2022-2023学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝02．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝33．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝04．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则方程的另一个根为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．35．已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点6．下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆 B．正五边形是中心对称图形 C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等7．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°8．如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三条中位线的长度 B．已知△ABC的面积 C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30° D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的外接圆半径的长为．12．如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝．13．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．14．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为．15．已知m为方程x2﹣3x﹣2022＝0的根，那么2m2﹣6m﹣2021的值为．16．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为．17．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，⊙O的半径为1，点P是AC边上一动点，则由点P到⊙O的切线长PQ的最小值为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．20．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a﹣2＝0．（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根．22．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A＝105°，BD＝CD．（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）24．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴代数式y2+4y+8的最小值为4．（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；（2）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？27．已知关于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）．（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，求整数k的值；（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，1）在平面内运动．①若点P在⊙M上，求a的值；②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围．28．【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQ．N若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．【理解应用】（1）如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝；（2）如图3，⊙O中，，D是上一点，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点；【拓展提升】（3）如图4，A，P，B，C是⊙O上的四个点，AB＝AC＝2，求PB・PC的值．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝0【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．解：A、该选项a可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、该选项有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；C、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；D、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝3【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．3．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根，进行判断．解：A、Δ＝﹣16＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣12＝﹣11＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点评】此题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．4．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根，则方程的另一个根为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【分析】根据x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根和两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可以求得方程的另一个根．解：设方程x2+ax+2＝0的另一个根为b，∵x＝1是方程x2+ax+2＝0的一个根，∴1×b＝2，解得b＝2，故选：A．【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．5．已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．解：∵平面内有一点到圆心O的距离为5，5＞3．∴该点在圆外，∴点N符合要求．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．6．下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆 B．正五边形是中心对称图形 C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：A、不在一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；D、三角形的内心到三角形三边的距离，故本选项错误；故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB＝∠BCD＝36°，进而可得∠ABD的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．在同圆或等圆中，圆周角是所对圆心角的一半．8．如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三条中位线的长度 B．已知△ABC的面积 C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30° D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和【分析】由题意S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2）推出S1＝2S△ABC+S2，推出S1﹣S2＝2S△ABC．再一一判断即可．解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S＝（a，b，c是三角形的三边，p＝（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；C：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AD＝AC•sin∠ACB＝AC，在△ADC和△ADB中，∴CD＝AC，BD＝＝，∴S△ABC＝•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故C选项不符合题意；D：∵已知AB，AC两边长度和，∴AB，AC的长度不确定，∴△ABC的面积也不确定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题三角形综合题，考查了三角形的面积，圆等知识，解题的关键是学会用割补法求阴影部分的面积，本题的突破点是证明S1﹣S2＝2S△ABC．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是1．【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于2．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．解：∵方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0是一元二次方程且常数项为0，∴，解得：m＝2．故答案为：2【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的外接圆半径的长为2．【分析】根据正多边形的中心角的计算公式、等边三角形的性质解答．解：设正六边形的中心为O，连接OE、OD，∵六边形是正六边形，∴∠EOD＝＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴OE＝ED＝2，即它的外接圆半径的长为2，故答案为：2．【点评】本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的相关概念是解题的关键．12．如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝140°．【分析】求出∠BAC＝70°，由圆周角定理可得出答案．解：∵∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵O是△ABC的外心，∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．13．如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为32°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵点C在上，且与点A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案为：32．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．14．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为1．【分析】先解一元二次方程，根据勾股定理解得三角形的斜边，利用直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半，可得结果．解：解方程x2﹣7x+12＝0得，x1＝3，x2＝4，由勾股定理得，斜边为5，∴此直角三角形的内切圆的半径为＝＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟记直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半是解答此题的关键．15．已知m为方程x2﹣3x﹣2022＝0的根，那么2m2﹣6m﹣2021的值为2023．【分析】先把m代入方程x2﹣3x﹣2022＝0，得到m2﹣3m＝2022，再代入代数式2m2﹣6m﹣2021，即可求出答案．解：把m代入方程x2﹣3x﹣2022＝0，得到m2﹣3m﹣2022＝0，所以m2﹣3m＝2022，所以代数式2m2﹣6m﹣2021＝2×2022﹣2021＝2023；故答案为：2023．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，是一个基础题．16．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为π﹣．【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB＝π，再根据三角形面积公式求出S△AOB＝，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2，∴S扇形AOB＝＝π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC＝，∴S△AOB＝＝，∴阴影部分的面积为：π﹣；故答案为：π﹣；【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．17．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为cm．【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后计算8﹣2r即可．解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，根据题意得＝2πr，解得r＝，所以AB＝8﹣2r＝8﹣2×＝（cm）．故答案为：cm．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，⊙O的半径为1，点P是AC边上一动点，则由点P到⊙O的切线长PQ的最小值为．【分析】当PO⊥AC时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．解：如图，连接OP，OQ，AO，∵PQ与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PQ，∵OQ＝1，∴当OP最短时，PQ最小，∴当PO⊥AC时，线段PQ最小，∵AB＝AC＝5，BC＝6，点O是BC边中点，∴AO⊥BC，OC＝BC＝3，∴AO＝＝＝4，∴S△AOC＝S△ABC＝×6×4＝6，∴5×OP＝6，∴OP＝，∴PQ＝＝，∴点P到⊙O的切线长PQ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PO⊥AC时，线段PQ最短是关键．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：（1）∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，则x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵x（x﹣1）＝2（x﹣1），∴x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．解：连接OD．∵OC⊥ABDE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【点评】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形DFOE为矩形．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+a﹣2＝0．（1）如果该方程有实数根，求实数a的取值范围；（2）如果该方程有两个相等的实数根，求出这两个根．【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可求得其判别式等于0，可求得a的值，代入方程，求方程的两根即可．解：（1）当方程有实数根时，则可有△≥0，∴（﹣6）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤11，即当a≤11时，该方程有实数根；（2）当方程有两个相等的实数根时，则Δ＝0，∴（﹣6）2﹣4（a﹣2）＝0，解得a＝11，∴方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．22．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A＝105°，BD＝CD．（1）求∠DBC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求的长．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得的长．解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠A＝105°，∴∠C＝180°﹣105°＝75°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C＝75°；（2）连接BO、CO，∵∠C＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，故的长l＝＝π．【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为（5，5）；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆圆内．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）【分析】（1）线段BC，AB的垂直平分线的交点D，即为△ABC的外接圆的圆心．（2）求出AD的长，可得结论．（3）求出DE的长与AD比较，可得结论．解：（1）如图，点D即为所求，D（5，5），故答案为：（5，5）．（2）∵AD＝＝，∴△ABC外接圆的面积＝π•（）2＝29π．（3）∵DE＝＝，AD＝，又∵DE＞DA，∴点E在⊙D内部．故答案为：圆内．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是连接三角形的外心是各边垂直平分线的交点．24．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，根据总利润＝每斤的利润×销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，依题意，得：（y﹣4）（80+10×）＝100，整理，得：y2﹣14y+45＝0，解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）．答：小玲应该将售价定为5元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．【点评】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴代数式y2+4y+8的最小值为4．（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；（2）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣3）2+2，再根据非负数的性质得出最小值；（2）矩形养殖场的总面积是ym2，根据题意列出函数解析式以及x的取值范围，根据函数的性质求最值．解：（1）x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+2≥2，∴代数式x2﹣6x+11的最小值为2；（2）矩形养殖场的总面积是ym2，根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．27．已知关于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）．（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，求整数k的值；（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，1）在平面内运动．①若点P在⊙M上，求a的值；②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用根的判别式即可得出结论；（2）先求出x1，x2值，由x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，即可求解；（3）①先求出⊙M的半径，由点P在⊙M上可得PM＝AM＝3，即可求解；②求出特殊位置时，a的值，结合图形可求解．【解答】（1）证明：由题意可得：Δ＝（k+5）2﹣4×5k＝