第五章不定积分

第五章不定积分1第一页，共八十二页，2022年，8月28日注2：不定积分的结果必须包含一个任意常数C.3.不定积分的几何意义：表示一簇积分曲线，每条曲线在其横坐标相同的点处的切线互相平行。0xy已知曲线的切线斜率求曲线方程就是对斜率求不定积分。第二页，共八十二页，2022年，8月28日4.不定积分的性质（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算1234思考：第三页，共八十二页，2022年，8月28日(2)不为零的常数因子可提到积分号外（3）和的积分等于积分的和第四页，共八十二页，2022年，8月28日5.基本积分公式表第五页，共八十二页，2022年，8月28日第六页，共八十二页，2022年，8月28日第七页，共八十二页，2022年，8月28日6.不定积分中的常用变换与技巧（1）分解、折项、同除同乘；（2）三角变换：倍角、半角、积化和差、第八页，共八十二页，2022年，8月28日被积函数中存在复合关系先换元再说.被积函数中含抽象函数时，设法求的表达式.第九页，共八十二页，2022年，8月28日对三角函数的积分，化为同角同名.被积函数中含有导数的积分—分部积分被积函数中出现二、基本问题及解法问题(一)与原函数有关的命题运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。第十页，共八十二页，2022年，8月28日运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被积函数，则此备选答案为所求；（2）已知不定积分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导第十一页，共八十二页，2022年，8月28日分析：由而故选(B)第十二页，共八十二页，2022年，8月28日例4.则分析：例5.设的一个原函数为则第十三页，共八十二页，2022年，8月28日分析：由于故第十四页，共八十二页，2022年，8月28日问题(二)：不定积分的计算计算不定积分，通常要对被积函数进行适当的变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反三角变换，将积分化为常规型。1.直接积分法:有些积分可直接用不定积分的性质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公式）化为简单函数和的积分。第十五页，共八十二页，2022年，8月28日第十六页，共八十二页，2022年，8月28日第十七页，共八十二页，2022年，8月28日第十八页，共八十二页，2022年，8月28日2.第一换元法(凑微分法)凑微分法是当被积函数为复合函数时，将积分变量x的微分dx凑成的形式再用公式。第十九页，共八十二页，2022年，8月28日第二十页，共八十二页，2022年，8月28日第二十一页，共八十二页，2022年，8月28日第二十二页，共八十二页，2022年，8月28日第二十三页，共八十二页，2022年，8月28日例2.求列不定积分第二十四页，共八十二页，2022年，8月28日例3.求下列积分第二十五页，共八十二页，2022年，8月28日注：本题也可用换元法，令原式例4.求下列积分第二十六页，共八十二页，2022年，8月28日第二十七页，共八十二页，2022年，8月28日第二十八页，共八十二页，2022年，8月28日3.第二换元法——结果要求变量回代类型特点（1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分;（2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函数、且又不便用其他方法积分.第二十九页，共八十二页，2022年，8月28日（2）三角换元——变量回代用直角三角形Ⅰ第三十页，共八十二页，2022年，8月28日ⅡⅢ第三十一页，共八十二页，2022年，8月28日例1求解令第三十二页，共八十二页，2022年，8月28日例2求解令第三十三页，共八十二页，2022年，8月28日例３求解令第三十四页，共八十二页，2022年，8月28日第三十五页，共八十二页，2022年，8月28日例5.求下列积分第三十六页，共八十二页，2022年，8月28日例6.求下列积分（指数换元）第三十七页，共八十二页，2022年，8月28日例7.求下列不定积分（三角换元）例8.求下列不定积分第三十八页，共八十二页，2022年，8月28日第三十九页，共八十二页，2022年，8月28日４.分部积分法第四十页，共八十二页，2022年，8月28日第四十一页，共八十二页，2022年，8月28日解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.例1求积分解（二）令第四十二页，共八十二页，2022年，8月28日解（再次使用分部积分法）例2求积分例3求积分解第四十三页，共八十二页，2022年，8月28日例4求积分解:第四十四页，共八十二页，2022年，8月28日例5求积分解注：本题也先换元后分部积分.第四十五页，共八十二页，2022年，8月28日解例6例7求解:令,则第四十六页，共八十二页，2022年，8月28日例8.第四十七页，共八十二页，2022年，8月28日例9.例10.第四十八页，共八十二页，2022年，8月28日例11.设的一个原函数求解：第四十九页，共八十二页，2022年，8月28日5.其它积分第五十页，共八十二页，2022年，8月28日例1.求下列积分第五十一页，共八十二页，2022年，8月28日第五十二页，共八十二页，2022年，8月28日注：利用积化和差公式：第五十三页，共八十二页，2022年，8月28日第五十四页，共八十二页，2022年，8月28日例2.求下列积分第五十五页，共八十二页，2022年，8月28日第五十六页，共八十二页，2022年，8月28日4).抽象函数的积分运算方法:换元积分法、分部积分法。解由题设知，第五十七页，共八十二页，2022年，8月28日第五十八页，共八十二页，2022年，8月28日例4.已知是函数的一个原函数，求分析：由题设知，从而可直接求出代入被积函数求不定积分即可的一个原函数，有解：第五十九页，共八十二页，2022年，8月28日因此例5.设，计算分析：关键是通过换元求出的表达式解：设第六十页，共八十二页，2022年，8月28日第六十一页，共八十二页，2022年，8月28日问题(三)不定积分的应用第六十二页，共八十二页，2022年，8月28日第六十三页，共八十二页，2022年，8月28日第六十四页，共八十二页，2022年，8月28日第六十五页，共八十二页，2022年，8月28日第六十六页，共八十二页，2022年，8月28日三、课后练习第六十七页，共八十二页，2022年，8月28日8.设9.设第六十八页，共八十二页，2022年，8月28日10.已知的一个原函数为，则分析：由题意原式11.提示：原式12.若分析：对等式两边求导，得第六十九页，共八十二页，2022年，8月28日13.已知分析：先求14.设分析：等式两边求导，有第七十页，共八十二页，2022年，8月28日12.计算下列不定积分第七十一页，共八十二页，2022年，8月28日第七十二页，共八十二页，2022年，8月28日15.提示：考虑被积函数的奇偶性原式第七十三页，共八十二页，2022年，8月28日16.提示：令故第七十四页，共八十二页，2022年，8月28日解：分部积分法17.第七十五页，共八十二页，2022年，8月28日解：令原式18.第七十六页，共八十二页，2022年，8月28日19.计算不定积分提示：（1）（换元、凑微分）20.求提示：原式第七十七页，共八十二页，2022年，8月28日求21.已知的一个原函数为提示：第七十八页，共八十二页，2022年，8月28日22.求提示：拆成两项积分，原式=23.求第七十九页，共八十二页，2022年，8月28日提示：原式24.求提示：分部积分.原式=第八十页，共八十二页，2022年，8月28日25.