第四章插补原理

第四章插补原理第一页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第一节

插补原理

1.1插补的概念

插补

硬件插补

软件插补

NC系统中插补器由数控电路组成，称为硬件插补，硬件插补由专门设计的数字逻辑电路来完成，其插补速度快，但升级不易，柔性较差。

数控系统根据信息实时地计算出各个中间点的坐标，通常把这个过程称为“插补”。插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的密化”工作。

在CNC系统中，插补器功能由软件（程序）实现，称为软件插补。软件插补通过CNC装置的CPU执行相应的插补程序来实现。

第二页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第一节

插补原理

1.2插补方法的分类

基准脉冲插补又称为行程标量插补或脉冲增量插补

从插补的计算方法分

数据采样插补又称为时间标量插补或数字增量插补

第三页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.1逐点比较法原理

所谓逐点比较法，就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向移动并趋向终点，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“像”。直线和圆弧是构成轮廓的基本几何元素，逐点比较法可以插补直线和圆弧，以折线逼近理论轨迹。

图4-1圆弧插补轨迹

图4-2直线插补轨迹

第四页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.1逐点比较法原理

一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：①

偏差判别。根据刀具当前位置，确定进给方向；②坐标进给。使加工点向给定轨迹趋近，即向减少误差方向移动；③偏差计算。计算新加工点与给定轨迹之间的偏差，作为下一步判别依据；④终点判别。判断是否到达终点，若到达，结束插补；否则，继续以上四个步骤（如图4-3所示）。

图4-3逐点比较法工作循环图第五页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.2逐点比较法直线插补

在直线上方

在直线上

在直线下方

因此，偏差函数

OE直线方程对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为：时，表示动点在OE上，如点P，可向+X向进给，也可向+Y向进给；时，表示动点在OE上方，如点P1，应向+X向进给；时，表示动点在OE下方，如点P2，应向+Y向进给；第六页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.2逐点比较法直线插补

若Fi≥0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿＋X向走一步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为（Xi+1，Yi+1），且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi,新点偏差为:若Fi<0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE的下方，应向＋Y方向进给一步，新点坐标值为（Xi+1，Yi+1），且Xi+1=Xi,Yi+1=Yi

＋1，新点的偏差为:第七页，共三十五页，2022年，8月28日

第三象限直线插补3.四象限的直线插补

假设有第三象限直线OE′，起点坐标在原点O，终点坐标为E′（－Xe，－Ye），在第一象限有一条和它对称于原点的直线，其终点坐标为E（Xe，Ye），按第一象限直线进行插补时，从O点开始把沿X轴正向进给改为X轴负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向进给，这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公式与第一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给方向不同，输出驱动，应使X和Y轴电机反向旋转。第八页，共三十五页，2022年，8月28日

四象限直线偏差符号和进给方向

四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图所示，用L1、L2、L3、L4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的直线。为适用于四个象限直线插补，插补运算时用∣X∣，∣Y∣代替X，Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限，动点与直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。

由图可见，靠近Y轴区域偏差大等于零，靠近X轴区域偏差小于零。F≥0时，进给都是沿X轴，不管是＋X向还是－X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴，不论＋Y向还是－Y向，Y的绝对值增大。第九页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.2逐点比较法直线插补

开始初始化|Xe|，|Ye|∑＝|Xe|＋|Ye|F≥0?F←F－∣Ye∣沿Xe向走一步

∑=0?F←F＋∣Xe∣沿Ye向走一步

结束∑＝∑-1YNYN图4-8四个象限直线插补流程图

第十页，共三十五页，2022年，8月28日

例1加工第一象限直线OE，如图3-5所示，起点为坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。

图3-5直线插补轨迹过程实例第十一页，共三十五页，2022年，8月28日

表1直线插补运算过程

第十二页，共三十五页，2022年，8月28日

例

直线插补。设OA为第一象限的直线，其终点坐标(4，5)，用逐点比较法实现该直线的插补。

插补从直线起点开始，因为起点在直线上，所以起点偏差F0＝0。表列出了直线插补运算过程，图给出了插补轨迹。oAxy第十三页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.3逐点比较法圆弧插补

当动点P(X,Y)位于圆弧上时

当动点P(X,Y)位于圆弧外侧时当动点P(X,Y)位于圆弧内侧时用F表示点P的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为第十四页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.3逐点比较法圆弧插补

对第一象限顺圆，

Fi≥0，动点Pi(Xi，Yi)应向－Y向进给，新的动点坐标为（Xi+1，Yi+1），且Xi＋1＝Xi，Yi＋1＝Yi－1，则新点的偏差值为：若Fi<0时，沿＋X向前进一步，到达（Xi+1，Yi+1）点，新点的偏差值为：第十五页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第二节

逐点比较法

2.3逐点比较法圆弧插补

第一象限圆弧插补流程图

第十六页，共三十五页，2022年，8月28日例3现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图所示，起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行插补。第十七页，共三十五页，2022年，8月28日表3圆弧插补过程第十八页，共三十五页，2022年，8月28日5.

四个象限中圆弧插补

第一象限逆圆弧CD：即Fi≥0时，走—X轴，动点的偏差函数为

Fi<0时，走+Y轴沿正向进给，新动点的偏差函数为

第十九页，共三十五页，2022年，8月28日

例

圆弧插补,设AB为第一象限逆时针方向圆弧，起点为A(0,6)，终点为B(6,0)，用逐点比较法实现该圆弧的插补。终点判别值为12。显然加工起点A在圆弧上，起点偏差F0＝0，表列出了圆弧插补运算过程，图给出了插补轨迹。第二十页，共三十五页，2022年，8月28日

如果插补计算都用坐标的绝对值，将进给方向另做处理，四个象限插补公式可以统一起来，当对第一象限顺圆插补时，将X轴正向进给改为X轴负向进给，则走出的是第二象限逆圆，若将X轴沿负向、Y轴沿正向进给，则走出的是第三象限顺圆。

如下图所示，用SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的顺时针圆弧，用NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的逆时针圆弧，四个象限圆弧的进给方向表示在下图中。

X向，Y向，F≥0,F<0看图，式中Xi,Yi为绝对值第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日

YY

NR2NR1SR2SR1OXOXNR3NR4SR3SR4

a)逆圆弧b)顺圆弧

四个象限圆弧进给方向第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日CAyBxO

跨象限圆弧圆弧过象限问题

圆弧的起点和终点不在同一象限内。若坐标采用绝对值进行插补运算，应先进行过象限判断，当X＝0或Y＝0时过象限。如下所示，需将圆弧AC分成两段圆弧AB

和BC，到X＝0时，应调用顺圆1的插补程序。第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日6.

逐点比较法合成进给速度

逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发向X轴，就是发向Y轴，如果fg为脉冲源频率(Hz)，fx，fy

分别为X轴和Y轴进给频率(Hz)，则从而X轴和Y轴的进给速度(mm/min)为若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对应轴切削速度最大式中

δ—脉冲当量（mm/脉冲）。合成进给速度为第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.1数字积分法的基本原理

如图4-14所示，从t=0时刻到t时刻，函数y=f（t）曲线所包围的面积可表示为

，如果将时间划分为△t的小时间间隔，当△t满足足够小的条件的时候，可得累加公式:图4-14y=f(t)如果将△t视为一个单位“1”，则可演化为

第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.2DDA直线插补

图4-15DDA直线插补示意图

如图4-15，设第一象限内直线OE，直线的起点为坐标原点，终点为E（Xe,Ye），并假设坐标值均为点位脉冲的整数倍，刀具在两坐标轴上的速度分别为vx，vy，则刀具在X轴和Y轴方向上的位移增量为:根据几何关系可得:可得直线积分插补近似表达式

第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.2DDA直线插补

图4-16直线插补数字积分插补器假设经过n次累加，X，Y坐标分别达到终点，则有：第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.3DDA直线插补实例

设要插补第一象限直线OE，如图所示，起点为坐标原点O(0，0)，终点E(4，6)，单位为脉冲当量。使用DDA法对其进行插补，并画出插补轨迹。假设选取的寄存器位数为3，即N=3，则累加次数n=2N=8。插补前，余数寄存器的初始值为0，被积函数寄存器则存放终点坐标，步数寄存器存放累计次数，即图4-18直线插补过程该直线的插补运算过程如表4-4所示，插补轨迹如图4-18折线所示。

第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.3DDA直线插补实例

累加次数nX积分器Y积分器终点判别+

+开始000081=0+4=40=0+6=60=8-1=72=4+4=8+01=6+6=8+41=7-1=63=0+4=40=4+6=8+21=6-1=54=4+4=8+01=2+6=8+01=5-1=45=0+4=40=0+6=60=4-1=36=4+4=8+01=6+6=8+41=3-1=27=4+4=40=4+6=8+21=2-1=18=4+4=8+01=2+6=8+01=1-1=0表4-4DDA直线插补运算过程第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.4DDA圆弧插补

设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧SE，切削速度为v，在两坐标轴上的速度分量分别为

，动点为N（

），根据相似三角形关系可以得出：则有=KR，=K，=K由于半径R为常数，若切向速度v为匀速，则K为常数，那么，动点在两坐标轴上的速度分量将随其坐标值的变化而变化。

当给定一个时间增量△t，动点在X，Y坐标轴上位移增量分别为

其中式中的负号代表增量方向与坐标轴正方向相反。对两侧积分得：第三十页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.4DDA圆弧插补

图4-19圆弧积分插补器

第三十一页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.5DDA圆弧插补实例

设第一象限逆圆SE，如图所示，起点S（4，0），终点E（0，4），且寄存器位数N=3。使用DDA法对该圆弧进行插补，并画出插补轨迹。

插补开始时，被积函数寄存器初始值分别为：==0、==4，终点判别寄存器==4，==4。

该圆弧的插补运算过程与下表所示，插补轨迹如表4-5所示。第三十二页，共三十五页，2022年，8月28日第四章

插补原理第三节

数字积分法3.5DDA圆弧插补实例累加次数nX积分器Y积分器=+=+开始0004400410+0=00+0=004-0=44+0=40+4=404-0=420+0=00+0=004-0=44+0=44+4=8+0+14-1=330+1=10+1=104-0=44+0=40+4=403-0=341+0=11+1=204-0=44+0=44+4=8+0+13-1=251+1=22+2=404-0=44+0=40+4=402-0=262+0=24+2=604-0=44+0=44+4=8+0+12-1=172+1=36+3=8+1-14-1=34+0=40+4=401-0=183+0=31+3=403-0=34-1=34+3=701-0=193+0=34+3=703-0=33+0=37+3=8+2+11-1=0103+1=47+