全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编29直角三角形

解直角三角1.（2014•孝感，第83）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是 A． B． C． D． 解：过点C作CE⊥DO于点答：∵在▱ABCDAC、BD∴sinα=∴EC=COsinα=∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα． （20146，3）3 分A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；析：BC120°，30°的等腰三角形，依此即可作出判定； 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误答：B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误故选 评：的判定，“智慧三角形”的概念．（2014•扬州，第8题，3分）如图，在四ABCD中∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角点：形；勾股定理 析：求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥ONE，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CFMFtan∠MCN． 答：∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MNRt△ABCRt△ADC中，∴∠BAC=∠DAC=∴BC=∴AC2=BC2+AB2，即∴BC=2在Rt△BMC中，CM== ∴△MAN是等边三角形过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2，-，-，= ，=∴ME=∴tan∠MCN= 评：等三角形的判定与性质是解本题的关键．=，=，tanA=，则BC的长为（A． C． D．考点 分析 根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC=．解答 解∴sinA=∴BC=AB×=10×点评 中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=5.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ D．24 ∴BC=6米 评：的定义求出BC的长是解题的关键．二.填空1（2014•，第13题5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32， 根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可 解：在Rt△ABC中答：所以tanB=，即tan37°=， 评：直角三角形．2（2014•米，则树高BC为 米（用含α的代数式表示． 根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出析：BC的高度． 解：∵BC⊥AC，AC=7米答：∴ 评：求解．3（2014•52.245°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位≈1.4）考点：分析：BC，CEBE=BC+CE可求，再根据三角解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米 ≈3.5EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米=17（个17 （2014•株洲，第13题，3分）同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔20°（不考虑身高因素182米（结果保留整数，参考数据：sin20≈0.342，sin7°≈0.937，tan0≈0.3640，an70°2.7475 作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得析： 解：在Rt△ABC中答：AB=500 ∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米 评：求解．（2014•泰州，第16题，3分）如图，正ABCD的边长为3cm，ECD边上一点∠DAE=30°，MAE的中点，过点M作直线分AD、BC相交P、Q．若PQ=AE，则AP等于12cm． 根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得AD=DC=PNADEDE的长，进而利用勾AEMAEAMHLADE与三PQNDE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PNDC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，AP′的长即可． 答：∵四边形ABCD为正方形，Rt△ADE中 ，即 根据勾股定理得：AE= ∵MAE的中点∴AM= Rt△ADERt△PNQ中，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL∴∠PMF=90°，即在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=∴AP= 综上，AP1cm2cm．故答案为：1 评：与性质是解本题的关键．6.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中 ，AB的长为 ． 过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求析：出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． ∵∠A=30°，AC=2∴CD=∴BD=CD=由勾股定理得：AD=∴AB=AD+BD=3+ 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知评：识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题三.解答（2014•省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有10km，CD30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号．考点：分析：B点作BE⊥l1，交l1E，CDF，l2GRt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：BBE⊥l1l1E，CDF，l2在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km， DF=CD﹣CF=（30﹣在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣∴EG=BE+BF+FG=（25+5点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实（2014•，第20题7分）如图，某数学小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10mB点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（0.1m（参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用－分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABCBC的长度，然后在直角△BDC解答：∴BC=AB=10（米在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5 答：这棵树CD的高度为8.7米．点评：（2014•，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方B处．求渔AB的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示若渔20里/小时的速度从BBM方向行驶，求渔B到达小岛M的航行时间（0.1参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°，再根据析：（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的 （1）答：∵∠AME=45°，∵AM=180海里∴MD=AM•cos45°=90（海里答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里（2）在Rt△DMB中∵MD=90海里∴MB= 答：渔船从B到达M的航行时间7.4时 评：用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．42°80BC55°方向求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1求海B处时与灯塔C的距离（结果保留整数 析：短距离；（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距 解（1）C作AB的垂线，设垂足为答：根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，CDx海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则在Rt△BCD中，tan55°=，则答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里（2）在Rt△BCD中，cos55°=∴BC=≈60海里答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里 评：可转化角度，也得到垂直的直线．A，在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上．求这个标志ABC的最短距离．分析：AAD⊥BCD，先由△ACD是等腰直角三AD=xCD=AD=x，解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出的值，即为A到岸边BC的最短距离AAD⊥BCDADABC的最短距离．Rt△ACD中，∠ACD=45°AD=xCD=AD=x，Rt△ABD中由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以解得x=6﹣2答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为 ）公里点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角6．(2014年市，第22题10分)解放桥是市的标志性建筑之一，是一座结构如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长 如图②，某校数学小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：（1）A′C（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．（I）∴A'C'=在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=∴MQ=在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=∴NQ=点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，7（2014年云南省，第21题6分）如图，在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆ABB的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其解答：∴BC=CD=10米在Rt△BCE中，sin60°=，即= AB=BE+AE=5+1≈10米答：旗杆AB的高度大约是10米点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并8（2014•自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座雕塑，站在距离像CD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据： 析：得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案． 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，答：在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米故塑像CD的高度大1.2米 评：的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．9（2014·云南，第20题6分）如图，在数学实践课中，为了测量学校旗杆CD的高度，在地A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶D的仰32°，AC22旗杆CD的高度（0.1sin32°=cos32°=tan32°= 析： 解：过点B作BE答：E（如图

Rt△DEBDEB90BE

（米DEBEtan32220.6213.64（米ECCDCEED1.513.6415.1415.1（米）CD15.1 评：量转化为直角三角形BDE中的有关元素．10（201421题8分）ABCAC=10千米，∠CA=25°CBA=3A、B公路．求改直的公路AB的长考点 （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数BC，再根据AC+BC﹣AB列式计解答 （1）在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1千米在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7千米故改直的AB14.7米（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3千米 （2014188）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通点，为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数 设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到（x+82 解：设AD=x米，则AC=（x+82）米∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82在Rt△ABD中，tan∠BDA=解得x= 答：AB的长约为546.7米 评：学知识解决实际问题．（2014•益阳21题，12分）如图，在ABCD∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AD的长x的值；若不存在，请说明理由；设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值 （1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出析：AD；有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根 且≠，得出△PCB与△ADP不相似先求出S1=x• ，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1，在中，求出BM2= ，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时212S=x（x2﹣x+，最后根据S=S+S= 212 （1）Rt△BCE中∴CE=BC•sin∠B=4× ∴AD=CE=2则△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中又由（1）知 ，在Rt△ADP中，tan∠DPA== ∴存在△ADP与△CPB相似②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB∴PB=2，PC=2则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似1如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S=x•（）2=x•1①当2＜x＜10BC的垂直平分BCHABPB的垂直平分PBN，交GHM，连结BMBM为△PCB外接圆的半径Rt△GBH中，BH=∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣∴GN=BG﹣BN=x﹣1在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，1∴S=x•BM2=x（x2﹣x+12②∵当0＜x≤2时，S=x（x2﹣x+）也成立212∴S=S+S=x•+x（ ）=x（x﹣）2+12∴当 时，S=S1+S2取得最小 评：值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论． 析：殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2014•株洲228分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BFtan∠CAE的值 析：角形全等．（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE=== （1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，答：∴CE=EF，Rt△ACERt△AFE中，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HLBF=m，则∴BC===∴在RT△ABC中，tan∠B== 在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B= 在RT△ACE中 = 评：表示出线段的值是解本题的关键．OQ=QB=1，AO的上半圆运动（P、Q两点AB为边向上作等边三角形当线段AB所在的直线O相切时，求△ABC的面积（图设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（ 点：质；特殊角的三角函数值． 析：出△ABC的面积．α=0ABOABO只有一α=60°．α的范围．AOPM的交点为D，连接MQ，如下图3AO∥MQ，从而得△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值． （1）答：∵AB与⊙O相切于点A，∴AB===∵△ABC是等边三角形∴AC=AB=∵sin∠HAB= × ×=∴△ABC的面积为①当点A与点Q重合时线段AB与圆O只有一个公共点，此时A