第二节 牛顿迭代法_第1页
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第二节 牛顿迭代法_第5页
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文档简介

第二节牛顿迭代法第一页，共十一页，2022年，8月28日xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，则

x*就是f

的根。是如下线性方程的根！第二页，共十一页，2022年，8月28日3.牛顿迭代法的几何解释：方程的根在几何上是曲线与x

轴的交点的横坐标。若是根的一个近似，过曲线上横坐标为的点作曲线的切线，则该切线与

x轴交点的横坐标即为。xyx*x0第三页，共十一页，2022年，8月28日例2.5：写出求的牛顿迭代格式；写出求的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。解：等价于求方程的正根解法一：等价于求方程的根退化为二分法！！第四页，共十一页，2022年，8月28日解法二：等价于求方程的正根设x*

为方程f(x)=0的根，在包含x*的某个开区间内连续，且，则存在x*的邻域，使得任取初值，由牛顿迭代法产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且4、牛顿迭代法的局部收敛性定理第五页，共十一页，2022年，8月28日其中，则收敛由泰勒展开：在单根附近收敛快！只要，则令可得结论。证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代在和之间第六页，共十一页，2022年，8月28日牛顿迭代法的改进重根Q1:

若，牛顿迭代法是否仍收敛？设x*是f

的n

重根，则：且。因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则A1:

有局部收敛性，但重数n

越高，收敛越慢。Q2:

如何加速重根的收敛？A2:

根的重数已知，可将

f

的重根转化为另一函数的单根。令，则f

的重根是

的单根，且第七页，共十一页，2022年，8月28日从而可构造出相应的迭代法格式为对构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为n，可将迭代格式改为，则，所以上述格式是平方收敛的。第八页，共十一页，2022年，8月28日①收敛速度快，稳定性好；②

精度高。①在重根附近收敛速度会降阶；②每次都要计算函数及其导数值，计算量大。优点缺点注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质量较好的初值！！主要缺陷！！第九页，共十一页，2022年，8月28日收敛比牛顿迭代法慢，且对初值要求同样高。第五节弦割法x0x1切线

割线

切线斜率

割线斜率需要2个初值x0

和x1。基本思想：牛顿迭代法每一步要计算f和，为了避免计算导数值，现用f

的差商近似代替微商，从而得到弦割法。x2第十页，共十一页，2022年，8月28日Th2.10

局部收敛性设表示区间，x*为方程f(x)=0的根，函数f(x)在

中有足够阶连续导数，且满足则对

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