第三章晶体对称

第三章晶体对称第一页，共四十四页，2022年，8月28日对称性

对称是一个很常见的现象。在自然界我们可观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣的水仙花、雪花、松树叶沿枝干两侧对称，槐树叶、榕树叶又是另一种对称……在人工建筑中，北京的古皇城是中轴线对称，在化学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对称性，有时会感觉这个分子对称性比那个分子高，如何表达、衡量各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些对称。第二页，共四十四页，2022年，8月28日第三页，共四十四页，2022年，8月28日第四页，共四十四页，2022年，8月28日一、对称的概念

对称就是物体相同部分有规律的重复。如图I一4—3是由两个全等的三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的图形还必须符合另一个条件，那就是这些相同的部分，通过一定的操作(如旋转、反映、反伸)可以发生重复，如图I一4—1蝴碟的两个相同的部分可以通过垂直平分它的镜面的反映，彼此重合；图I一4—2的花冠通过围绕一报垂直它井通过它中心的直线旋转，可以多次重复其原来的形象。第五页，共四十四页，2022年，8月28日二、晶体对称的特点1.所有晶体均有对称性因为晶体具有格子构造，格子构造本身就是质点在三维空间周期性重复出现。2.晶体对称受空间格子构造规律的限制3.晶体对称不仅外形上对称，其物理、化学性质也体现在对称上第六页，共四十四页，2022年，8月28日三、对称操作和对称要素欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操作，这种操作就称之为对称操作。在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素(点、线、面)称为对称要素。晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下：第七页，共四十四页，2022年，8月28日1．对称面(P)对称面是一个假想的平面；相应的对称操作为对于比平面的反映。它将图形平分为互为镜像的两个相等部分。对称面以P表示，在晶体中可以无或有一个或几个对称面（最多有9个，立方体中）。第八页，共四十四页，2022年，8月28日第九页，共四十四页，2022年，8月28日第十页，共四十四页，2022年，8月28日晶体中对称面与晶面、晶棱可能有如下关系：1)垂直并平分晶面；

2)垂直晶棱并通过它的中心，

3)包含晶棱。第十一页，共四十四页，2022年，8月28日2．对称轴对称轴是一条假想的直线；相应的对称操作是围绕此直线的旋转。当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相等部分重复。旋转一周重复的次数称为轴次(n）。重复时所旋转的最小角度称基转角a，两者之间的关系为n＝360／a。对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。第十二页，共四十四页，2022年，8月28日晶体外形上可能出现的对称轴如图

I－4－I所列。第十三页，共四十四页，2022年，8月28日

一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴，称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2L3L4和L6。第十四页，共四十四页，2022年，8月28日

晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应法符合于该面网上结点所围成的网孔。第十五页，共四十四页，2022年，8月28日图1－13垂直对称轴的面网的网孔

abcdf分别表示L2L3L4L6的面网的网孔，符合格子构造，egh分别表示的面网的网孔，不符合格子构造第十六页，共四十四页，2022年，8月28日从书中图1-13可以看出，围绕L2、L3、L4、L6所形成的多边形，都能毫无间隙地布满平面，都可能符合空间格子的网孔。但垂直L5、L7和L8所形成的正五边形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴，这一规律，称为晶体的对称定律。第十七页，共四十四页，2022年，8月28日

在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。第十八页，共四十四页，2022年，8月28日3．对称中心(C)对称中心是一个假想的点；相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。

对称中心以字母C来表示。第十九页，共四十四页，2022年，8月28日第二十页，共四十四页，2022年，8月28日一个具有对称中心的图形，其相对应的面、棱、角部体现为反向平行。如图I－4－10a，C为对称中心，ABD与A1B1D1为反向平行，图I－4－10b因ABA’B’与A1B1A1'B1'各自尚存在对中心，所以两者既为反向平行，也为正向平行。第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日反伸操作”可与“反映操作”做对比，两者不同之点仅在于反伸凭借一个点，反映凭借一个面。第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日分子对称性的对称元素与对称操作对称元素对称操作名称符号对称面L从平面的一侧反映到另一侧对称心C所有原子以对称心互相反演倒转轴Lin绕轴一次或多次转动，并对直线上一点反伸映转轴Lsn绕轴转动后，对垂直于轴的平面反映第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日四、对称型及其晶体分类第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日1.对称型概念晶体中全部对称要素的组合称晶体的对称型，也称点群。对称型写法：①先对称轴L（按高到低顺序）②其后为对称面P③最后写对称中心C比如：立方体的对称型为3L44L36L29PC第三十页，共四十四页，2022年，8月28日2.32种对称型A类：27种，高次轴不多于1个的对称型。B类：5种，高次轴多于一个的对称型。第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日3.晶体的分类三斜晶系（L1

、C）低级晶族单斜晶系（有一个L2

或P）（不含高次轴）斜方晶系（L2或P多于一个）三方晶系（有一个L3）三大晶族中级晶族四方晶系（有一个L4或L4i）（有一个高次轴）六方晶系（有一个L6或L6i）

高级晶族等轴晶系（有4个L3）（有多个高次轴）第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日根据晶体对称的特点可以对晶体进行合理的科学分类。

晶体分类体系：三大晶族、七大晶系、三十二晶类

首先，把属于同一对称型的晶体归为一类，称为晶类。晶体中存在32对称型，亦即有32晶类。

根据是否有高次轴以及有一个或多个高次轴，把32个对称型归纳为低、中、高级三个晶族。

在各晶族中，再根据对称特点划分晶系，晶系共有七个。它们是属于低级晶族的三斜晶系(无对称轴和对称面)、单斜晶系(二次轴和对称面各不多于一个)和斜方晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四方晶系(有一个四次轴)、三方晶系(有一个三次轴)和六方晶系(有一个六次轴)；属于高级晶族的等轴晶系(有四个三次轴)。第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日低级晶族（无高次轴）三斜晶系（无L2，无P）单面晶类平行双面晶类单斜晶系（L2或P不多于1个）轴双面晶类反映双面晶类斜方柱晶类斜方晶系（L2或P多于1个)斜方四面体晶类斜方单锥晶类斜方双锥晶类第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日中级晶族（只有一个高次轴）三方晶系（有一个L3

）三方单锥晶类三方偏方面体晶类复三方单锥晶类菱面体晶类复三方偏三角面体晶类第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日四方晶系（有一个L4或L4i）四方单锥晶类四方偏方面体晶类四方双锥晶类复四方单锥晶类复四方双锥晶类四方四面体晶类复四方偏三角面体晶类第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日六方晶系（有一个L6或L6i）三方双锥晶类复三方双锥晶类六方单锥晶类六方偏方面体晶类六方双锥晶类复六方单锥晶类复六方双锥晶类第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日高级晶族（有数个高次轴）

等轴晶系（有四个L3）五角三四面体晶类偏方复十三面体晶类六四面体晶类五角三八面体晶类六八面体晶类第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日对称型的国际符号（1）对称型中对称要素的国际符号对称型国际符号所采用的对称要素为对称面、对称轴和旋转反伸轴，对应符号分别为：对称面：m；一次、二次、三次、四次和六次旋转轴分别为：1、2、3、4、6；一次、二次、三次、四次和六次旋转反伸轴分别为：、、、、。由于L1i=C，L2i=P，在国际符号中用表示对称中心C，用m表示L2i。旋转反伸轴国际符号的读法为，先读旋转轴次，再读“一横”。例如读为“四，一横”。第四十页，共四十四页，2022年，8月28日（2）对称型国际符号的表示方法对称型的国际符号不超过三位，书写顺序有严格规定，随晶系的不同而不同，具体顺序见表1-3。国际符号的书写方法就是按表中要求的顺序写出各方向所含的对称要素符号。对称面的方向是其法线的方向。当轴向与对称面法线处同一方向时用分式表示，轴次作分子，对称面作分母，例如四次轴和对称面法线方向一致，此方向的国际符号写成4/m。第四十一页，共四十四页，2022年，8月28日对称型国际符号中三个位的取向晶系第Ⅰ方向第Ⅱ