2019年高考数学复习解题思维提升专题16解析几何大题部分训练手册

专题16解析几何大题部分【训练目标】理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；掌握直线方程的5种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；掌握椭圆，双曲线的离心率求法；掌握直线与圆锥曲线的位置关系；掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法；【温馨小提示】本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。【名校试题荟萃】1、已知圆和圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设平面上的点满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。【答案】（1）或（2）或【解析】（1）设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，点到直线距离公式，得：求直线的方程为：或，即或；故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：,或解之得：点P坐标为或。2、已知椭圆与抛物线共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．【答案】（1），（2）（2）显然，，由，消去，得，由题意知，得，由，消去，得，其中，化简得，又，得，解得．设，，则．由，得．∴的取值范围是．3、已知椭圆：的离心率，点，点分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（Ⅱ）设直线的方程为，设，则，，，由于菱形对角线垂直，则，解得，即，，（当且仅当时，等号成立）.所以存在满足条件的实数，的取值范围为.4、已知椭圆．（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（-1，0）5、在平面直角坐标系中，椭圆：的短轴长为，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以解得，所以椭圆的方程为．在直角中，由，得，所以，解得，所以点的坐标为．6、已知点F是椭圆eq\f(x2,1＋a2)＋y2＝1（a>0）的右焦点，点M（m，0），N（0，n）分别是x轴，y轴上的动点，且满足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0.若点P满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))（O为坐标原点）．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x＝－a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．【答案】（1）y2＝4ax（2）经过【解析】（1）∵椭圆eq\f(x2,1＋a2)＋y2＝1（a>0）右焦点F的坐标为（a，0），∴eq\o(NF,\s\up6(→))＝（a，－n）．∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝（－m，n），∴由eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，得n2＋am＝0.设点P的坐标为（x，y），由eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))，有（m，0）＝2（0，n）＋（－x，－y），eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－x，,n＝\f(y,2).))代入n2＋am＝0，得y2＝4ax.即点P的轨迹C的方程为y2＝4ax.解法二：①当AB⊥x时，A（a，2a），B（a，－2a），则lOA：y＝2x，lOB：y＝－2x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＝－a，))得点S的坐标为S（－a，－2a），则eq\o(FS,\s\up6(→))＝（－2a，－2a）．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x，,x＝－a，))得点T的坐标为T（－a，2a），则eq\o(FT,\s\up6(→))＝（－2a，2a）．∴eq\o(FS,\s\up6(→))·eq\o(FT,\s\up6(→))＝（－2a）×（－2a）＋（－2a）×2a＝0.②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝k（x－a）（k≠0），Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),4a)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),4a)，y2))，同解法一，得eq\o(FS,\s\up6(→))·eq\o(FT,\s\up6(→))＝4a2＋eq\f(16a4,y1y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－a），,y2＝4ax，))得ky2－4ay－4ka2＝0，∴y1y2＝－4a2.则eq\o(FS,\s\up6(→))·eq\o(FT,\s\up6(→))＝4a2＋eq\f(16a4,（－4a2）)＝4a2－4a2＝0.因此，以线段ST为直径的圆经过点F.7、如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x－4）2＋y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【答案】（1）－eq\f(1,4)（2）-11法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB＝60°，可得kHA＝eq\r(3)，kHB＝－eq\r(3)，∴直线HA的方程为y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)＋2，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－4\r(3)＋2，,y2＝x，))得eq\r(3)y2－y－4eq\r(3)＋2＝0，∵yE＋2＝eq\f(\r(3),3)，∴yE＝eq\f(\r(3)－6,3)，xE＝eq\f(13－4\r(3),3).同理可得yF＝eq\f(－\r(3)－6,3)，xF＝eq\f(13＋4\r(3),3)，∴kEF＝－eq\f(1,4).（2）法一：设点H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4－7m2＋16，HA2＝m4－7m2＋15.以H为圆心，HA为半径的圆方程为：（x－m2）2＋（y－m）2＝m4－7m2＋15，①⊙M方程：（x－4）2＋y2＝1.②①－②得：直线AB的方程为（2x－m2－4）（4－m2）－（2y－m）m＝m4－7m2＋14.当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m－eq\f(15,m)（m≥1），∵t关于m的函数在[1，＋∞）单调递增，∴tmin＝－11.法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵kMA＝eq\f(y1,x1－4)，∴kHA＝eq\f(4－x1,y1)，可得，直线HA的方程为（4－x1）x－y1y＋4x1－15＝0，同理，直线HB的方程为（4－x2）x－y2y＋4x2－15＝0，∴（4－x1）yeq\o\al(2,0)－y1y0＋4x1－15＝0，（4－x2）yeq\o\al(2,0)－y2y0＋4x2－15＝0，∴直线AB的方程为（4－yeq\o\al(2,0)）x－y0y＋4yeq\o\al(2,0)－15＝0，令x＝0，可得t＝4y0－eq\f(15,y0)（y0≥1），∵t关于y0的函数在[1，＋∞）单调递增，∴tmin＝－11.8、已知椭圆的一个焦点，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．【答案】（1）（2）（2）由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，故的方程为．由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，设，，则，．所以，于是．为钝角等价于，且，则，即，又，所以的取值范围为．9、椭圆:（）的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与椭圆相交于、两点,且线段被直线平分.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积取最大时直线的方程.【答案】（1）（2）（2）易得直线的方程,设,,中点,其中,因为在椭圆上,所以,,相减得,即,故,,其中且.令,则,令得,（因和不满足且,舍去）当时,,当时,,所以,当时,取得最大值,此时直线的方程为.10、已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．（1）求抛物线的方程；（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．【答案】（1）（2）1个【解析】（1）抛物线的准线方程为，所以点到焦点的距离为．解得． 所以抛物线的方程为．故直线的斜率 ．故直线的方程为，即．①又抛物线的方程，②联立消去得 ，故，且．故直线与抛物线只有一个交点．11、已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．（1）求圆的方程；（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2=16（2）【解析】（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y=x﹣1．由题意可得，圆心在直线y=3上，联立，解得圆心坐标为（4，3），故圆C1的半径为4．则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.（1）求圆C的方程;（2）过点Q（0,-3）的直线与圆C交于不同的两点A、B，当时,求△AOB的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）设圆心为,因为圆C与相切,所以,解得（舍去）,所以圆C的方程为设,则,

①,将①代入并整理得,解得k=1或k=-5（舍去）,所以直线l的方程为

圆心C到l的距离,13、已知是椭圆C：上两点，点的坐标为.（1）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；（2）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.【答案】（1）（2）见解析⑵根据题意可知，直线AB斜率存在.设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0，由△＞0得2m2-9k2-6＜0，①所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=,所以N（-，），又M（1，0），假设△MAB为等边三角形，则有MN⊥AB，所以kMN×k=-1，即×k=-1，化简得3k2+2+km=0，②由②得m=-，代入①得2-3（3k2+2）＜0，化简得3k2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立，故△MAB不可能为等边三角形.14、已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【答案】（1）（2）（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得同理求得所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，设联立，可得由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，；综上，得．15、如图，椭圆经过点A（0，-1），且离心率为。（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值。【答案】（1）（2）见解析由已知，设则从而直线的斜率