第四章傅里叶变换和系统频域分析

第四章傅里叶变换和系统频域分析第一页，共十五页，2022年，8月28日设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率ω的基本信号ejt时，其响应而上式积分正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，称为系统的频率响应函数。y(t)=H(j)ejtH(j)反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ejt第二页，共十五页，2022年，8月28日2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ejtH(j)ejtF(j)ejtdF(j)H(j)ejtd齐次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)第三页，共十五页，2022年，8月28日频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；θ()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，θ()是的奇函数。频域分析法步骤：傅里叶变换法第四页，共十五页，2022年，8月28日对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号若则可推导出第五页，共十五页，2022年，8月28日例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)第六页，共十五页，2022年，8月28日解法二：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)第七页，共十五页，2022年，8月28日二、频率响应H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。例1：某系统的微分方程为

y´(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j)+2Y(j)=F(j)第八页，共十五页，2022年，8月28日f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)=e-tε(t)

第九页，共十五页，2022年，8月28日三、无失真传输系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、无失真传输定义：

信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

y(t)=Kf(t–td)

其频谱关系为Y(j)=Ke–jtdF(j)第十页，共十五页，2022年，8月28日系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：

(a)对h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)对H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。2、无失真传输条件：第十一页，共十五页，2022年，8月28日四、理想低通滤波器具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：1、冲激响应

h(t)=ℱ-1[g2c()e-jtd]=可见，它实际上是不可实现的非因果系统。第十二页，共十五页，2022年，8月28日2、阶跃响应

g(t)=h(t)*(t)=经推导，可得称为正弦积分特点：有明显失真，在t<0时，阶跃响应已经出现，同样是理想化模型，物理不可实现的频率响应。在t=td处，h(t)取得极大值，此处阶跃响应的上升也最快，定义信号上升时间为t=td处斜率的倒数，则上升时间第十三页，共十五页，2022年，8月28日3、物理可实现系统的条件

就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t<0时必须为0，即h(t)=0,t<0即响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足并且称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。第十四页