典型例题与习题课第二章

|–A|=若|A|=0,则A–1=若AB=E,则A–1BB–1若ad–bc0, b

b d adbc a(AT)–1=(A–1)T,(AB)–1=B若A为正交矩阵则A–1初等矩阵的逆：P(ij)–1P(ijP(i(k))–1=P(i(1/k));P(i(k),j)–1=P(i(–k),j

A A A

As

22AA A 1

1A AA A

A. A.

(A*)T=(AA*=|A|

(kA)*=kn(A*)–1=(A–1)*=(AB)*=(A*)*1.|AB|=|A|2.|A1A2…An|=|A1||A2|…3.|AT|= |A–1|=|kA|n=kn|A*|n=三 a1 Aa2 an

B baa aa

a AB

n a a

ab n

nBA(b1a1b2a2bnan)btatt例 已知α=(1,2,3),β=(1,–1,A=αβB=βα求AB 1

2 6A'6

2

433 33 1

B' 22=3 3 A4=αβαβαβ

=α53β 设α=(1,2,3),β=(1,1/2,1/3),A=αβ,求An.1 1/2 1/3 3n1'3n133

3/

2/3.1122(1996入学试题)设A=E–XXE为n阶单位矩阵X为n1的非零矩阵, A2=(E–XX)(E–XX=E–2XX+X(X=E+(XX∴A2=AXX–2=–1X 若XX=1,则AX=EX–XXX=X而X非零,于是线性方程组AX=0有非零解. 练习设α=(1/2,0,…,0,1/2),矩阵A=E–αα,B=E+2αα,其中E为n阶单位矩阵,则AB= C.(A) (B) (C) (D)E+ 设矩阵A,B满足AP=PB,1 0 0

B

0 P

0,求

因为|B|=0,|P|=–1,所以B不可逆,P可逆, . .

0 1

0等式两边右乘P–1得A=

6 6 An=(PBP–1)(PBP–1)…(PBP–1)=当n=2k+1时

0 PBP A

0

66

B2

0,010 010 A2

P 0P 0110 0110 例 已知A6=E,求A11.其中

133

33

1 A11=A12A–1=A6•A6•A–1=3 1 23

3 123例4(1996 入学试题)设四阶矩 0 4B

0,C

3,0 1 1 2且矩阵A满足关系式A(E–C–1B)C=E化简此 A(E–C–1B)C==A(C–B)= A=((B–C

01

0

0.

0 1

1例5 设A为n阶可逆矩阵,且A对称,又(A–B)2=E,化简(A1BE)(EBA1)1. 由(A–B)2=E,得(EBA1 ((AB)A1 A(AA(AB) (A1BE)(EBA1(BA1E)A(A(BA)(A 0例 已知XA+E=A2–X,其中A

0576 576 即X(A+E)=A2 |AE|

032 A+E可逆

X=(A2–E)(A+E)–1=(A–E)55

0.6 6例 设A,B,C,D为n阶矩阵,且A可逆,AC=CA,证

BADCB 通过分块矩阵的初等变换,将分块矩 B

C D

0 0

A1 DCA1B

BDCA1B BADCA1BADACA1 ADCAA1BADCB 设A,B,C,D为n阶方阵,证B

A

AB两端取行列式由两端取行列式由

B

A

B AB.A . AB 0 B

0 A

A E AB两边取行列式,利用 a13

A

a23,

a a 33 13 0 P1 0,P2

0,则必有 1 1 (C)

(D)88(1995设 a13

a23A

a23, a33 33 13 0

P1

1,P2

0,则A= 0 1 (A) (C)

(B) (D) 例9(1997年 入学试题)设A为n阶可逆矩阵,B为A的第i,j行互换得到的.(1)证明B可逆 (2)求 |B|=B=P(i,j)AAB–1=[P(i,j)]–1AB–1=P(i,求秩的方法:定义与初等变换

n,R(A),R(A)n1R(A)n设PQ可逆R(A)=R(PAR(AQ 0

R(A)R(B). B例

aA

a

a 1 |A|0时R(A)=4;|A|=0时 A

(3a1)(1a)3 因此a1且a1时, a 或a时3

A当a=1时,显然当a 3 2 若矩阵11

2的秩为2,2a= 2(A) (B)0或 (C) (D)–1或11设A为43矩阵且R(A)=2, B

0

3 3 B

12

A

当k取何值时4k 3,当k取何值时4k

2 0A 041k 41k 1 1

k

7 7

k4 所以, 7k40,即k=17时,3当7k43

即k=17时 A 3

所以,k=17时R(A)=2<3;k17时在证明与计算化简中灵活运用它们的定义13A可逆,若A*对称则AA–1对称 (A1)(1A*)1(A*)1A*A