2022-2023学年浙江省金华市永康三中九年级（上）第一次独立作业数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市永康三中九年级第一学期第一次独立作业数学试卷一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一个骰子，出现8点朝上 B．三角形的内角和是180° C．汽车经过一个有红绿灯的路口时，前方恰好是绿灯 D．明天考试，小明会考满分2．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P＝，则下列说法正确的是（）A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5 C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近3．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（）A．12个 B．9个 C．6个 D．3个4．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆，等腰三角形，直角三角形，菱形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．15．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°6．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm7．如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（）A．3 B．4 C．2 D．48．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°10．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A． B． C．﹣ D．﹣2二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．12．从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为．14．某辆有轨电车共有3节车厢，设乘客乘坐任意一节车厢的机会均等，若甲、乙两位乘客同时乘坐同一列有轨电车，则甲和乙乘坐同一节车厢的概率是．15．若圆中的一条弦和半径相等，则这条弦所对的圆周角为．16．如图，桥拱关于水面AB反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽AB＝6米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是米．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．18．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）求两次取出的小球标号和等于4的概率．19．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．20．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”21．学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（2）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．22．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．（1）求证：AC∥DF；（2）若AB＝12，求AC和GD的长．23．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300500…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123203…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176293…m：n0.6890.6940.6890.706（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近（结果精确到0.1）．（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近（结果精确到0.1）．（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

参考答案一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一个骰子，出现8点朝上 B．三角形的内角和是180° C．汽车经过一个有红绿灯的路口时，前方恰好是绿灯 D．明天考试，小明会考满分【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可．解：A、抛掷一个骰子，出现8点朝上，是不可能事件，故A不符合题意；B、三角形的内角和是180°，是必然事件，故B符合题意；C、汽车经过一个有红绿灯的路口时，前方恰好是绿灯，是随机事件，故C不符合题意；D、明天考试，小明会考满分，是随机事件，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．2．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P＝，则下列说法正确的是（）A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5 C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近【分析】根据频率和概率的关系直接判断即可．解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近正确，故选：D．【点评】本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（）A．12个 B．9个 C．6个 D．3个【分析】由口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，∴口袋中球的总数为：4÷＝12（个）．故选：A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆，等腰三角形，直角三角形，菱形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．1【分析】由圆，等腰三角形，直角三角形，菱形中是中心对称图形的有圆、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵圆，等腰三角形，直角三角形，菱形中是中心对称图形的有圆、菱形，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：＝．故选：B．【点评】此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形．5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．解：∵∠BOC＝130°，点A在上，∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm【分析】分类讨论：分点在圆外或点在圆内进行讨论．解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm﹣3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直径＝6cm+3cm＝9cm，即该圆的直径为3cm或9cm．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．7．如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（）A．3 B．4 C．2 D．4【分析】连接OA，OC交AB于D点，如图，利用弦AB垂直平分OC得到OD＝CD＝1，则利用勾股定理可计算出AD＝，然后根据垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．解：连接OA，OC交AB于D点，如图，∵弦AB垂直平分OC，∴OD＝CD＝OC＝1，在Rt△AOD中，AD＝＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝2AD＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了线段垂直平分线的性质．8．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．解：连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝20°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°【分析】根据∠B度数求出的度数，再求出的度数，再求出∠CAD的度数即可．解：∵∠B＝70°，∴的度数是140°，∵D是的中点，∴和的度数都是70°，∴∠CAD＝70°＝35°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．10．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A． B． C．﹣ D．﹣2【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．利用勾股定理求出OB，可得结论．解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．解：摸出红球的概率为＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．12．从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是．【分析】先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案．解：，π是无理数，P（恰好是无理数）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为55°．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝125°，∴∠C＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．14．某辆有轨电车共有3节车厢，设乘客乘坐任意一节车厢的机会均等，若甲、乙两位乘客同时乘坐同一列有轨电车，则甲和乙乘坐同一节车厢的概率是．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙乘坐同一节车厢的结果有3种，则甲和乙乘坐同一节车厢的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．15．若圆中的一条弦和半径相等，则这条弦所对的圆周角为30°或150°．【分析】画出图形，利用等边三角形的性质得到∠AOB度数，利用圆周角定理求出弦AB所对的圆周角即可．解：如图所示，OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∵四边形ACBD为圆O的内接四边形，∴∠ADB＝150°，若圆中的一条弦和半径相等，则这条弦所对的圆周角为30°或150°，故答案为：30°或150°【点评】此题考查了圆周角定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．16．如图，桥拱关于水面AB反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽AB＝6米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是（3﹣）米．【分析】如图，连接AP，OP，AO，CO，OP交AB于点T，交CD于点J．证明△AOP是等边三角形，求出PT，JT即可．解：如图，连接AP，OP，AO，CO，CD，OP交AB于点T，交CD于点J．由题意AB⊥OP，PT＝OT，∴AP＝AO＝OP，∴△AOP是等边三角形，∴∠AOT＝60°，∵AT＝TB＝AB＝3米，∴PT＝OT＝＝（米），OA＝2OT＝2（米），∵＝，∴∠COJ＝∠COA＝30°，∴OJ＝CO•cos30°＝3（米），∴JT＝OJ﹣OT＝3﹣，故答案为：，（3﹣）．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型．18．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）求两次取出的小球标号和等于4的概率．【分析】（1）根据题意可画出树状图，根据树状图即可求得所有可能的结果；（2）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号和等于4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）画树状图得：则共有16种等可能的结果；（2）∵两次取出的小球标号和等于4的有：（1，3），（2，2），（3，1），∴两次取出的小球标号和等于4的概率为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．19．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由＝得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∵＝，∴AB＝AC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键．20．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”【分析】根据垂径定理得出AE＝BE＝5寸，利用勾股定理列方程可求出半径，进而求出直径．解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝5（寸），设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1寸，∴OE＝（x﹣1）寸，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA2﹣OE2＝AE2，即x2﹣（x﹣1）2＝52，解得：x＝13（寸）所以CD＝26（寸）．答：这块圆形木材的直径为26寸．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提．21．学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（2）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图即可；（2）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论．解：（1）画树状图如下：∴有六种可能的结果；（2）不公平，理由如下：由（1）知，2×3＝6是3的倍数；2×5＝10不是3的倍数；4×3＝12是3的倍数；4×5＝20不是3的倍数；6×3＝18是3的倍数；6×5＝30是3的倍数；故小诚获胜的概率为＝，小明获胜的概率是，∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平．【点评】本题主要考查游戏的公平性，根据概率得出游戏的公平性是解题的关键．22．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．（1）求证：AC∥DF；（2）若AB＝12，求AC和GD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ACD＝∠CDF，可得结论；（2）由垂径定理和圆周角定理可求∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，可证△ACO是等边三角形，可得AC＝AO＝6，由勾股定理可求AG的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵AG＝CG，∴∠DCA＝∠CAF，∵＝，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CDF，∴AC∥DF；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝3＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3﹣AG）2+9，∴AG＝2，∴GE＝，∴DG＝4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300500…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123203…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176293…m：n0.6890.6940.6890.706（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7（结果精确到0.1）．（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4附近（结果精确到0.1）．（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．解：（1）20÷29≈0.69；59÷91≈0.65；123÷176≈0.70，…当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；故答案为：0.7．（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，故答案为：0.4．（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.4，解得：a＝10π，【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE