第四章 差异量数

第四章差异量数第一页，共三十八页，2022年，8月28日几种常用差异量数对数据集的离中趋势的描述：标准差四分差差异系数对某个数据在数据集中位置的描述：百分等级标准分数第二页，共三十八页，2022年，8月28日标准差的概念概念：标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的平方的算术平均数的算术平方根。利用全部数据计算得到仅用一个数值刻画了数据相对于均值的平均偏离程度对于不同的数据集，当离散程度越大，该度量值也越大。第三页，共三十八页，2022年，8月28日标准差的适用条件与算术平均数配合使用是其他统计量的基础，如差异系数，相关系数，标准分数等。在推断统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差（）表示离散程度。第四页，共三十八页，2022年，8月28日不同数据情况下怎样计算标准差？基本公式法（未分组的数据，且均值容易计算）A：70，72，74，78，71，72，74，73B：70，80，72，55，90，68，78，73第五页，共三十八页，2022年，8月28日原始数据法（未分组数据）第六页，共三十八页，2022年，8月28日公式4.1公式4.2第七页，共三十八页，2022年，8月28日例4.2用原始数据法计算下列数据的标准差

11.0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1，9.7，10.5第八页，共三十八页，2022年，8月28日分组数据：依据次数分布表计算时公式4.3公式4.4第九页，共三十八页，2022年，8月28日计算30位运动员成绩的均值和标准差第十页，共三十八页，2022年，8月28日由各部分的标准差合成总标准差第十一页，共三十八页，2022年，8月28日例4.4某年级四个班学生人数分别为50人，52人，48人，51人。期末数学考试各班的平均成绩分别是90分，85分，88分，92分，标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求年级成绩的标准差。第十二页，共三十八页，2022年，8月28日补充说明：计算精度的问题在计算均值或标准差的过程中，每一步应保留到几位小数？在得出结果时，应该保留到几位小数？计算过程中：至少保留6位小数得出最后结果：比原始数据的精度多一位第十三页，共三十八页，2022年，8月28日关于标准差的特性

意味着什么？标准差不可能是负数。原始数据每个数均加上或减去一个常数后求的标准差与原数据求得的标准差是相同的。标准差是有单位的，单位与原始测量数据相同。标准差具有可加性。第十四页，共三十八页，2022年，8月28日请证明：对于任意的样本：当且仅当时，的取值最小。第十五页，共三十八页，2022年，8月28日差异系数差异系数的概念差异系数又称相对标准差，即标准差与平均数之比。符号表示为CV第十六页，共三十八页，2022年，8月28日差异系数适用条件比较单位不同的各组数据的离散程度时。比较单位相同，但平均数相差较大的各组数据的离散程度时。第十七页，共三十八页，2022年，8月28日比较单位不同的各组数据的离散程度某校初三学生身高的平均数为160cm，标准差为16cm；体重的平均数为50kg，标准差为7.7kg，试比较身高和体重两组数据的离散程度。体重的差异程度大于身高的差异程度第十八页，共三十八页，2022年，8月28日平均数差异较大某班期末考试，语文平均成绩为82分，标准差为6.5分；数学平均成绩为75分，标准差为5.9分；外语平均成绩为66分，标准差为8分。问哪一科成绩的离散程度大？第十九页，共三十八页，2022年，8月28日四分差的概念四分差又称四分位距，通常用符号Q来表示。它是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全距之半，也就是第三四分位数Q3与第一四分位数Q1之差的一半。第3四分位数是指数轴上的一点，在这一点的下端有占总次数75%的数据，在其上端有占总次数25%的数据；第1四分位数也是数轴上一点，在这一点的下端有占总次数25%的数据，在其上端有占总次数75%的数据。公式4.5第二十页，共三十八页，2022年，8月28日四分差图4.4四分差示意图频数观测变量第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日适用条件：与中数配合使用。即当一组数据的集中趋势宜用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。有极端值出现个别数据模糊不清或组限不清时第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日四分差的计算未分组数据按大小顺序排列数据找N/4+1/2位置对应的数据，此为第一四分位数3N/4+1/2位置对应的数据，此为第三四分位数代入公式4.5，即可求得第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日求下列18个数据的四分差：51，60，58，63，74，88，66，70，71，75，81，86，52，57，61，65，90，77第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日分组数据：第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日某校初一144名学生外语成绩次数分布表X次数f由下向上累加次数90~94114485~89314380~84514075~791613570~741811965~692210160~64307955~59254950~54162445~493844以下55Q1=56.9Q3=71.44Q=（Q3-Q1）/2=7.27第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日相对地位量数：百分等级百分等级的概念指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总次数的百分比，通常用PR表示。总次数给定分数在团体中的等级第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日未分组数据的百分等级15名学生的考试分数为：98，93，62，92，91，92，65，66，90，87，78，86，81，85，83，求90分学生的百分等级是多少？数据排序：98，93，92，92，91，90，87，86，85，83，81，78，66，65，6290分对应的等级是6PR=6060%的考生成绩在90分以下第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日分组数据的百分等级公式：X次数f由下向上累加次数95~99319690~94619385~89718780~841418075~791616670~743515065~694211560~64307355~59214350~5462245~4941640~4441235~393830~342525~292320~2411合计196196名学生外语考试成绩的次数分布表如右图。某考生的分数为83分，求其百分等级是多少？第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日相对地位量数：标准分数标准分数的概念原始数据距离平均数有多少个标准差，含义是以平均数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。符号Z公式：公式4.6

标准化与标准化变量标准化：对于任意变量X，转换成相应的Z值的过程标准化变量：转换后得到的变量Z被称为标准化变量第三十页，共三十八页，2022年，8月28日标准分数的特性标准分数的平均数为零，标准差为1，即

标准分数不带测量单位。第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日证明第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日标准分数的应用当一组数据服从正态分布时，其标准分数服从标准正态分布。标准分数具有可比性和可加性。常用于确定数据在团体中的位置，比较单位不同数据相对位置的高低或进行分数合成。第三十四页，共三十八页，2022年，8月28日某班外语期末考试的平均成绩为75分，标准差为10分；数学的平均成绩是88分，标准差为15。学生张某的外语成绩是80分，数学成绩是93分。请评价一下他的成