2021届高考数学（理）考点复习：导数与函数的极值、最值（含解析）

2021届高考数学(理)考点复习

导数与函数的极值、最值

1.函数的极值与导数

f(xo)=O

条件xo附近的左侧/a)>o,右侧X0附近的左侧/(x)<0,右侧

f(x)<0fU)>o

人工』zT\

图象

0/

1Axo)

极值〃一)为极大值f(xo)为极小值

极值点X0为极大值点X0为极小值点

2.函数的最值

(1)在闭区间3,勿上连续的函数F(x)在m，句上必有最大值与最小值.

⑵若函数/(x)在团，包上单调递增，则皿为函数的最小值，辿为函数的最大值；若函数,(X)在［a,

力上单调递减，则为函数的最大值,缁)为函数的最小值.

【概念方法微思考】

1.对于可导函数f(x),"/的)=0”是“函数/(x)在x=x0处有极值”的条件.(填“充

要”“充分不必要”“必要不充分”)

提示必要不充分

2.函数的最大值一定是函数的极大值吗？

提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到.

1.(2019•新课标H)已知函数f(x)=(x-l)/nr-x-l.证明:

(1)f(x)存在唯一的极值点；

(2)/(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

【解析】(1)函数F(x)=(x-l)/nx-x-l.

•・J。)的定义域为(0,+oo),

r-11

f'(x)=------\-lnx-\-Inx——，

XX

y=/nr单调递增，y=1单调递减，，尸(外单调递增，

x

1历4-1

又r(1)=-l<0,f(2)=ln2-^^-^->Q.

存在唯一的-e(l,2),使得—(一)=0.

当x<x0时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

当x>x°时，f(x)>0,/(x)单调递增，

.1/(X)存在唯•的极值点.

(2)由(1)知/'(Xo)cf(1)=一2,

又川)=/-3>0,

.1/(x)=0在(尤0,+8)内存在唯一的根x=a,

由a>/>1,得!<1<%，

a

J/~111/⑷A

f(一)=(V)ln------1=----=0,

aaaaa

：.-是/(x)=0在(O,xo)的唯一根，

综上，f(x)=O有且仅有两个实根，旦两个实根互为倒数.

2.(2019•江苏)设函数/(%)=(%-a)(x-72)(x-c),a,b,ceR,/(x)为/(x)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求。的值；

(2)若aw。，b=c,且/(x)和广(x)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/(九)的极小值;

4

(3)若。=0,c=l,且/*)的极大值为求证：M”一,

27

【解析】(1)a=b=c1f(x)=(x-a)3,

f(4)=8,.,.(4-〃)3=8,

:A-a=2，解得a=2.

(2)a丰b,b=c,S/(x)=(x-a)(x-b)2.

令/(x)=(x-a)(x—匕)2=°，解得x=〃,或x=/?.

[(X)=(x—b)2+2(x-a)(x-b)=(x-b)(3x-b-2a).

令r（x）=O，解得x=b，或x=2。；。.

/（x）和/*）的零点均在集合4={-3,1,3}中,

在o；1inii2a+b—6+15个+

：a=-3,b=\y则-----=-----=—史A,舍去.

333

1、niii2a+b2—31.—十

a=\rb=—Q3f则-----=----=—A,舍去.

333

a=-3,b=3,则速[3=-]任A,舍去..

,i,i2a4-b6+17.冬白

4=3,b=\,贝m-----=----=一在A,舍去.

333

b=3,则^=9走A,舍去.

4=1,

33

2a+b6-3].

a=3,b=T,则hll-----=----=1£A,.

33

因此a=3,/?=—3,+”=1eA,

3

可得：/(x)=(x-3)(x+3)2.

Ax)=3[x-(-3)](x-l).

可得x=l时，函数取得极小侑，f(1)=-2X42=-32.

(3)证明：a=0,0<0,1,c=l,

/(x)=x(x-Z?)(x-l).

ff(x)=(x-b)(x-1)+x(x-1)+x(x-b)=3x2—(2b+2)x+b.

△=404-l)2-12Z?=4/72-4Z?+4=4(/?--)2+3..3.

2

令/'(x)=3X2—(2b+2)x+b=0.

A/JZHb+l—\/b~—b+1/nLb+1+\/b~—b+l

解得：％=---------------e(0,-],x=----------------

3323

2b+2b

%+%==—，g=]，

可得太=百时，/(x)取得极大值为M,

/'(%)=3%；-(2b+2)x,+b=0,令玉=re(0,^J,

-73r-2t

可rZ得E3：b=------

2t-i

-t+2f-1

:.M=/(%,)=X|(X1-/?)(%(-l)=f(r-b)(t_1)=---------，

2/—1

…-6?+12?-8r2+2t

(21)2

令g«)=-65+12产一8f+2,

g\t)=-18r+24f-8=-2(3r-2><0,

函数gQ)在te(o,1]上单调递减，g(g)=[>0.

:.tg(t)>0.:.Mr>0.

：.函数MQ)在te(0,1]上单调递增，

14

M(f),,M(—)=—.

327

3.(2018•北京)设函数。(工)=版2-(3a+l)x+3a+2]e".

(I)若曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a；

(II)若/*)在x=l处取得极小值，求a的取值范围.

【解析】(I)函数/(幻=[0?-(3。+1比+34+2]炉的导数为

f'(x)=[ax2-(a+l)x+l]ex.

曲线y=/(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,

可得(4a-2a—2+1)/=0,

解得a2；

2

(II)/(x)的导数为r(x)=[ar2-(a+l)x+l]e'=(1)3-1)，，

若a=0则xvl时，f'(x)>0,/(x)递增；x>l,广。)<0,.f(x)递减.

x=l处f(x)取得极大值，不符题意；

若a>0,且a=l,则/(x)=(x-l)2e*..O,/(x)递增，无极值;

若则/(x)在d，1)递减；在(1,+OO),(-00」)递增，

aaa

可得/(x)在x=l处取得极小值；

若则4>1,f(x)在(1」)递减；在(L+°°)，(70,1)递增，

aaa

可得/（X）在X=1处取得极大值，不符题意;

若a<0,则L<1,7(x)在d，1)递增；在(l,+oo),(-8-)递减，

aaa

可得/(x)在X=1处取得极大值，不符题意.

练上可得，。的范围是(1,+00).

4.(2018•北京)设函数/(x)=[o?-(4a+l)x+4a+3k'.

(I)若曲线y=『(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求〃；

(II)若“X)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

【解析】(I)函数/(尤)=版2-(4.+以+44+3]/的导数为

f'(x)=[ax2-(2a+l)x+2]e'.

由题意可得曲线y=/(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0,

可得(a-加-l+2)e=0,月J(1)=3ew0,

解得<7=1；

(II)/(x)的导数为=[加_(2q+l)x+2]/=(x_2)(ar_l)e”,

若a=0则x<2时，/'(x)>0,/(x)递增；x>2,/'(x)<0,f(x)递减.

x=2处f(x)取得极大值，不符题意；

若a>0,且〃=；，则r(x)=g(x-2)2e、..O,/(幻递增，无极值；

若“>」，则,<2,/(x)在(工，2)递减；在(2,E),(-co」)递增，

2aaa

可得f(x)在x=2处取得极小值；

若Ova<,，则4>2,f(x)在(2」)递减；在d，+8)，(-8,2)递增，

2aaa

可得/(x)在x=2处取得极大值，不符题意；

若a<0,则,<2,f(x)在(工，2)递增；在(2,+oo),(-oo-)递减，

aaa

可得/(x)在*=2处取得极大值，不符题意.

综上可得，”的范围是(；，+00).

5.(2018•新课标III)已知函数/*)=(2+工+0¥2)打(1+幻一2人.

⑴若a=0,证明：当一IvxvO时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0；

(2)若x=0是/(%)的极大值点，求

【解析】(1)当a=0时，f(x)=(24-x)ln(\+x)-2x,(x>-l).

Yx

f\x)=ln{x+X)——r(x)=--不，

x+1(x+l)

可得%£(-1,0)时，/n(x)„0,X£(0,+O0)时，f,f(x)..O

.■1(x)在(TO)递减，在(0,”)递增，

・••/'(尤)./(0)=0，

f(x)=(2+x)ln(l+x)-2x在(-1,+00)上单调递增,又/(0)=0.

・•・当—IvxvO时，/(x)<0：当％>0时，/(%)>0.

(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(l+x)-2x,得

“一、[八、2+x+ax2cor2-x+(1+2ax)(l+x)ln(x+1)

f\x)=(1+2ax)ln[\+x)+-----------2=---------------------------,

x+1x+1

令h(x)=ax2-x4-(14-2or)(l+x)ln{x+1),

"(x)=4ax+(4or+2tz+V)ln(x+1).

当a..O,x>0时，h\x)>0,/z(x)单调递增，

h(x)>h(O)=Of即r(x)>0,

.•."x)在(0,yo)上单调递增，故％=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.

当av0时，/?”(幻=8。+4abi(x+1)+-——，

x+1

显然〃〃⑺单调递减，

①令〃'(0)=0,解得“=」.

6

.,.当一l<x<0时，h"(x)>0,当x>0时，h'\x)<0,

.•.”(X)在(-1,0)上单调递增，在。”)上单调递减，

h'(x)„厅(0)=0,

.■»(x)单调递减,又〃(0)=0,

.,.当一1<x<0时，//(%)>0>即f\x)>0,

当x>0时,〃(x)<0,即f\x)<0,

・••/(幻在(-1,0)上单调递增，在(0,+oo)上单调递减,

.•」=0是/(x)的极大值点，符合题意；

11+6“1+6。

②若一L<a<0，则/'(0)=l+6a>0,h"(e-1)=(2a-1)(1-e77)<0,

6

.•./?”(x)=0在(0,+a))上有唯一一个零点，设为X。，

.•.当0cxe用时，h"(x)>0,6(x)单调递增,

.•.〃(x)>〃(0)=0,即_f(x)>0,

.•./(X)在(0,%)上单调递增，不符合题意；

③若则〃"(0)=l+6a<0,〃"(4-l)=(l-2a)e2>0,

6e-

.,./z"(x)=0在(—1,0)上有唯一一个零点，设为西，

.•.当不<尢<0时，〃"(x)<0,〃(x)单调递减，

.•.厅(x)>〃(0)=0,.[Mx)单调递增，

/.h(x)<〃(0)=0,即fr(x)<0,

在(%,0)上单调递减，不符合题意.

综上，a=---・

6

6.(2017•全国)已知函数，(工)=办3一33+1)/+12%.

(1)当。>0时，求/■“)的极小值；

(ID当④o时，讨论方程/(4)=()实根的个数.

【解析】f'(x)=3ax2-6(6?4-l)x+12=3(ar-2)(x-2).

(1)当a>0时，令/*)=0,得％=2或%=一；

a

7

①当0<a<l时，有±>2,列表如下:

a

X(f2)2

2(2,-)

aaa

f'M+0—0+

fM极大值极小值

故极小值为-2)=13=a.

aa

②当a=l时，有2=2,贝I」/'(X)=3(X-2)2..0,故f(x)在R上单调递增，无极小值:

a

7

③当a>l时，有*<2,列表如下:

a

Xy,2)2(工⑵2(2,+oo)

aaa

f\x)+0—0+

f(x)极大值极小值

故极小值为/(2)=12—4a.

(II)解法一：①当a=0时，令/(工)=一3入二+12x=-3x(x-4),得x=0或x=4,有两个根;

②当avO时，令:(工)=0,得x=2或x=±,W-<0<2,列表如下：

aa

X2(2⑵2(2,31

aaa

f'M—0+0—

fM极小值极大值

故极大值为/(2)=12-而>0,极小值/(2)=坦二<0,因此/(x)=0有三个根.

aa"

解法二：①当a=0时，令/(x)=-3x2+12x=-3Mx-4),得工=0或x=4,有两个根；

②当av0时，/*)=乂/一3(。+1)元+12],对于二次函数y=ax2-3(a+l)x+12,x=0不是该

二次函数的零点，△=9(〃+1)2-24。>0,则该二次函数有两个不等的非零零点，

此时，方程/(幻=0有三个根.

7.(2017•山东)已知函数f(x)=%2+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e、2.71828…是

自然对数的底数.

(I)求曲线>=/(%)在点(万，/(九))处的切线方程；

(II)令〃(x)=g(x)-a/(x)(awR),讨论"3的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【解析】(/)/(乃)=/一2.f\x)=2x-2sinx,:.于'(兀)=2冗.

二.曲线y=/(x)在点(乃，/'(%))处的切线方程为：丁一(乃2一2)=21。一不).

化为：7.TIX-y-7T-2=0.

(II)h(x)=g(x)-af(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)

h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)

=2(%-sinx)(ex-a)=2(x-sinx)(ex-elfK,).

令〃(x)=x-sinx,则/(x)=l-cosx..O,「.函数〃(x)在R上单调递增.

M(0)=0,/.x>0M,u(x)>0；xvO时，u(x)<0.

x

(1)«,0时，e-a>09,•.%>()时,//(x)>0,函数〃(x)在(0,”)单调递增;

x<0时,〃(无)<0,函数6(x)在(-oo,0)单调递减.

.•.x=0时，函数/?(x)取得极小值，/z(0)=-l-2a.

(2)a>0时，令〃'(x)=2(x-sinx)(e'—e"'a)=0.

解得%,=Ina，x2=0.

①0<a<1时，xe(-oo,//?a)时，ex-elmi<0,h'(x)>0,函数h[x)单调递增；

xG(/“a,0)时，ex-elmi>0,〃(x)<0,函数/?(x)单调递减；

xe(0,M)时，ex-eln,>0,〃(x)>0,函数〃(x)单调递增.

.,.当x=0时，函数为(x)取得极小值,h(0)=-2a-i.

当x=/〃。时，函数k(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(/〃a)+cos(/〃a)+2].

②当a=1时，lna=0,xeR时，〃(x)..O,.•.函数〃(x)在R上单调递增.

③l<a时，lna>0,xe(fo,0)时，ex-elna<0,厅(x)>0,函数/?(x)单调递增；

xe(0,//ia)时，ex-e'"a<0,//(%)<0,函数人。)单调递减；

xe(痴,+oo)时，ex-elm>0,/7'(x)>0,函数〃(x)单调递增.

.,.当x=0时，函数力(x)取得极大值，/?(0)=-2a-l.

当x=时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(/na)+cos(/〃a)+2].

综上所述：见0时，函数/z(x)在(0,+a))单调递增；x<0时，函数/i(x)在(-oo,0)单调递减.

x=0时,函数以无)取得极小值,ft(0)=-l-2a.

0<”1时，函数/?(x)在xw(-oo,/〃a),(0,+oo)是单调递增；函数〃(x)在xe(/〃a,0)上单调递减.当

x=0时，函数力(x)取得极小值，2-.当x=/〃，时，函数〃(x)取得极大值，

h(lna)=-a[ln2a-llna+sin(/〃a)+cos(lna)+2].

当a=l时，lna=0,函数〃(x)在R上单调递增.

a>l时，函数〃(x)在(-oo,0),(痴,+=o)上单调递增；函数/?(x)在上单调递减.当x=0时,

函数〃(x)取得极大值，〃(0)=-2a-1.当x=/〃时，函数/z(x)取得极小值，

h(lna)=-a[ln2a-llna+sin(/n«)+cos(/〃a)+2J.

8.(2017•江苏)已知函数/(x)=X3+底+6x+l(a>0,beR)有极值，且导函数广⑴的极值点是f(x)

的零点.

(I)求6关于。的函数关系式，并写出定义域；

(II)证明：b2>3a；

(III)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-1，求实数。的取值范围.

【解析】(I)解：因为/(工)=丁+改2+版+1,

所以g(x)=f\x)=3x2+2cix+b，g，(x)=6x+2。,

令g，(x)=O,解得x=-1.

由于当x>-@时g'(x)>0,g(x)=f\x)单调递增；当x<-]时g\x)<0，g(x)=f'(x)单调递减;

所以/‘(X)的极小值点为x=-1,

由于导函数r(x)的极值点是原函数/(X)的零点，

所以f(—g)=0,BP-—+—+1=0,

32793

所以6=3C+』(a>0).

9a

因为fW=x3+ax2+bx+l(a>0,bsR)有极值，

所以/'W=3f+2办+力=0有实根，

Q

所以44-126>0,EPa2------->0,解得a>3,

3a

所以/,=肛+3(4>3).

9a

(II)证明：由(1)可知〃(a)=/?2-3a=--—+4=—^(4a3-27)(a3-27),

813a281a2

由于a>3,所以〃(a)>0,即〃>3"；

2

cm)解:由(1)可知小)的极小值为((，)=〃-《,

设玉，工2是y=/(X)的两个极值点，则玉+W=-日，X]X2,

所以/(%)+/(%)=X/+工2,+。(入/+%2)+双王+々)+2

2

=(x,4-X2)[(X(+X2)-3XjX2]+4(-^1+々)2-2九]入21+"(X|+x2)+2

4d2abc

=--------+2,

273

又因为/(X),广(幻这两个函数的所有极值之和不小于-g,

2ab,3a2_7

-------F2=—

所以T+93a~9,~2

因为。>3,所以2/一63。一54,,0,

所以2a(a2-36)+9(。一6)„0,

所以(。-6)(2/+12〃+9)„0,

山丁。>3时2/+12々+9>0,

所以。一6»,0,解得④6,

所以。的取值范围是(3,6J.

9.(2017•新课标II)已知函数/(%)=以2一方一动优，且/(x)..0.

(1)求〃；

(2)证明：/(x)存在唯一的极大值点小,且/</(/)<21.

【解析】(1)因为/*)=以2-依一="一。一历幻(尤>0),

则/(x)..O等价于〃(%)="-二一/次.0,求导可知〃'(X)=〃一L

X

则当小0时”(x)vO,即y=/i(x)在(0,+oo)匕单调递减，

所以当天>1时，h(x0)<h(1)=0,矛盾，故a>0.

因为当0<x<2时〃(x)<0、当x>2时〃(x)>0,

aa

所以〃(X)丽,=力(3，

a

又因为〃(1)=a-a-ln\=0

所以_L=],解得。=1：

a

另解：因为f(1)=0,所以f(x)..O等价于f(x)在x>0时的最小值为/(1),

所以等价于在x=l处是极小值，

所以解得4=1：

(2)由(1)可知/(》)=*2-x-x/m:,f\x)=2x-2-lnx,

令r(x)=O,可得2x-2—/ra;=0,记f(x)=2x—2—/nr,则«x)=2-4，

X

令«x）=0,解得X=；,

所以/（x）在区间（0,；）上单调递减，在（；，+8）上单调递增，

所以f（x）*="［）=及2-1＜°，Xr（4）=4＞0.所以f（x）在（0,3上存在唯一零点，

2e~e~2

所以f（x）=0有解，即r（x）=0存在两根X。，々，

且不妨设了'（X）在（0,不）上为正、在（X。，/）上为负、在（工2，+8）上为正，

所以/（x）必存在唯一极大值点x0.且2x0-2-bvc0=0,

2

所以/（%）=X；-x0-xQltvcu=匕2-x0+2XQ-2x；=X。-x0,

由X。＜；可知/（X。）＜（%一/2）,皿=_*+；=%

.111

由/'㈠v0可知"v-＜一,

ee2

所以/（x）在（0,%）上单调递增，在（％,3上单调递减，

e

所以，（为）＞/（3=4；

ee~

综上所述，存在唯一的极大值点与，旦I＜/（/）＜2-2.

10.（2016•山东）/（x）=xlnx-ax1+（2a-l）x,awR.

（i）令g@）=r（x）,求g（x）的单调区间;

（2）己知f（x）在x=l处取得极大值，求正实数a的取值范围.

【解析】（1）由/'（元）=历x—2ar+2a,

可得g（x）="zx-2ax+2a,X£（O,-H»）,

所以g，（x）=L-2a=上匚竺，

XX

当X£（0,+oo）时，g\x）＞0,函数g（x）单调递增；

当。＞0,xe（0,—）gf（x）＞0,函数g（x）单调递增，

2a

XG（—,+＜x＞）时，g'（x）＜0,函数g（x）单调递减.

2a

所以当④0时，g（x）的单调增区间为（0,转）；

当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0,1-）,单调减区间为（」-,+8）.…（6分）

2a2a

（2）由（1）知，:（1）=o.

①当0<a<1时，—>1,由(1)知_f(x)在(0,」-)内单调递增，

22〃2。

可得当xw(0,D时,f\x)<0,当xw(l」)时,f'(x)>Q.

2a

所以/(x)在(0,1)内单调递减，在(1,」-)内单调递增，

2a

所以/(X)在X=1处取得极小值，不合题意.

②当4=1时，—=1,/'(X)在(0,1)内单调递增，在(1,内)内单调递减，

22a

所以当%£(0,+co)时，f\x\,0,f(x)单调递减，不合题意.

③当时，/*)在(0,」-)上单减，

22a2a

当xe(」-,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

2a

当X£(l,+oo)时:r(X)<0,/(X)单调递减.

所以/3)在X=1处取极大值，符合题意.

综上可知，正实数〃的取值范围为(；，+00).…(12分)

11.(2017•北京)已知函数，(x)=e'cosx—x.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程：

(2)求函数f(x)在区间［0,上的最大值和最小值.

【解析】(1)函数f(x)=excosx-x的导数为f'M=ex(cosx-sinx)-1,

可得曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为k=e0(cosO-sinO)-l=0,

切点为(0,e°cosO—0),即为(0,1),

曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=l；

(2)函数f(x)=excosx-x的导数为f\x)=ex(cosx-sinx)-1,

令g(x)=e“(cosx-sinx)-l,

则g(x)的导数为g'(x)=e"(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx,

当x£［0,yj,可得g'(x)=-2exsin工,0,

即有g(x)在［0,g递减，可得g(x),,g(0)=0,

则/(x)在［0，§递减，

即有函数/0)在区间［0,'上的最大值为f(0)=e%os0-0=l；

最小值为/(-^)=e2cosy-=-

1.(2020•道里区校级一模)己知函数/(x)=x/ar-g(m+l)x2-x有两个极值点，则实数m的取值

范围为()

A.(」，0)B.(-1,1-1)C.D.(-l,+oo)

eee

【答案】B

【解析】由/(X)=皿n一；(加+1)W-X,

得f\x)=Inx-(m4-l)x,x>0.

要使f(x)=xlnx-^(m+l)x2-x有两个极值点，

只需/'(x)=妹-。%+l)x=0有两个变号根，即机+1=—有两个变号根.

x

A.live/八、.|，/、I-Inx

令g(zx)=­，(x>0)，则mg，(x)=——，

xx

山,(外=0得x=e,易知当xc(0,e)时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增；

当x£(e,+oo)时，g，(x)<0,此时g(x)单调递减.

所以g(x)M=g(e)=L

e

而g(1)=-e<0»lim=lim—=0,

6,r->+«]x-»+co|

作出y=g(j),y="7+l的图象，可知:

0<w+1<->解得一［<%<一1+1.

ee

故选3.

2.(2020•内江三模)函数/(x)=1+(l-2〃)x-2/nx在区间(g,3)内有极小值，则。的取值范围

是()

A.（-2,二）B.（-2,-1）

32

C.（-2,」）5」，+8）D.（-2,」）5」，+8）

3322

【答案】D

【解析】f'M=ax+（\+2a）--=吟（1=2〃）小=（竺堂）（七2）,

XXX

当。=0时，/Xx）=x-2,

,

所以在(；，2)上，/(x)<0/(x)单调递减,

在(2,3)上，f'(x)>0,f(x)单调递增,

f(2)为函数/(x)的极小值，符合题意，

当a>0时，令_f(x)=0,得》=一1,x=2,fi--<0<2,

aa

所以在(g,2)±,f\x)<0,/(x)单调递减，

在(2,3)上，/"(x)>0,/(x)单调递增，

f(2)为函数/(x)的极小值，符合题意，

当a<0时，令广。)=0,得x=-,，x=2,H0<--<2,

若f(x)在(g,2)有极小值，

--<2

只需“或」>2,

11

—>一a

.a2

解得一2<a<—，或—<〃v0，

22

11

或<

综上所述，-22--2-

故选。.

3.(2020•德阳模拟)已知函数/(幻=加-2工+服有两个极值点不，%,若不等式

/(%)+/心)<药+/+，恒成立，那么t的取值范围是()

A.[-1,+oo)B.[―2—2/〃2,+8)C.[—3—M2,+oo)D.[-5,+oo)

【答案】D

【解析】函数〃幻的定义域为(0,位)，

、2ax2-2x+1,八、

f\x)=---------------(x>0),

x

因为函数f(x)=or2-2x+/nx有两个极值点X1,x2,

所以方程2o%2-2x+l=0在(0,+oo)上有两个不相等的正实数根，

=4—8。>0

则<%+%=’>0，解得0<av1.

a2

1八

x.X-,=—>0

122a

因为

/(I+2X)2-2'

2

设力(a)=----1-ln2a,

a

IT!(a)=冬不，易知〃(a)>0在(0-)上恒成立，

a~2

故人(a)在(02)上单调递增，

2

故人(a)</i(-)=-5,

所以/…—5,

所以I的取值范围是[-5.-HO).

故选£).

4.(2020•汕头校级三模)已知函数/(x)=(x-1)，-；四2,+以只有一个极值点，则实数。的取值

范围是()

A.(-co,0][―>+oo)B.(-00,01[-,+oo)

23

C.(一8,0][；,+8)D.(-=0,-1][0,内)

【答案】A

【解析】/(X)=(x-l)e*-gae2'+ax,f'(x)=xex-ae2x+a,

/(X)只有一个极值点，.[ra)只要一个变号零点.

(I)当a=0时，f\x)=xe',易知x=0是/Xx)的唯一极值点；

(2)当“工0时，方程/''(x)=xe*-ae2"+a=0可化为'x=e"-0-”,

令g(x)=3x,h(x)=ex-e-x,可得两函数均为奇函数，

.•.只需判断x>0时，两函数无交点即可.

①当a<0时，g(x)=-x<0,h(x)=ex-e-x>0,所以g(x)与Mx)有唯一交点x=0,且当x>0

a

时,g(x)<〃(x)；当x<0时、g(x)>h(x).

.•.x=0是f(x)的唯一极值点；

②当a>0时，h'(x)=ex+e-x>0,即/?(x)在(0,w)上单调递增，且刀(0)=0,lim/i(x)=-H»,

X->+X>

设力(x)过原点的切线为丁=",切点为o，hri)[m>0),

,Hm

[e+p~=k

则<,解得m=0fk=2,

[ktn=em-e-m

如图所示，当y=1x在直线y=2x下方(第一象限)或与y=2x重合时，x=0是唯一交点，能

a

满足r(x)=o的变号零点，即函数『(X)的极值点，

综上所述，实数〃的取值范围为(801++»

故选A.

5.(2020•山西模拟)已知函数/•(x)=£-«//u-+2x+2)仅有一个极值点1,则实数r的取值范围是

XX

()

A.(-8,；］{(}B.c.||jD.(-00,；］

【答案】B

【解析】由题意知函数/(x)的定义域为(0,内)，

(x-l)(2x+3)(-^--f)

、(x-l)e*1c3、

f'(x)=-—一，(一+2一--)=2x+3

X~XXx~

因为函数恰有一个极值点1,所以一e一-1=0无解,

2x+3

令)()e*(2x+l)

g*=Sx>°'则g'(x)=>0,

(2X+3)2

所以g(x)在(0,yo)上单调递增，从而g(x)>g(0)=g,

xx

iee3

所以f,,一时，------E=0无解，/(x)=------，(从x+2x+-)仅有一个极值点1,

32x+3xx

所以f取值范围是(70,

故选8.

6.(2020•南平三模)函数/(©=：%3-；3+2*+工伍>0)在3”)内有极值，那么下列结论正确

的是()

A.当ae(0,e+L-2)时，ea-l>ae-'

e

B.当aw(e+1—2,W)时，ea'1<ae''

e2

C.当aeg,e)时，ea''>ae''

D.当ae(e,e+3时，ea''<ae''

e

【答案】B

【解析】令g(x)=r(x)=x2-(〃+2)x+l(a>0),则△=(a+2>-4>0,

若/⑴在(e,+oo)内仅有一个极值点，即g(x)在(e,+oo)内有一个零点,

a>0

则解得a>e+——2；

g(e)=e2-(a+2)e+1<0e

若/(x)在(仇小)内仅有两个极值点，即g(x)在(e,+a))内有两个零点,

。>0

则，g(e)=e?-m+2)e+1〉0,无解，

〃+2

---->e

2

.•.当a>e+!一2时，函数/(x)在(e,m)内有极值，

e

现考查不等式<a""，两边同时取对数可得，a-l<(e-\)lna,即l)lna<0,

令〃(a)=a-1-(e-V)lna,a>e+--2,

e

则〃(a)=l—U,令"(a)>0,解得a>e—l,

a

函数/?(a)在(e+1-2,e-l)上单调递减，在(e-l,-K。)上单调递增，

e

又h{e+——2)=e+——3—(e—l)ln(eH---2)

eee

<e-\---2-(e-V)lne=--1<0,h(e)=(e-1)-(e-l)lne-0,

ee

.,.当［£(6+1-2e)时，h(a)<0成立，即v优，.•.选项3正确.

e

故选8.

7.(2020•龙岩模拟)已知函数/(幻=二-or在(l,xo)上有极值，则实数。的取值范围为()

Inx

A.(7B.(-00,1)

【答案】B

【解析】广(幻=处?-。，设g(x)=%?=」-----二,

(//lx)2(//ix)2Inx(to)2

函数f(x)在区间(1,+oo)上有极值，

・•.T(x)=