新高考高二下学期期中考试必刷真题强化训练（广东卷）期中专题01 数列大题综合 解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页期中专题01数列大题综合1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，（）.(2)，（）.【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和，结合已知条件联立方程可求出和，即可求出通项公式.（2）表示出，裂项相消求和即可.【详解】（1）解：由题可知，，即，解得，，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，所以，（）.2．（2022春·广东广州·高二校考期中）记是公差不为的等差数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最小值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可求得，由此可得；（2）由等差数列求和公式可得，由可得不等式，解不等式求得的范围，进而得到的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，解得：，.（2）由（1）得：；由得：，化简得：；解得：或，又，的最小值为.3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差数列满足：，，其前项和为(1)求数列的通项公式及；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意及等差数列通项公式得到方程组，解得、，即可求出通项公式及前项和；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，∴，(2)解：由（1）可得，∴数列的前项和为4．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）设是首项为的等比数列，且、、成等差数列．(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用分组求和法可求得.(1)解：设等比数列的公比为，则，因为、、成等差数列，则，可得，解得，所以，.(2)解：，所以，.5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，．(1)求数列、的通项公式；(2)设的前项和分别为，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式；（2）利用等比数列的公式求出答案.【详解】（1）当时，，当时，，又，满足上式故的通项公式为，设等比数列的公比为，因为，，所以可看作方程的两根，解得：或，因为等比数列单调递增，所以舍去，故，解得：，故的通项公式为；（2）由等比数列求和公式得：.6．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）设数列的前n项和为.已知，(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与得关系，计算即可得出答案；（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.【详解】（1）解：当时，由，得，两式相减得，所以，，，所以，所以数列是以1为首项，为公比得等比数列，是以；（2）解：，则，，两式相减得，所以.7．（2022春·广东广州·高二统考期中）已知等比数列的各项均为正数，，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意列出方程求得进而求得数列的通项公式；（2）由，结合题意求得，得到，利用乘公比错位相减法，求得数列的前项和为，进而证得，即可求解.(1)解：设等比数列的公比为，因为，，可得，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得因为与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，可得，所以，所以，设数列的前项和为，可得，则，两式相减，所以，因为，所以，所以，即.8．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知数列、满足，若数列是等比数列，且．(1)求数列、的通项公式；(2)令，求的前项和为.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由条件解出的公比后求通项公式，由指数幂的运算性质求；（2）写出的通项公式，由错位相减法求和．【详解】（1）

当时，，，又，∴

是以为首项，为公比的等比数列，

∴当时，由累加法可得：，又当时，也适合上式，∴（2）

∴①∴②①-②得：

∴9．（2022春·广东佛山·高二校考期中）在等比数列中，公比，其前n项和为，且，______．从①，②，③是与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列满足，，求数列的通项公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）无论选哪一个，都利用等比数列的通项公式进行求解即可；（2）利用裂项相消法、累和法进行求解即可.(1)选条件①．由及，得，，两式相减得，即，所以，又，所以，代入，得，解得，所以数列的通项公式为．选条件②．因为，，所以，，两式相除，得，又，所以，所以，解得，所以数列的通项公式为．选条件③是与2的等差中项．由是与2的等差中项，得，即，又，所以，所以，，消去，得，又，所以，代入，得，所以数列的通项公式为．(2)由（1）得，，当时，．又也符合上式，所以数列的通项公式是．10．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前50项和.【答案】(1)，.(2)3066.【分析】（1）由可推出，从而得是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求得，设数列的公差为d，利用等比数列的通项公式建立方程，求解即可；（2）数列的前50项即为数列的前56项删去数列中的前6项，利用分组求和求数列的前项和.(1)因为①，所以②，由②①得，即，当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，设数列的公差为d，，，所以，所以，.(2)因为，，所以数列的前50项即为数列的前56项删去数列中的前6项，故所求数列的前50项和.所以.11．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）已知数列的前n项和为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得及，利用等比数列的通项公式可求的通项公式；（2）利用分组求和可求数列的前2n项和.(1)因为，①，所以当时，，解得，当时，②，①－②得即，而，故，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；(2)由（1）得，所以.12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）等差数列前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根据题中给的等式求解出数列的首项和公差，再写出通项公式即可；（2）根据数列的通项公式求解数列的通项公式，进而求解其前项和，最后根据不等式的知识求解的最小值．(1)设等差数列的公差为，首项为，则，解得，所以数列的通项公式为．(2)，，由题得，解得，因为，所以的最小值是8．13．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）已知数列的前n项和为，且．(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n＝1时，，解得，当时，由①，得②，①－②得，，∴，∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，∴，∴，，∴，∴．14．（2022春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列中，，.(1)求，并证明为等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由递推公式化简，根据等比数列的定义证明（2）由分组求和法求解(1)，，，故是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由（1）得，即，15．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知数列中，，，且.(1)设，证明数列是常数列；(2)求数列的通项公式，并求数列的的前项和；(3)设，求数列的前2022项的和.【答案】(1)证明见解析(2)，(3)【分析】（1）根据递推公式可得即，再由即可得证；（2）由（1）可得，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式及前项和公式计算可得；（3）依题意可得，列出的前几项，即可找到规律，从而得解；(1)证明：因为，，且所以，又，即，，又，所以，即是常数列；(2)解：由（1）可得，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，记数列的的前项和为，则；(3)解：因为所以所以，，，．所以同理可得，，，，所以，，每经过4个数循环一次，且，，所以，记数列的前项和为，所以，，16．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知数列是公差大于1的等差数列，前项和为，，且2，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）利用基本量代换求出公差d，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消法求和，即可证明.(1)设数列的公差为d（d>1）.由题意可得：，即，解得：（舍去）.所以.即.(2)由（1）可知：，所以.所以.所以.即证.17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知为等差数列的前项和，若______.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①②，用基本量法即可求出通项公式，选③，根据和的关系即可求解.(2)利用裂项相消法，即可求解.(1)解：若选①，，则，解得，所以；若选②，，则，解得，所以；若选③，当时，当时，所以，当时也成立，所以(2)因为，所以18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列满足，记.(1)求证：数列是一个等差数列；(2)求数列的前10项和.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由递推公式化简后证明（2）求出的通项公式，由裂项相消法求解(1)，，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由（1）知，，，故19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列满足，，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列的前n项和为，求.【答案】(1)，；(2)．【分析】(1)由等差数列的通项公式可求、，进而可求、；(2)根据通项公式的特征，采用裂项相消法求其前n项和．(1)等差数列中，，，，解得，，；；(2)∵，∴，∴．20．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推关系，求出，再利用与的关系式求出；（2）首先求出，再利用裂项求和的方法求出.【详解】（1）因为，所以，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即当时当时，符合上式，所以的通项公式为.（2）由（1）得所以.21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a5＝5，S4＝7．(1)求an；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式建立方程组，求解即可；（2）由（1）得bn＝，运用裂项求和法可求得答案.(1)解：设等差数列{an}的公差为d，则解得，故an＝；(2)解：因为an＝，所以bn＝＝＝2(－)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2()

＝2＝.22．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为万平方公里，第n年绿洲的面积为万平方公里.(1)求第n年绿洲的面积与上一年绿洲的面积的关系；(2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：）【答案】(1)，；(2)证明见解析，；(3)第6年.【分析】（1）根据给定条件，列式、化简即可作答.（2）利用（1）中等式，变形并结合等比数列定义判断，求出通项公式作答.（3）利用（2）中结论，列出不等式，借助对数函数单调性求解作答.(1)依题意，，，所以.(2)由（1）知，，，即，又，有，于是得是以为首项，为公比的等比数列，则，所以.(3)由（2）知，，即，两边取常用对数得，则，即，所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%.【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，作等价变形，转化为基本数列求解.23．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列的前n项和，且，为等比数列数列的第2、3项．(1)求的通项公式；(2)设，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据可求出，从而可求出，则可得公比，从而可求出的通项公式，（2）先利用错位相减法求出，然后利用放缩法可证得结论(1)由，则当时，且时满足上式，所以，，设数列的公式为，则，所以，(2)令∴24．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，推出的递推关系，从而判定是等比数列，进而求得通项公式；（2）利用（1）的结论，求出和，根据的特征采用裂项相消法求其前项和(1)当时，，则.当时，，则，即，从而是首项为2，公比为4的等比数列，故.(2)由（1）可得，则，则.25．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）等差数列的首项，公差设为，由，，成等比数列，则，即，即，解得，所以.（2）由题意，，设数列的前项和为，则，，两式相减得即，化简得.26．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列为单调递增的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合等比数列性质可构造方程组求得，由此可得公比，由等比数列通项公式可求得；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果.【详解】（1）数列为单调递增的等比数列，，或（舍），数列的公比，.（2）由（1）得：，，，两式作差得：.27．（2022春·广东韶关·高二校考期中）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.28．（2022春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足：.（1）求与；（2）记，求的前项和；（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）,

（2）