，离心率ab3为e，则a2＋eb的最小值为________．26答案3π分析由题意，可得k＝a＝tan3＝3.2b2b2∴b＝3a，则a＝3，∴e＝1＋a2＝2.2b2＋22b226a＋e3bb＝b＝3＋b≥23×b＝3.当且仅当b2＝6，a2＝2时取“＝”．[要点保分两级精选练]一、选择题x2y21．(2018·唐山统考)“k<9”是“方程25－k＋k－9＝1表示双曲线”的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案A14x2y2(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴分析∵方程25－k＋k－9＝1表示双曲线，∴x2y2“k<9”是“方程25－k＋k－9＝1表示双曲线”的充分不用要条件，应选A.2y22．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x－3＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点sin∠PF2F1→→)P使＝e，则FP·FF的值为(sin∠PFF22112A．3B．2C．－3D．2答案Bsin∠21|1|分析由题意及正弦定理得PFF＝PF＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定sin∠PFF|PF122义知|PF|－|PF|＝2，∴|PF|＝4，|PF|＝2，又|FF|＝4，由余弦定理可知cos∠PFF＝12121221|2|2＋|12|2－|1|24＋16－161→→→→1＝4∠PFF＝2×4×＝22122121应选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其订交于，N两FM点，MN中点的横坐标为－2()，则此双曲线的方程是3x2y2x2y2A.3－4＝1B.4－3＝1x2y2x2y2C.5－2＝1D.2－5＝1答案D2y2x11x2y2a2－b2＝1，①分析设双曲线方程a2－2＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x2y2b22a2－b2＝1.②①－②，得y1－y2b2x1＋x2＝2·.x1－x2ay1＋y2b2－232223又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，应选D.4．过双曲线x2－y2＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样2的直线l有( )A．1条B．2条C．3条D．4条15答案C分析设(，y)，(，y)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由1122x＝3，x2y2得y＝±2，－2＝1，∴||＝|y1－2|＝4知足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝(－3)，由ABykxy＝kx－3，x2－y2＝1，2得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0.当223k23k2＋2122122|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x222＋8＝1＋k2223k212k－2k－2k－21＋k216k2＋141＋k2＝k2－22＝|k2－2|＝4，解得k＝±23条．应选C.，故这样的直线有221x22与双曲线5．(2016·浙江高考)已知椭圆C：m＋y＝1(m>1)

x22C2：n2－y＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．<且12>1D．<且12<1mneemnee答案A22－12分析在椭圆中，a1＝m，c1＝m－1，e1＝m.在双曲线中，a2＝n，c2＝n＋1，e＝n2＋1222222n12122－1n2＋12－12，则222－12－1＝21>0，即2>1.应选A.m22＝2m212－1＝2m2－221m·nm·m－2eemmm－2eem5x2y26．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为2的双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△1222＝16，则双曲线的实轴长是()OMFA．32B．16C．84D．4答案B16bbc分析由题意知F2(c,0)，不如令点M在渐近线y＝ax上，由题意可知|F2M|＝a2＋b2＝，所以||＝22.由△2＝16，可得1＝16，即＝32，又222c5c－b＝aaba＋b＝c，＝，bOMSOMF2aba2所以＝8，＝4，＝45，所以双曲线C的实轴长为16.应选B.abcx2y2a27．(2018·湖南十校联考)设双曲线a2－b2＝1的两条渐近线与直线x＝c分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是AFB()A．(1，2)B．(2，2)C．(1,2)D．(2，＋∞)答案B22y＝±bx，x＝2ab，不如设分析双曲线x2－y2＝1的两条渐近线方程为a时，y＝±abacca2aba2abAc，c，Bc，－c，ab33c3a1a2∵60°＜∠AFB＜90°，∴3＜kFB＜1，∴3＜c－a2＜1，∴3＜b＜1，∴3＜c2－a2＜c1，∴1＜e2－1＜3，∴2＜e＜2.应选B.8．(2017·福建漳州八校联考x2y2x2y2)已知椭圆C1：2＋2＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：2－2＝a1b1a2b21(a2＞0，b2＞0)有同样的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若1⊥2，则412＋22的最小值为()PFPFeeA.5B．429C.2D．9答案C分析由题意设焦距为2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|1|－|2|＝cPFPF2a，①2由椭圆定义知|PF|＋|PF|＝2a，②121又∵1⊥212222，③PFPFPFPFc22，得|PF|2PF|2221212将④代入③，得2＋2c212＝2，aa224c2c2222222522921∴4e＋e＝＋＝1＋122＋≥＋221＝，当且仅当222＝＋222·212222222221a21a212a12aaaaa222a2a12＝22C.2＝2，即12时，取等号．应选aa2aa19．(2017·青州市模拟)已知中心在座标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦17点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为1，2，则e1·2的取值范围是( )PFeee11，＋∞A.，＋∞B.53C.1D．(0，＋∞)9，＋∞答案A分析设椭圆和双曲线的半焦距为c，|1|＝，|2|＝(>)，PFmPFnmn因为△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，即有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，由双曲线的定义可得m－n＝2a2，即有a1＝5＋c，a2＝5－c(c<5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c＋2c>10，5可得c>2，即有2<c<5.由离心率公式可得ccc22＝1e1·e2＝·＝25－c，a1a225c2－125，则有11因为1<2<425>.c3c2－1121，＋∞.应选A.则e·e的取值范围为310．已知椭圆x2y2>0)的离心率为3x2－y2＝1的渐近线与椭圆C：2＋2＝1(>.双曲线Cabab2有四个交点，以这四个交点为极点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()x2y2x2y2A.8＋2＝1B.12＋6＝1x2y2x2y2C.16＋4＝1D.20＋5＝1答案D3分析∵椭圆的离心率为2，ca2－b23222∴a＝a＝2，∴a＝2b.∴椭圆的方程为x＋4y＝4b.∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为25，25，5b5b∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为25255b×b＝4，518∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.x2y2∴椭圆C的方程为20＋5＝1.应选D.二、填空题1x2y2222＝1上，点R在曲线11．若点P在曲线C：16－9＝1上，点Q在曲线C：(x－5)＋yC3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．答案10分析依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，所以有|PQ|－||≤|(|2|＋1)－(|1|－1)|≤||2|－|1||＋2＝2×4＋2＝10，故||－||的最PRPFPFPFPFPQPR大值是10.x2y222a212．过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x＋y＝4的切线，→1→→切点为E，延伸FE交曲线右支于点P，若OE＝2(OF＋OP)，则双曲线的离心率为________．答案102分析圆x2y2a2a→1→＋→E是FP的中点，设′(0)，由＋＝的半径为，由＝()知，42OE2OFOPFc,1于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝2|PF′|?|PF′|＝2|OE|＝a.由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，进而∠FPF′＝90°.由勾股定理，得|FP|22222210＋|F′P|＝|FF′|?9a＋a＝4c?e＝.213．(2018·安徽江南十校联考)已知l是双曲线C：x2－y2＝1的一条渐近线，P是l上24的一点，1，2是C的两个焦点，若→1·→2＝0，则P到x轴的距离为________．FFPFPF答案2分析由题意取1(－6，0)，2(6，0)，不如设l的方程为y＝2，则可设(0，FFxPx→→－6－x0，－2x0)·(6－x0，－22x0)，由PF1·PF2＝(2x0)＝3x0－6＝0，得x0＝±2，故P到x轴的距离为2|x0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点同样，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”．已知1，2是一对有关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠12FFFPF＝60°时，这一对有关曲线中双曲线的离心率是________．答案3分析设椭圆的半长轴为a1，椭圆的离心率为e1，c则e1＝，a1＝.a1e1设双曲线的实半轴为a，双曲线的离心率为e，19ce＝a，a＝e.|PF1|＝x，|PF2|