实施中学数学有效教学的策略

实施中学数学有效教学的策略第1页/共221页第一部分有效教学概述概念一——课堂教学效率的涵义：1、所谓课堂教学效率是指有效教学时间与实际教学时间之比。2、课堂教学效率是指单位时间里课堂教学的效果。它不但是预期教学目标实现程度的综合反映而且是评价教学优劣的重要指标和整个教学过程运作状态是否良好的重要标志。3、课堂教学效率:实际的教学效果与应有的教学效果的比值。第2页/共221页4、课堂教学效率是指教师和学生在规定的课堂教学时间内通过双边活动所消耗的劳动量与所获得的教学效果之间的比率.5、课堂教学效率是指在课堂规定的教学时间内所取得的教学效果的大小.

6、课堂教学效率是指在课堂有限的时间内学生掌握知识的程度、能力的培养和知识的增幅三者之和所达到的效果.影响和制约课堂教学效率的主要因素是教师、学生和教学方法。第3页/共221页概念二——有效教学的内涵

按照现代汉语的词义，有效指“能实现预期的目的；有效果”，实际上，还可以指有效用，有效率；

就有效教学而言，有效，主要是指达成目标的程度较高；

所谓有效教学，就是说教学应对促成学习者的学习有效；

从学生学业发展的角度去衡量教学的有效性。有效教学主要指“学生成长的教学”；它是优质教学的一个基本的层次。第4页/共221页一、相关概述1、有效教学溯源《论语》教学要因材施教，“举一反三”“闻一知十”“触类旁通”。《学记》

启发式教学，“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”

自有教学以来，人们便进行着有效教学的实践探索。

孔子杏坛讲学第5页/共221页《大教学论》（捷克）

寻求并找出一种教学的方法，使教员因此可以少教，但是学生可以多学，提出教学应根据儿童成长的规律，不能强迫儿童学习。

夸美纽斯（1592-1670）第6页/共221页最优化教学理论:有效教学思想发展的一个重要里程碑。系统论的视角：

全面考虑教学规律、原则、方法传授知识与教养、教育、发展的统一

巴班斯基（1927-1987）（前苏联）

《教育教学过程最优化》教育教学过程最优化第7页/共221页2、有效教学的教育哲学基础基于某种哲学世界观来观照教育，从根本上理解教育，诠释教育。（教育说到底是培育什么样的“人”）教育存在的价值与追求的途径。（哪种教育途径能够更好地更有效地培育“人”）重构学校教育生活。（为学校教育设计合理有效的教学方式和学习方式）探求教育过程的价值标准（知识性、道德性、社会性、文化性…有效性是价值准则之一）第8页/共221页3、有效教学的理念时效理念：

科学安排时间，有效利用时间力争在单位时间内取得最佳的效果发展理念：

学生的发展是终极指标采取各种有效措施，促进学生发展主体理念：

学生是课堂学习的主体调动学生学习主动性、积极性主动钻研、自觉建构关注教学时效学生是学习主体第9页/共221页实践理念：学生动手、动口、动脑在“做”中学，在“做”中练合作理念：

沟通、对话、合作、交往与互动反思理念：

课后认真反思诊断师生自我教与学的得失状态总结提炼教与学的经验及教训考核评价教与学的效率及效果学生交流合作第10页/共221页（1）20世纪以来教育科学化运动的历史演进20世纪上半叶西方教育：教学科学化运动：教学是科学还是艺术？（20世纪以前教学观主导教学是艺术）教学效能核定运动：（20世纪以来，心理学和行为科学的发展，教学观主导教学是科学，可用实验、观察等定量的方法研究教师和学生行为的指标体系）

4、有效教学（effectiveteaching）概念兴起第11页/共221页（2）有效教学：新课程改革关于教学与管理的现实诉求

减负提质（《国家中长期发展纲要》政府行为）凯洛夫“五段教学”的变革三维目标与学生的全面发展提升学校文化品位应试教育第12页/共221页课堂教学满堂灌：填鸭式教学学生学得累情境创设华而不实：

绚丽多彩虚假造作缺少问题作业负担太重，学生成天困在书山题海之中

教师苦教，学生苦学，而“三维目标”并未有效达到第13页/共221页二、有效教学的基础：数学教师教学内容知识(MPCK)有效教学的基础：数学教师的教学理念、知识结构、能力水平等因素教师专业发展专家学者型教师第14页/共221页数学教师教学内容知识(MPCK)

数学教学内容知识为mathematicalpedagogicalcontentknowledge(MPCK)的简称。概念内涵及其构成要素：数学知识MK（mathematicalknowledge）、教学法知识PK（pedagogicalknowledge）和内容知识CK（contentknowledge）（学科知识或有关数学学习的知识）。教学内容知识PCK(pedagogicalcontentknowledge)、数学学科知识MCK(mathematicalcontentknowledge)、数学教学法知识MPK（mathematicalpedagogicalknowledge）等。第15页/共221页1986年，美国斯坦福大学教授、著名教育家舒尔曼(LeeS.Shulman)最早提出教师专业知识结构理论。舒尔曼提出的教师知识分为七类——学科内容知识(subjectmatterknowledge)、一般教学法知识(generalpedagogicalknowledge)、课程知识（knowledgeofcurriculum），学科教学内容知识(pedagogicalcontentknowledge，)、学生知识(knowledgeoflearners)、教育环境知识(knowledgeofeducationalcontext)、有关教育宗旨、目的等知识(knowledgeofeducationalends,etc.)教师教学知识基础：第16页/共221页PCK的含义

Shulman(1986)最初的界定，PCK即关于教师将自己所掌握的学科知识转化成学生易于理解的形式知识，它具体表现为教师知道使用怎样的演示、举例、类比等来呈现学科内容，知道学生的理解难点。1987年，Shulman认为它是用专业学科知识与教育学知识的综合去理解特定主题的教学是如何组织、呈现，以适应学生不同兴趣和能力的，即教师在面对特定的教学材料时，如何针对学生的不同兴趣与能力，将学科知识加以组织、调整与呈现，以实现教学最优化。国外Carter、Grossman，Cochran等人相关的研究中都提到PCK是“用学生能理解的方法来表述学科内容的知识”。第17页/共221页PCK的各种界定PCK就是教师开展教学活动时所具有的独特知识，这种知识是教学内容与教学法的有机融合，用以说明教师选择特有的教学课题（问题或专题）组织教学，以适应学生多种多样的学习兴趣与学习能力。PCK是指教师关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识。第18页/共221页

MPCK模型图：第19页/共221页

数学教师开展有效教学所必须具备的知识分为三类：（1）数学学科知识（mathematicalknowledge，简称MK）；（2）一般教学法知识（pedagogicalknowledge，简称PK）;(3)有关数学学习的知识CK（contentknowledge,简称CK）.

学科形态--PCK--教育形态第20页/共221页

数学教学内容知识(MPCK)构成要素分解数学知识(MK)五种存在形态：科学内容的数学知识、课程内容的数学知识、教材内容的数学知识、教学内容的数学知识和学习内容的数学知识)MK有四个维度：数学观念、数学学科内容知识、数学思想方法以及数学史知识．第21页/共221页

数学学科内容知识MCK数学学科内容知识主要包括以下几个方面：（l）数学内容，即各种事实、概念、原则或法则；（2）学科内容之间的组织和结构，即众多的事实和概念之间的互相联系；（3）探究方法，包括一系列设想、证明的法则；（4）数学文化；（5）数学与各种社会问题之间的关系；（6）数学与日常生活的联系与与应用。第22页/共221页

PK有四个维度：教育观念、教育理论知识、课程知识以及教师的学科内容知识．第23页/共221页教育观念

教学着力于学生创新精神和实践能力的培养.改变了教师过于关注学生问题解决能力的培养、轻视学生问题意识和提出问题能力发展的教学观念和行为．

教师应对数学教育形成如下基本认识：教数学就是要教数学的创新精神，展示数学创新的思想与方法，传授数学创新的事实；

学数学就是要学数学的创新观念，养成数学的创新意识与能力，掌握数学创新的知识。教师不仅需要有强烈的问题探究意识，还必须掌握新课程理念所提倡的启发式教学、探究式教学、合作学习、自主学习等多种教学模式。第24页/共221页（1）教学目的：

培养学生自主创新意识与实践能力，核心是培养学生的问题意识、提高学生提出问题与解决问题的能力贯穿于教学的全过程.（2）教学基本原则：面向全体学生；以提出问题为中心；引导学生自主探究、合作学习；重视学生数学学习中的情感体验；有效地利用现代教育技术辅助教学。教育理论知识第25页/共221页（3）教学与学习理论知识：教师要掌握启发式教学、探究式教学、自主学习、合作学习等教学理论知识以及建构主义学习理论、“最近发展区”理论、元认知理论等学习理论知识.（4）当代主要数学教育理论知识：波利亚解题理论；弗莱登塔尔“再创造”理论；建构主义教学理论，数学“双基”理论。第26页/共221页课程知识

课程知识是在教育中被选择、组织、分配和传递的供学习者学习的知识。它包括以文本的方式体现在课程计划、课程标准和教材中的显性知识，也包括教师没有列入教学计划的隐性知识。

课程知识是指导教师课程实践的理论基础，不仅影响到教师对课程的理解，同时也规约着教师的教育教学行为。《课程标准》是教师获取课程知识的主要来源之一。第27页/共221页

CK有三个维度学生发展的知识学生学习的认知因素与非认知因素知识学习环境的知识。第28页/共221页

学生发展的知识

教学是以问题为纽带的建构性学习，学生发展知识核心在于学生问题意识的开发。问题意识是指个体在一定的情境下提出问题质疑问题变换问题和发展问题的一种自觉的心理状态或思维习惯。第29页/共221页学生良好的问题意识：构成要素：数学问题提出能力数学猜想能力数学实验能力数学证明能力数学拓展与推广能力第30页/共221页

学生学习的认知因素学生学习的认知因素核心：元认知水平、数学认知结构等；学生学习非智力因素：态度、兴趣、情感等。教学内容紧扣教学目标、适合学生的认知水平，靠近他们的最近发展区；教学引起学生广泛的联想和认知冲突，在获取数学知识的同时，体验数学知识形成与发展。第31页/共221页学习环境的知识

数学教师的教学水平、教学环境、学习条件等。数学教学中,通过问题情境创设,让学生建构自己的知识。学生在以“问题”驱动的数学任务中，成为数学问题的发现者、探索者和解决者。教师采取以启发式方法为核心的灵活多样的教学方法，有针对性地选择和使用教学策略。第32页/共221页

教师的学科内容知识借鉴Schwab以及Carlsen的分类方法，教师的学科内容知识包括以下三个方面的内容：本体结构知识，包括学科内的概念、规则、原理、操作及其关系;句法结构知识，包括对学科的文化、知识来源的解释、对知识使用条件的判断;实用结构知识，包括不同情境中概念的正确理解与使用、所教内容与生活实践的关系．第33页/共221页

学科内容知识是教师专业知识中的核心内容之一，是成为一名教师的基础。

教师的学科内容知识的广度、深度以及贯通度扩展和延伸．

广度：教师不仅要扎实掌握基本的数学学科内容知识，还应掌握它们与自然科学、社会科学之间的联系，以及对于日常生活的功用和关联等更广泛地知识．

深度：数学学科内容知识有效地融入所创设的问题情境中;

贯通度：数学学科内容知识通过提出数学问题与解决数学问题清楚明白地充分展示给学生。第34页/共221页

教师的学科知识有四个维度1989年，舒尔曼提出,教师的学科知识有四个维度:学科内容知识,主要是一个领域的事实和概念的知识;实体性知识,主要是指将学科的基本概念和原理组织起来以使学科中的事实一体化的各种方式;句法性知识,主要是指学科中判断真理与谬误、有效与无效的规则;关于学科的信念,主要是指对学科的个人的看法和认识．第35页/共221页数学教师教学知识结构优秀数学教师知识结构图（见：黄毅英，许世红．数学教学内容知识——结构特征与研发举例[J]．数学教育学报．2009,(1):5-9.）第36页/共221页数学教师教学内容知识MPCK通俗地说，MPCK是指关于某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释，以使学生更容易接受和理解的知识。MPCK是数学教师知识的核心成分，是数学教师专业性的重要体现，是教师进行有效教学的必要条件。第37页/共221页三、数学课堂有效教学的模式与特征模式：（一）随机研讨式师生合作教学

以课堂上师生互动为主教学无需事先设计学生发言自由,有感而发学生自觉主动、积极参与课堂教学基本环节：呈现教学内容教师质疑学生发散思考师生协商解决问题对教师要求高:

引导学生参与大胆发言尊重学生,能与学生平等交流要求教师学识广博,坦然面对学生的质疑随机研讨第38页/共221页2.自主发现式合作教学

以师生互补为主的课内外结合强调学生对自己的学习负责学生主动探索发现问题注重内在动机基本环节：学生发现质疑课下探索解惑课堂交流沟通师生共同点评对教师的要求:学生发展为本改变“教师讲、学生听”教师是平等中的首席教学相长自主发现式合作第39页/共221页3.小组互动式合作教学

基于课堂新课教学学生为主体师生互动主要环节布置学习（教学）任务课上小组研究课堂汇报交流师生共同探讨解答对教师的要求:向学生提出的任务要明确引导学生在讨论中建构知识提供获取知识的方法具备全面驾驭课堂的能力适时抓住学生有困难的问题解答小组互动式合作第40页/共221页数学课堂有效教学的特征

特征一

有效的数学课堂，应是让学生克服对数学的恐惧，喜欢学数学的课堂。喜欢上数学课第41页/共221页案例：影响学生学习的相关变量变量范畴变量名称维度学校方面学校氛围与数学老师的师生关系数学教师的教学行为同伴关系数学学习的情感态度价值观数学学习的情感态度价值观（总体）数学学习的价值数学学习的兴趣和自我效能数学学习动机数学学习方法资料来源：中国儿童青少年心理发育特征调查项目（2007-2009）第42页/共221页特征二：有效的数学课堂，应是让学生投入到课堂学习的全过程，使数学认知能力水平都得到不同层次的充分发展的课堂。第43页/共221页特征三：有效的数学课堂应该是让学生学会学习，重视“形成性”评价的课堂。转变学业评估方式（国家教育发展评估的监督：我国基础教育质量监测工作已经启动）第44页/共221页特征四：有效的数学课堂应该是充满活力，充满探索精神的课堂

第45页/共221页案例：例1A离学校10千米，B离A有3千米，试问B离学校几千米？特点：没有说明A、B、学校三者是否在一条直线上，或一个平面上，或在三维空间中。题目样式非常普通，简直像一年级小学生做的题目。深入一想，内涵很深，“点、线、面”各种位置关系不定，具有开放性。引题：荷兰弗莱登塔尔数学研究所所长德朗治（JenDeLang)于1993年在上海数学会作报告时介绍的题目之一第46页/共221页特征五：

有效的数学课堂应该是充满教育智慧的课堂。

教育智慧哪里来？挚爱---历练-----博学第47页/共221页四.数学有效教学策略探讨关注教学理论注意学习心理经历数学活动变式教学数学思想方法哲学思辨“再创造”学习多角度理解不同学科整合第48页/共221页课程论

课程是教材、活动、经验等课程改革使课程论成为热点学习论

行为主义：强调反复练习，主张目标教学，关注怎么教

认知主义：主动学习，教学在于发展学生智力，关注教什么

建构主义：认知主义的发展，探索、发现的方法建构知识的意义教学论

目标教学（行为主义）

探究教学（建构主义）

非指导性教学（人本主义心理学）罗伯特·加涅Gagne,RobertM1916－2002有效策略1：关注教学理论第49页/共221页刺激学生注意力的保持，延长持续时间

心理学的研究表明，7～10岁儿童能连续保持注意20分钟，10～12岁约25分钟，12岁以上约30分钟。注意的广度与灵活性逐渐加强学习迁移理论一种学习对另一种学习的影响知识、技能、态度、行为在一定条件下迁移生活中的经验迁移到学习活动中

有效策略2：注意学习心理生活经验迁移学习第50页/共221页数学活动经验：《课标》要求让学生经历数学活动，在活动中学习数学。明确将“数学活动经验”列为课程目标之一。“修改稿”甚至把“数学活动经验”单列（四基之一）。基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。数学活动过程知识：

情景—经验：观察、操作、实验等获得。问题—解决：问题表征、解决途径、获得结果、反思调节。方法—观念。数学的素质，数学信念等最高境界知识，具有稳定性。

有效策略3：经历数学活动第51页/共221页概念性变式：对概念的多角度理解过程性变式：数学活动的有层次推进有效策略4：变式教学概念变式：概念外延的变化，达到对概念多角度理解非概念变式：如反例变式等“中国数学教育本土研究”开拓者顾泠沅教授博导概念形成过程应用概念问题解决过程构建数学经验过程第52页/共221页

变式教学“盲人摸象”和“集思广益”现象学认识论：对同一事物的认识是不同侧面的意识和反思。心理学认为，数学学习需要逐步深入的表征方式：语言表征→图像表征→符号表征。希尔伯特：研究不同变换下的代数不变量（本质），对不同数系下的不变运算律的理解，有助于把握数系的结构。“循序渐进”“万变不离其宗”【德】胡塞尔E.Husserl（1859-1938）20世纪现象学派创始人盲人摸象第53页/共221页授人以鱼，不如授人以渔数学思想是数学的灵魂，有利于增强学生数学观念，形成良好思维素质。在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。

引自米山国藏：《数学的精神思想和方法》有效策略5：数学思想方法第54页/共221页

对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经能够解决的问题。

---路莎·彼得《无穷的玩意》待解决的问题A易解决的问题B问题A的解答问题B的解答转化还原案例：化归数学思想第55页/共221页

数学的教学要从知识技能上升到思想方法，再上升到数学精神，而数学的精神就体现了各种哲学的精髓。培养学生全面、系统、科学的观点看问题，善于质疑，培育“数学素养”。有效策略6：哲学思辨毕达哥拉斯柏拉图阿基米德笛卡尔马克思数学来源于哲学，数学中蕴含着哲学的思想第56页/共221页

学习是由学生根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，获得自己的理解，从而主动建构知识意义的过程。

---建构主义有效策略7：数学“再创造”

学习数学唯一正确的方法是实施“再创造活动”，由学生本人把学习的东西自己实现或创造出来，教师的任务是提供自由广阔的天地，引导学生探索，培养学生创造力

---弗赖登塔尔弗赖登塔尔（1905--1990）第57页/共221页

把知识放到各种不同的环境中去，让学生产生更新、更多、更广的知识或对知识产生更加深刻的认识。多角度迁移有利于学生对事物的全面认识。不断迁移的过程也是加深理解的过程有效策略8：放到不同环境，从多角度加深理解《小蝌蚪找妈妈》第58页/共221页

横看成岭侧成峰远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中题西林壁苏轼多角度理解第59页/共221页加德纳：多元智能理论有效策略9：多学科整合，多感官开放语言智能数理逻辑智能音乐节奏智能空间智能身体运动智能自我认识智能人际关系智能自然观察者智能存在智能有些孩子擅长于通过身体活动和具体活动来学习（身体运动型学习者）有些孩子在同伴的互动中能获得最佳学习（人际型学习者）整合不同的课程领域有助于形成不同的学习风格【美】G.加德纳美国著名认知心理学家多元智能学说开拓者第60页/共221页数学“三维目标”教学缄默知识的教学关注科学用脑思维整体主义与还原主义的研究学术性与师范性知识的统一注重学生发展性评价有效教学的改进有效教学的反思与改进第61页/共221页反思1：数学“三维目标”教学数学素养的要求：知识与技能过程与方法情感、态度、价值观情感方面1对数学的兴趣与好奇心2认识到数学的价值3对数学美学元素的欣赏认知方面1良好的数学认知结构2对数学知识的深刻理解3数学知识内部丰富的联系4数学知识与其它学科、生活实际的联系思维方面1抽象思维与形象思维的结合2发散性思维的训练，培养学生创新能力精神方面1体会辩证精神，理解事物的矛盾与统一2培养理性精神，善于质疑与反思第62页/共221页反思2：缄默知识的教学缄默知识很难用言语、文字或符号进行系统表述（关于自身行为的一种产生性知识，隐性知识）非正规数学经验、数学精神、活动经验、数学直觉具有情境性、非逻辑性、个人性、迁移性缄默知识就像是场，知识就像是场中运动的粒子，场激发着粒子运动。情境与认知、活动与过程、感悟与体会教学中：情景性体验、互动中体验、想象中体验、实践中体验。第63页/共221页反思3：关注脑思维训练数学是思维的科学，数学教育主要是培养人的理性和思维能力。

抽象思维左脑思维符号化思维逻辑思维

探索性思维右脑思维形象化思维直觉思维思想者奥古斯迪·罗丹法国教学中关注学生逻辑思维与形象思维的结合训练第64页/共221页反思4：整体主义与还原主义研究思考：我们注重知识本身还是更加注重知识之间的联系？整体主义认为：要把各要素放在系统的框架中进行考察，把系统作为由从属组织部分结合成的集成整体来对待。强调研究高层次本身和整体的重要性。还原主义：将高层次还原为低层次，将整体还原为各组成部分加以研究。还原主义关注事物的物质实体（如原子），而整体主义系统论更关注事物组织结构方面的特征。教学中，我们要更加重视学生良好的认知结构以及对知识的深刻理解。

一般系统论创始人贝塔朗菲美籍奥地利生物学家（1901---1972）第65页/共221页反思6：学术性与师范性知识的统一数学知识（学术性）高师各分支数学知识中小学数学具体概念、规则、原理及其相互间联系以精神、思想联通高等数学与中小学数学，立足高观点，对数学理解深刻学生知识（师范性）学习理论、学生身心特征、动机理论及应用、学生背境理解教学法知识（师范性）课堂教学管理及教学组织兼容并蓄，吸收各种教学流派的营养，并在实践中进行检验及理论提升。吴正宪数学特级教师课标研制组核心成员第66页/共221页反思7：发展性评价发展性评价观现行评价观强调每个学生的发展（个体差异)强调甄别与选拔。评价指标的多元化（三个维度）。评价指标单一（知识点）评价方法多样化。强调过程性评价。评价方法单调（纸笔测验）。强调终结性评价。激励学生、认识自我、建立自信甄别学生、挫伤学生的自信心和自尊性强调“质性评价”；定性与定量相结合过分强调评价的量化与标准化实施的主体是学生、家长与老师实施的主体是老师第67页/共221页正确认识有效教学改变“唯分数论”价值取向变革传统教学方式调整教师专业知识加强课堂教学能力当前有效教学的改进第68页/共221页

时代发展的驱动新课程改革的需要培养公民素质的要求学校发展的诉求提高基础教育质量的根本保障

1.加强对有效教学意义的认识第69页/共221页ConceptText

中小学考试之频繁，几乎让人无法接受，期中期末考试、单元测试自不必说，随堂小测接连不断。

实行基础教育质量监测，稳步推进中高考制度改革。2.改变“唯分数论”价值取向的影响片面追求应试对学生成长的影响第70页/共221页ConceptTextText

为了孩子为了中华民族的复兴做“有效教学”改革的促进者3.变革传统教学方式教师中心教材中心课堂中心传统教学方式下学生不堪重负第71页/共221页4.调整教师专业知识结构学科知识教学知识学习者和学习的知识课程知识评价过程评价结果学科教学知识特殊情境知识一般教育情境知识第72页/共221页分析课标与教材的能力；设计教学方案的能力；选择教学策略的能力；启发引导学生的能力；组织管理课堂的能力；运用教学媒体的能力；评价与反思的能力；

……5：加强教师教学能力第73页/共221页6.改革考试评价制度全面推行反映学生状况的过程性评价实行高中毕业生学业成就的认定制度将高考的权力更多地给高校与地方第74页/共221页改革之一普通高校拥有自主招生的权力和义务。高中毕业生的国家水平考试成绩、学生成长纪录档案、优秀生、特长生的推荐甄选材料均可以作为高校录取新生的依据。高校必要时可以对学生进行加试（包括面试）。建立报名、招生、录取的社会化机制和监管制度。第75页/共221页改革之二建立学生成长纪录档案制度。收集和分析能够反映学生学习过程和结果的原始资料是评价学生的关键。要通过学生的成长纪录来全面反映学生的发展状况。成长纪录包括：

学生的自我评价教师和同学的的观察和评价来自家长的信息学生的最佳作品考试和测验的信息第76页/共221页学校和教师要对收集到的资料和信息进行科学地分析，形成对学生发展情况的分析报告，客观描述学生的成就、优势和不足，对学生的考试结果要进行分析、什么和建议，不能把考试成绩作为学生分类的标签。建立严格的管理制度，保证学生成长纪录的真实性和可信度。第77页/共221页改革之三建立国家课程水平考试制度国家课程水平考试为全体学生必须参加的高中水平考试。同等学历者可以参加水平考试。由指定的机构（如省级教育行政部门）发给证书。第78页/共221页改革之四建立优秀生、特长生的推荐、甄选制度。保证有特殊才能的优秀人才有更多的机会进入理想的高校深造。对申请人的条件、申请程序、推荐人的资格、相关的组织机构、推荐人的责任及回避制度等应作出相应的规定。第79页/共221页第80页/共221页基于自主学习的观念，有效教学应具备以下几方面的特征：1、让学生明确通过努力而能够达到的目标，并且明白目标的达成对个人成长的意义；2、设计具有挑战性的教学任务，促使学生在更复杂的水平上理解；3、通过联系学生的生活实际和经验背景，帮助学生达到更复杂水平的理解；4、适时与挑战性的目标进行对照，对学生的学习有一个清楚的、直接的反馈；5、能够使学生对每个学习主题都有一个整体的认识，形成对于事物的概念框架；6、能够迁移并发现和提出更为复杂的问题，有进一步探究的愿望。第81页/共221页有效教学的条件

（一）学习者具有学习的意向；

（二）学习内容本身具有逻辑意义；

（三）学习者认知结构中具有同化新知识的适当的知识基础。第82页/共221页有效教学策略的理念主要包括下列这些内容

1.有效教学关注学生的进步或发展

首先，要求教师有“对象”意识。教学不是唱独脚戏，离开“学”，就无所谓“教”，也就是说，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。

其次，要求教师有"全人"的概念。学生的发展是全人的发展，而不是某一方面(如智育)或某一学科(如英语、数学等)的发展。教师千万不能过高地估计自己学科的价值，而且也不能仅把学科价值定位在本学科上，而应定位在对一个完整的人的发展上。

第83页/共221页2.有效教学关注教学效益，要求教师有时间与效益的观念

教师在教学时既不能跟着感觉走，又不能简单地把"效益"理解为"花最少的时间教最多的内容"。教学效益不同于生产效益，它不是取决于教师教多少内容，而是取决于对单位时间内学生的学习结果与学习过程综合考虑的结果。第84页/共221页3.有效教学更多地关注可测性或量化

如教学目标尽可能明确与具体，以便于检验教师的工作效益。但是，并不能简单地说量化就是好的、科学的。有效教学既要反对拒绝量化，又要反对过于量化。应该科学地对待定量与定性、过程与结果的结合，全面地反映学生的学业成就与教师的工作表现。

4.有效教学需要教师具备一种反思的意识

要求每一个教师不断地反思自己的日常教学行为，持续地追问"什么样的教学才是有效的？""我的教学有效吗？""有没有比我更有效的教学？"

第85页/共221页5.有效教学也是一套策略

所谓“策略”，就是指教师为实现教学目标或教学意图而采用的一系列具体的问题解决行为方式。具体地说，按教学活动的进程把教学分成准备、实施与评价三个阶段，每个阶段都有一系列的策略。有效教学需要教师掌握有关的策略性的知识，以便于自己面对具体的情景作出决策，并不要求教师掌握每一项技能。

按照目标管理的教学流程，有效的教学过程划分为三个阶段：教学的准备、教学的实施和教学的评价，并据此来划分教师在处理每一阶段的过程中所表现出来的种种具体的问题解决行为方式。第86页/共221页由上，从学生发展的角度，可总结为：一、有效课堂教学可以从哪些方面衡量●教学取得了预期的效益——

实现结果、效率、魅力的统一●教学提升了学生的素质——

追求认知、情意、方法的和谐●教学促进了主体的参与——

构建互动、活动、主动的课堂第87页/共221页二、有效课堂教学具备什么特征第88页/共221页第89页/共221页第90页/共221页第91页/共221页第92页/共221页第93页/共221页第二部分：

数学概念的有效教学策略一、数学概念的概述（定义、分类）二、概念的获得（概念的形成、同化、顺应）三、影响概念学习的因素四、数学概念教学策略第94页/共221页当前概念教学的问题不重视章节起始课的教学，没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．有些老师不知如何教概念．第95页/共221页教概念的意义李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．第96页/共221页前言一数学语言：文字语言、图形语言和符号语言。第97页/共221页前言二、目标领域水平行为动词目标领域水平行为领域知识与技能知道/了解/模仿了解，体会，知道，识别，感知，认识，初步了解，初步体会，初步学会，初步理解理解/独立操作描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推测，想象，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较，对比，判定，判断，会求，能够，运用，初步运用，初步讨论掌握/应用/迁移掌握，导出，分析，推到，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题过程与方法经历/模仿经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，模仿，收集，回顾，复习，参与，尝试发现/探索设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，探索，探究，探求，解决，寻求情感态度与价值观反应/认同感受，认识，了解，初步体会，体会领悟/内化获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，发展第98页/共221页应达水平数学概念及描述知道/了解/模仿平方根、算术平方根、立方根，无理数、实数，近似数、有效数字，二次根式，整数，分式，不等式，常量、变量，理解/独立操作有理数（理解并表示），会求平方根（立方根），字母表示数，乘方，配方法，一元一次方程，一元二次方程，一元一次不等式，函数，一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数，方程的解，不等式组，掌握/应用/迁移有理数（运算、估值），方程，不等式，函数，一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数3.初中数学中涉及的数学概念（数与代数）及其要求达到的水平第99页/共221页一、概念的概述1.概念的定义概念是思维的基本单位。哲学——概念是人脑对事物本质特征的反映。心理学——概念是同人的分类行为紧密联系在一起的。

行为主义心理学：概念是有机体对相似刺激物或同类刺激物作出共同反映的能力。（适宜于初级的具体概念）

认知心理学：概念是符号所代表的具有共同属性的对象、事物、情境或性质。

现代认知心理学：概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象水平发展，从日常概念向科学概念发展。概念通常包括四方面：概念的名称、定义、例子和属性。如“圆”。第100页/共221页●概念分类的一般方法：逻辑学家认为，组成不同属性的方式有三种，即代表三种类型的概念（1）联合属性，即几种属性联合起来一起对概念下定义。如映射。（2）单一属性，即在许多事物的各种属性中，找出一种（或）几种属性来对概念下定义。如在“椭圆”“双曲线”“抛物线”基础上的“圆锥曲线”。（3）关系属性，即以事物的相对关系作为依据对概念下定义。如正方形。第101页/共221页2.数学概念概念是客观对象及其本质在人们思维中的反应。数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映。●数学概念的产生途径：（1）直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来，如自然数、点、线、面、体、平行、垂直、圆柱、锥、台等；（2）在抽象的数学概念基础上经过多次复杂的抽象概括形成的，如实数、复数；群、环、域、关系、映射、向量等；（3）在一定的数学对象结构中产生的，如三线截得的八角；（4）根据理论上有存在的可能而提出的，如无穷远点、无穷大等。第102页/共221页●数学概念的类别：（1）具体概念和定义性概念。（2）精确概念和模糊概念。（3）日常概念和科学概念。●数学概念的内涵与外延——反向关系。数学对象量和质的统一。第103页/共221页●数学概念的特点

（1）数学概念是一类对象的思维形式

①数学概念代表一类对象，而不是个别对象。它排除一类对象的具体内容的物理性质、化学性质等以后的抽象，反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，而这种在数与形方面的本质属性，是这一类对象所具有的。

例如，“正方体”这个概念，不是指任何具体形状、颜色、大小、密度等性质的正方体,而是这些具体形状、颜色、大小、密度等性质的正方体的抽象。凡是具有正方体空间形式和数学关系的本质特征的图形，不论大小、颜色以及密度统称为正方体。

②数学概念反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，而不是表面属性。第104页/共221页(2)数学概念是现实世界的概括反映①用符号表示数学概念的本质特性，使得数学学科的表述形式比其他学科表述形式更加简明、清晰、准确，有助于数学学科建立严密的科学体系。例如，欧几里得的《几何原本》从最初体系缺乏严密的逻辑根据到建立严密的希尔伯特公理体系花了2000多年时间。微积分刚刚建立的时候，逻辑上是很不严密的，到建立严密的理论基础花了很长时间。自从符号表示数学概念本质特征后，比较方便地建立了严密欧氏几何体系与微积分体系。②用符号表示数学概念的本质特性，推动了数学的加速发展。例如，函数概念符号化正是数学概念有这种特定揭示了概念本质的符号表示，才使得数学内容的表现形式简明。历史上每一重大数学进展都和符号创造性运用分不开的。中国古代的位置记数法，用黑色算筹表示负数。曾经为人类的数学文明做出过重大贡献；阿拉伯人用字母代表数，推动了代数的快速发展，创立了代数的新纪元；到了近代，符号化的趋势越来越明显。微积分使用等符号，使用这些符号使得微积分内容表现形式简明、清晰，同时揭示了自然语言表达难以揭示的数学本质，用符号写成微分方程成为描写现实世界问题以及解决现实世界问题的有力工具。③数学概念用符号表示，使复杂的数学推理与证明成为可能。合理的符号体系是简洁表述数学内容、揭示数学本质的工具，同时，也是逻辑演绎的工具。第105页/共221页

(3)数学概念是具体性与抽象性的辩证统一

数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。如“正方体”概念。抽象程度愈高，数学概念与现实的原始对象之间的联系就愈来愈弱，这是数学概念抽象性的一面。

另一方面，尽管数学概念作为一种抽象，但它必须以具体素材为基础。任何抽象的数学概念，都具有具体、生动的现实原型。例如，“对应”是一个抽象的数学概念，它是以原始人的分配、狩猎和计数等具体活动为现实原型的，更高程度的抽象也有相对具体基础。因为学生可以获得概念，概念一旦被学生所掌握，对学生来说，就是“实在的”东西了，这是概念具体性的一面。例如，锐角三角函数是一个高度抽象的概念，学生学习它时，所联系的具体内容虽然相对少些。但是学习锐角三角函数的概念上升到学习以任意实数为自变量的三角函数概念时，表现为“圆”函数时，学生所联系的具体内容就更少了，涉及到的具体对象是锐角三角函数作为相对“实在的”扩展到“圆运动”；再进一步上升到以任意复数为自变量的三角函数时，抽象程度更高，其涉及到的具体对象是“锐角三角函数”、“圆运动”作为相对“实在的”则又扩展到包含圆运动在内的周期运动，这说明再抽象也仍有相对具体的基础。数学的抽象性不仅以具体性为基础，而且还以更广泛的具体性为归宿。第106页/共221页

（4）数学概念之间具有内在逻辑性客观事物不仅自身是由许多方面的因素构成的，而且同其他事物相互制约、相互作用。数学中的概念，除了原始概念之外，都是建立在其他概念的基础上形成的。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。同时，数学概念又具有相对的独立性，概念之间又是有本质区别。在一个数学分支中，诸概念形成一个结构严谨的概念体系，构成了该数学分支的理论框架，将概念之间的逻辑联系清晰地表达出来。第107页/共221页●数学概念之间的关系——指外延间的关系：第108页/共221页（1）相容关系——同一关系、属种关系和交叉关系。同一关系：外延完全重合，如“等边矩形”和“等角菱形”；正三角形的“外心”、“内心”、“垂心”、“重心”均指同一点。属种关系（从属关系、真包含关系）：外延大的概念为属概念，小的为中概念。比比皆是。交叉关系，如“等腰直角三角形”等。（2）不相容关系（又称全异关系）——反对关系（对立关系）、矛盾关系。反对关系，如“正有理数”和“负有理数”，“大于”和“小于”等。矛盾关系：如两个概念的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延。如“同次根式”与“异次根式”。“大于”与“不大于”、“实数”与“虚数”、“相等”与“不相等”等概念之间的关系等。第109页/共221页●数学中常用的几种定义方式：（1）属加种差定义方式如“正多边形”、“指数方程”等。（2）发生定义方式（又称构造定义方式）如角、数轴、直角坐标系、椭圆、球等。（3）外延定义（概括定义）如有理数和无理数统称为实数，抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线。（4）关系定义方式：以事物间的关系作为种差的定义。如钝角、整除等。（5）语词定义方式：就是说明或规定语词或词组的意义的定义方式。如、、∽等。(6)充分必要条件定义（语境定义）如素数、A=B.（7）公里定义方式如自然数（8）递归定义。第110页/共221页●定义的规则：（1）定义必须是相应对称的。例如，无限不循环小数，叫做无理数。（2）定义不得循环。例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直

（3）定义应当是确定的、简明的。不能用比喻或其他含糊的说法来代替定义（4）定义一般不用否定式。例如：圆是不方的几何图形；加就是不减；正就是非负等，都没有揭示出被定义概念的本质。但这个要求不是绝对的，有些事物的本质属性就是揭示它缺乏某种特性，如斜棱柱的定义：侧棱不垂直于底面的棱柱。第111页/共221页二、概念的获得概念的获得就是要求学生掌握一类事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性，能列举出概念的例证和反例。1.概念的形成：是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。如“扇形”、“圆”。以概念形成方式获得精确概念的心理过程：第112页/共221页第113页/共221页第114页/共221页第115页/共221页第116页/共221页2.概念的同化同化是指学习者的认知结构吸收新的信息，从而使原有的认知结构发生变化的过程。概念的同化指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程。同化的结果不仅使新概念获得意义，而且扩大和深华了原有的认知结构（量的增加）。●概念同化的心理过程：第117页/共221页概念同化的心理过程包括以下几个阶段：（1）辨认。

辨认定义中的新观念哪些是已有概念?新旧观念之间存在什么关系?新旧之间的联系与区别，辨认过程包含了回忆与知识的重现。例如，学习“正方体”概念，在给出正方体的定义后，学生必须对“长方体”、“正四棱柱”、“棱长都相等”、“高等于底面的边长”等已有概念进行回忆和辨认。第118页/共221页（2）同化。奥苏贝尔认知结构同化论的核心就是相互作用观。

①下位关系学习或类属学习。当新知识从属于学生认知结构中已有的、包容范围较广的知识时，则构成下位关系。这是新知识与学生已有认知结构之间的一种最为普遍的关系。例如，“三角形”的概念与等腰三角形、等边三角形，或者锐角、钝角、直角三角形的概念时学习。再如，“函数”与具体的函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的下位关系学习。从中可以看出，这种学习一般表现为通过增加条件对上位概念进行限制或补充而形成新的概念。

第119页/共221页②上位关系学习或总括学习。当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、包容范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，即原有的观念是从属观念，而新学习的观念是总括性观念。新旧知识之间便构成一种上下位关系，这时的学习就称为上位学习或总括学习。

实数概念是对“有理数”“无理数”或“正数”“负数”“零”概念的发展。在上位关系学习过程中，关键是从下位概念中归纳概括出它们的共同特征。第120页/共221页

③并列结合学习。

如果新旧知识之间既不产生下位关系，又不产生上位关系，但是新的内容与学习者已有的一些观念有某种属性或结构的相似。所以可以通过合理的组织这些潜在的已有的观念学习新知识，这种学习类型就称为并列结合学习。在实际学习中，很多新概念的学习都属于这种学习。例如，“直线与平面的平行(垂直)”与“直线与直线的平行(或垂直)”的知识进行学习。“负数”与“相反意义的量”的观念。第121页/共221页（3）强化。

通过将新概念与某些反例相联系，使新概念更加稳固和清晰。概念同化的本质是利用已经掌握的概念获取新概念，因此概念同化的学习形式必须具备一定条件。从客观方面看，学习的材料必须具有逻辑意义，所学的新概念应与学生已有的有关概念建立“非人为”和“实质性”的联系。第122页/共221页3.概念的顺应顺应本为生物学概念，是指有机体调节自己的内部结构以适应特定刺激情境的过程。概念的顺应，是指当原有的认知结构不能同化新概念时，就要调整或改变原有的认知结构，以便概括新概念。如由算术数到正、负属概念：（1）通过概念形成的方式帮助学生建立新观念：“现实中存在大量具有相反意义的量”（2）通过问题让学生体会：要表达这些相反意义的量，原有的算术数是不够的。（3）给出新的表述法或规定：把其中的一种量规定为正，则另一种量规定为负。第123页/共221页三、影响概念学习的因素1.学生的经验研究表明：就智力和经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。经验主要来源：学校学习、日常生活。经验的影响：积极、消极。第124页/共221页●防止消极影响办法：（1）把基本概念放在核心地位，使它成为联系相关知识的纽带，突出概念之间的内在联系。在教学上狠下功夫。如“集合”、“比例”、“函数”、“方程”、“距离”、“极限”等。奥苏贝尔说：“从学习最一般的概念然后逐渐分化出较具体的概念，往往是最有效的。”如。第125页/共221页（2）及时探究新旧概念之间的异同。如；“平方根”与“算术平方根”；（3）强调通过恰当的练习对概念进行精加工。第126页/共221页2.概念学习素材的性质（1）数量（2）变式：是变更对象非本质特征的表现形式，变更观察事物角度和方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。即变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化。

第127页/共221页例子方程方程学习要解决两个问题：一是平衡思想及其用“=”表示的方法；二是未知数的含义。铺垫一：用具体事物表示未知量。通过解决具体问题的过程而熟悉“方程”的含义，形成直观认识。例如：小明用2元钱去买3块橡皮，结果找给他2角。请问这块橡皮多少钱？形象表示为：2元－■■■=2角，或2元－3■=2角（1）铺垫二：用简写记号表示未知量。用x代替“橡皮”，（1）式化为2元－3x=2角（2）统一单位后记为20－3x=2（3）此时只是一块橡皮的价钱。铺垫三：用数学符号“□”代替物化符号“x”20－3□=2（4）第128页/共221页（3）典型性实践表明，概念的本质特征越明显，学习越容易，非本质特征越多、越明显，学习越困难。因此，教师教师对概念的本质特征作恰当的归类练习。如“单项式”概念，涉及单项式定义、系数、次数等几个方面。对定义，要突出“数字与字母的乘积”，举例既有形如，又要分析单独一个数是否为单项式。对“系数”，既要有正系数，又要有负系数，特别指出这样的数字单项式的系数是多少。对“次数”，既要有，又要有等，并让学生辨别“数字单项式”的次数。第129页/共221页（4）反例反例的恰当运用有助于学生对概念理解更加精确，建立概念间的联系，更能排除无关特征的干扰，预防和澄清混淆点。如“”当然，要注意“反例”运用的时机：一般不能在学生刚接触概念是运用反例。第130页/共221页3.学生的概括能力概括是形成和掌握概念的直接前提。没有概括，学生就不可能掌握概念，进而由概念所引深的定义、定理、法则、公式就无法掌握；没有概括，学生无法进行逻辑推理；没有概括，就不可能进行灵活迁移；没有概括，就不能实现思维过程的“缩减”或“浓缩”。●数学概念的概括大约经过如下几个阶段：（1）对一类事例的各种属性进行分化，再进行分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来；（2）在进行类化，即把概括到的本质属性推广到同类事物中去。这既是一个概念的运用过程，又是一个更高意义上的抽象概括过程；（3）把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。第131页/共221页4.数学语言表达能力语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。学生能用自己的语言正确叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生理解概念的标志。第132页/共221页四、数学概念教学1.两种教学模式模式一：概念形成的教学模式概念的形成是由特殊到一般，有具体到抽象的过程，因此，对于那些初次接触或较难理解的概念，可采用这种方式教学学习。其过程如下：第133页/共221页●原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。“针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。第134页/共221页模式二：概念同化的教学模式其过程如下：第135页/共221页如“一次函数”的概念给出名称、定义、符号：函数特例：等把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较用肯定、否定例证让学生辨认：第136页/共221页概念同化方式学习新概念必须具备3个条件：（1）学习者必须具备“我要学”的动机；（2）新概念必须有逻辑意义；（3）学生的原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的观念。这种学习的关键：把握新概念与原有概念之间的关系。第137页/共221页2.促进数学概念学习的教学建议数学概念教学过程大致分为概念的引入、概念的理解和概念的运用3个阶段。（一）概念的引入由于概念的形成、概念的同化和概念的顺应是概念获得的3种方式，因此，概念的引入可以按这3种方式进行。同时要考虑学生的心理特点。首先，依据概念的定义方式来引入（1）概念为“属加种差”型，按“概念同化”方式引入。此时，教师关键要讲清定义中的属概念和种差，使学生明白：新概念既具有属概念的一般属性，又具有自身所特有的关键属性（种差）。但有些“属加种差”型的概念，其属概念的内涵较少，外延很大，而种差较为抽象，学生同化较困难，此时可从概念外延入手，选择概念形成的方式来引入。如“等比数列”。第138页/共221页（2）概念为“发生式定义”型，按“概念同化”方式引入。此时，教师讲解的重点不只是“种差”，还要通过实验演示其发生过程，让学生具体操作，体验其形成过程，以帮助学生把握概念的关键属性。如角、椭圆等。（3）概念为“关系、形式定义”型，一般按概念同化方式引入。此时要抓住定义的模型，任何突破模型的形式都不是定义本身。如，幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数。由此可知，函数都不是。对于上述的规定性定义，要讲清两点：一是规定的必要性，二是规定的合理性。如规定要从幂的运算入手讲清道理。第139页/共221页（4）起基础作用和核心作用的形式定义的数学概念，宜采用“概念顺应”方式引入。

如正、负数和复数等。其次，根据学生认知的心理特点引入学生认知的心理特点：一方面表现为天生就具有的积极向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表现为心理平衡倾向。因而，“有趣”、“悬念”、“设疑”等为常用手段。如“二面角”、“等速螺线”等。第140页/共221页（二）概念的理解注意和加强以下4个方面：（1）加强对概念的解剖分析由于数学本身要求的简单美，使得概念中的叙述、符号、式子都十分精炼，含义深刻。如“正弦函数”，涉及比的意义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识，其中“比”是本质属性。（2）利用变式，突出概念的本质属性如“直角三角形”（一个直角）、“无理数”（无限不循环）。（3）注意概念的对比和直观化如分数与分式、平面图形与立体图形，不等式的解与方程的解，最值与极值等。第141页/共221页（4）注意概念体系的建构（三）在实践中运用概念第142页/共221页第三部分：

数学原理的有效教学策略一、数学原理的相关概述二、数学原理学习的形式三、促进数学原理学习的教学建议四、数学原理教学的教学策略第143页/共221页案例1：关于完全平方公式的表征方式

让学生利用刚学过的多项式乘多项式法则计算；(符号表征)

总结公式的特征：首平方，尾平方，首尾乘积两倍加在中央；(语言表征)用下图并要求学生发现大正方形以及四个小矩形的面积，由此引导他们去得到所要的关系；（图形表征）第144页/共221页让学生使用计算机程序求当（a,b）分别取几组数值时，和的值，然后引导他们去发现所求的关系；（操作表征）让学生解决以下的情景问题：有一位老奶奶很喜欢小孩子，每次孩子们到她家，她都会给他们一些糖，她给自己立了一个规定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有五个孩子就给每个孩子五颗糖）。现在有a个男孩子和b个女孩子准备要去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去（a个男孩子一起和b个女孩子一起）还是一起去所得的糖会多一些？多多少？请你帮他们解决这一问题。由此引导他们去发现所求的关系。（情景表征）

第145页/共221页案例2：案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！（1）问题的提出：在一次听课中，教师讲解直线y=kx+b，有学生问，为什么一次函数y=kx+b的图像是直线？（2）分析.在教数学和学数学时，教师需要注意的是：数学不是因为人们的解释才具有这样或那样的性质，数学的本质是客观存在的。如何让学生认识数学本质的客观存在性是关键。这就需要教师具备专业的MPCK,把数学的科学形态转化为教育形态。具体到这个案例，要想解决学生的疑惑，先从三个方面来剖析。第146页/共221页MPCK教学案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！从MK的角度.证明“一次函数y=kx+b的图像是直线”可以采用倾斜角法（或斜率法），即在图像上任取3个不同的点P1(x1,y1),P2（x2,y2),P3(x3,y3),说明由点P1,P2确定的直线P1P2与由点P1P3确定的直线P1P3的倾斜角（或斜率）相等。从PK的角度.在组织教学时，可以采用先由特例出发，探索解决疑问的思路，然后再从一般性的角度加以分析与证明。从CK的角度.结合学生的具体认知水平，需要考虑这个问题可以解决到什么层次，学生可能理解到什么程度，即实际教学时，教师教学策略的选择。第147页/共221页MPCK教学案例：一次函数y=kx+b的图像是直线？！（3）MPCK的多层呈现：我们可以得出教师的常规解决该问题的方法.

一般初中教师的MPCK.在初中数学教师中常见的回答可能是：首先画出几个特例如（y=2x+1,y=6x+4,y=5x-8)的图像，表明它们均是直线，然后再画一些如y=x2+2x-3之类的反例，最后用不完全归纳法给出结论，并要求学生记住结论。显然，教师的解答并没有解决学生的疑问。这里牵涉两个层面的问题：（a）数学怎么证（知识的科学性）？（b）若这个证明太难，如何给学生一个简易的（但又蕴含数学原理）的解答？第148页/共221页有经验的初中教师的MPCK.

先让初中学生用多描几个点方法感受并猜想一次函数y=2x+1的图像可能是直线，然后探索并理解直线由“点和倾斜角”唯一确定，接着看看当点P1(1,3)的横坐标变成1+t时，根据函数解析式算得相应的纵坐标变成2（1+t）+1=3+2t.即当1水平方向移动t个单位，3就在垂直方向移动2t个单位，新旧点连线的倾斜角的正切均是2，与t无关。既然是倾斜角恒不变（在初中教材中，没有出现斜率的概念），因此y=2x+1的图像便是直线。当然，可以让学生尝试给出一般的一次函数y=kx+b的图像是直线的证明。第149页/共221页一、数学原理相关概述1.数学原理内涵：数学命题（指真命题），主要包括数学公理、定理、公式、法则等和数学推理与证明。数学命题（除公理之外）都必需论证，只有论证之后，才可