圆锥曲线的最值、范围及探索性问题课件-高三数学一轮总复习

第3课时圆锥曲线的最值、范围及探索性问题

(2)求S△ABM的最大值．

反思感悟几何方法求解圆锥曲线中的最值(范围)问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题，常用的结论有：(1)两点间线段最短；(2)点到直线的垂线段最短．

(2)若A、B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C相交于M、N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值．

反思感悟首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系，建立起目标函数，常用基本不等式法求解.

(2)过P作与直线l垂直的直线m交抛物线E于C，D.求四边形ACBD面积的最小值．

反思感悟把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解．【对点训练】1．已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________________．

2．[2022·河南高三月考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，|AB|＝4.(1)求抛物线C的方程；

(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，|PQ|＝m(m>0)，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．

(2)点P(4，0)是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，已知A关于y轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为N，已知P、M、N三点共线，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

反思感悟求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

技巧一解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．

名师点评本题巧妙使用了抛物线的定义，从而得出根与系数的关系．类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法[例2]

△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为_______________．4x＋4y＋5＝0

名师点评本题使用点差法，巧妙地表达出弦的中点坐标和弦的斜率的关系，从而快速解决问题．类型三求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求[例3]

已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．8

名师点评本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．

答案：A

名师点评此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可以简化计算．技巧三巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程，求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系，后者往往计算量小，解题过程简捷．

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

技巧四巧妙“换元”减少运算量变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化，变量换元化常用于求