第二章第四节隐函数和参数方程求导

第二章第四节隐函数和参数方程求导第一页，共十六页，2022年，8月28日一、隐函数的导数显函数与隐函数

形如yf(x)的函数称为显函数

例如

ysinx

ylnxex

都是显函数

由方程F(x

y)0所确的函数称为隐函数

把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化

例如方程xy310确定的隐函数为

隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.第二页，共十六页，2022年，8月28日

例1

求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数

(ey)(xy)(e)(0)

即eyyy+xy0

方程中每一项对x求导得解

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0

因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得解

第三页，共十六页，2022年，8月28日例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即第四页，共十六页，2022年，8月28日解

上式两边再对x求导得的二阶导数

例4

方程两边对x求导得第五页，共十六页，2022年，8月28日y

f(x)[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数

设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)

两边对x求导得对数求导法第六页，共十六页，2022年，8月28日

例5

求yxsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x求导得两边取对数得lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

第七页，共十六页，2022年，8月28日上式两边对x求导得说明

严格来说本题应分x4

x12x3三种情况讨论

但结果都是一样的

例6

先在两边取对数得

解

第八页，共十六页，2022年，8月28日设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则二、由参数方程所确定的函数的导数

设y与x的函数关系是由参数方程îíì==)()(tytxyj确定的.

第九页，共十六页，2022年，8月28日

解

例7.

求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4

p=t点处的切线方程.

所求切线的斜率为abdxdyt-==4p.

第十页，共十六页，2022年，8月28日再求速度的方向

设a是切线的倾角则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻t的运动速度的大小为

x

(t)=v1

y(t)=v2-gt

求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向

例8

抛射体运动轨迹的参数方程为

速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小

解

第十一页，共十六页，2022年，8月28日讨论:

已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?例9.

设求例10.

设,且求解:解:第十二页，共十六页，2022年，8月28日的函数yf(x)的二阶导数

解

(t2np

n为整数)

例11．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定

第十三页，共十六页，2022年，8月28日三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第十四页，共十六页，2022年，8月28日例12.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知

h=500m时,第十五页，共十六页，2022年，8月28日作业：p-110习题2-4

1(1),(4);2;3(3)