倒立摆稳定性分析(极点配置)

倒立摆稳定性分析(极点配置)三、分析系统的稳定性—李雅普诺夫稳定性及其线性定常系统的特征值判据1.平衡状态：李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言，对于所有的t，满足x=f(x,t)=0*e e的状态称为平衡状态。对线性定常系统x=Ax，其平衡状态满足Ax=0，当A为非奇异矩阵是，系e统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。李雅普诺夫意义下的稳定性：设系统初始状态位于以平衡状态x为球心，8为半径的闭球域SG)内，即ex0-xJI-8?t=t0若能使系统方程的解x(t;x,t)在t—g的过程中，都位于以x为球心、任意规定00 e的半径为E的闭球域SC)内，即||x(t;x,t)一x11<8,t>t则称系统的平衡状态x在李雅普诺夫意义下是稳定的。e渐近稳定性|x(t;x,|x(t;x,t)一x||=0lim则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(8)出发的轨迹不仅不会超出SC),且当t—g时收敛于x，显见经典控制理论中的稳定性定义与此处的渐近稳定性e对应。对于严格的线性系统，如果它是稳定的，则必定是大范围稳定的。4.线性定常系统的特征值判据定理：对于线性定常系统x=Ax,x(0)=x,t>0，有.0.系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下的稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根.。.系统的唯一平衡状态x二0是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值e

均具有负实部。由以上定理可知，原倒立摆系统是不稳定的，根据系统的具体要求，将系统的闭环极点配置第一组：P=[-1+i*3-1-i*3-7+i-7-i]所以程序如下：A=[0100;20.6000;0001;-0.49000]B=[0;-1;0;0.5]C=[0010;1000]D=[0;0]P=[-1+i*3-1-i*3-7+i-7-i]k=place(A,B,P)T=0:0.1:10U=0.25*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)plot(T,Y)TITLE('STEPRESPONSE')XLABEL('TIME-SEC');YLABEL('STEPRESPONSE')grid;运行后的阶跃响应图如下：FigureNo.1FileEditViewInsertToolsWindowHelp山SNQdS山Hd山ISA山SNQdS山Hd山ISA//|込月CTIME-SEC-8然后系统闭环极点配置第二组：P=[-2+i*2*3'(l/2)-2-i*2*3'(l/2)-10+i-10-i]所以程序如下：A=[0100;20.6000;0001;-0.49000]

B=[0;-1;0;0.5]C=[0010;1000]D=[0;0]P=[-2+i*2*3'(l/2)-2-i*2*3'(l/2)-10+i-10-i]k=place(A,B,P)T=0:0.1:9;U=0.25*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A-B*k,B,C,D,U,T)plot(T,Y)TITLE('STEPRESPONSE');XLABEL('TIME-SEC');YLABEL('STEPRESPONSE')GRID;运行的系统阶跃响应图像为：FigureHo.1FileEditViewInsertToolsWindowHelpDg^HSI^AZ/I^^OX10-3 STEPRESPONSE5o51^-5o.O.-1.山SNOds山Hd5o51^-5o.O.-1.山SNOds山Hd山IS0 123456789TIME-SEC通过比较分