等比数列基础练习题

一、等比数列选择题1．已知等比数列中，是其前项和，且，则（）A． B．C． D．2．在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．3．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（)A．1 B．8 C．4 D．24．若1，，4成等比数列，则（）A．1 B． C．2 D．5．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A． B． C． D．16．已知等比数列的前n项和为Sn，则下列命题一定正确的是（）A．若S2021＞0，则a3+a1＞0 B．若S2020＞0，则a3+a1＞0C．若S2021＞0，则a2+a4＞0 D．若S2020＞0，则a2+a4＞07．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（）A．80里 B．86里 C．90里 D．96里8．设为等比数列的前项和，若，则等比数列的公比的取值范围是（）A． B． C． D．9．数列是等比数列，，，则（）A． B． C． D．110．已知公比大于1的等比数列满足，.则数列的前项的和为（）A． B．C． D．11．已知等比数列的前项和为，若，，则（）A．8 B．7 C．6 D．412．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（）A． B． C． D．13．在数列中，，，若，则的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．1214．已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（）.A．7 B．8 C．9 D．1015．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）A．1009 B．1010 C．1011 D．202016．已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．17．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）A． B．9 C． D．318．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定19．数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（）A．2016 B．1528 C．1504 D．99220．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（）A． B． C． D．二、多选题21．已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．22．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有，若，，数列的前项和组成数列，则有（）A．数列递增，且 B．数列递减，最小值为C．数列递增，最小值为 D．数列递减，最大值为123．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若则C．若则数列是递增数列D．若数列的前n和则r=-124．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（）A． B．C． D．25．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．26．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值27．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则28．已知数列满足，，则下列结论正确的有（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前项和29．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则是间隔递增数列C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则30．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（）A． B．C． D．31．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A．8 B．9 C．10 D．1132．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列B．若数列的前项和，则数列为等差数列C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；33．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有()A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为34．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（）A．3 B．2 C．7 D．535．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值；C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．B【分析】由，解得，然后由求解.【详解】在等比数列中，，所以，即，解得所以，故选：B【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的基本运算，属于基础题,2．C【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.3．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为各项不为的等差数列满足，所以，解得或（舍）；又数列是等比数列，且，所以.故选：B.4．B【分析】根据等比中项性质可得，直接求解即可.【详解】由等比中项性质可得：，所以，故选：B5．D【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.6．A【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案.【详解】等比数列的前n项和为，当时，，因为与同号，所以，所以，当时，，所以，所以，综上，当时，，故选：A【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.7．D【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，此人第二天走里，第二天走了96里，故选：D．8．A【分析】设等比数列的公比为，依题意可得．即可得到不等式，，即可求出参数的取值范围；【详解】解：设等比数列的公比为，依题意可得．，，，，．，解得．综上可得：的公比的取值范围是：．故选：．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．9．A【分析】分析出，再结合等比中项的性质可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由等比中项的性质可得，因此，.故选：A.10．D【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列满足，，所以，解得，，所以，，是以8为首项，为公比的等比数列，，故选：D【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.11．A【分析】利用已知条件化简，转化求解即可．【详解】已知为等比数列，，且，满足，则S3＝8．故选：A．【点睛】思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得，（2）通分化简.12．C【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列中的可由首项和末项表示，因为，所以，所以.故选：C.13．C【分析】根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.【详解】因为，所以，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.则，即.因为，所以，所以，所以.故选：C14．C【分析】根据可求出的通项公式，然后利用求和公式求出，结合不等式可求的最大值.【详解】相减得，，；则是首项为1，公比为的等比数列，，，则的最大值为9.故选：C15．C【分析】根据数列的新定义，得到，再由等比数列的性质得到，再利用求解即可.【详解】根据题意：，所以，因为{an}等比数列，设公比为，则，所以，因为，所以，所以，所以前n项的乘积取最大值时n的最大值为1011.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出以及进行判断.16．A【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有，，解之可得，，.故选：A.17．D【分析】利用等比数列的通项公式求出和，利用求出公比即可【详解】设公比为，等比数列的通项公式为，则，，，故选：D18．A【分析】根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.【详解】由题意知：，且若令公比为时有，∴，故选：A19．C【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可【详解】因为，所以，，，该数列从第5项到第15项的和为故选：C【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题20．A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差，由此求得的前项的和.【详解】设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为0，则，故前项的和为.故选：A二、多选题21．ABC【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.【详解】因为数列为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正确；的前2n项和为=，因为，则，所以，则的2n项和为=，当n=1时，，所以，故D错误；当时假设当n=k时，，即，则当n=k+1时，所以对于任意，都有，即，故C正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．AC【分析】计算的值，得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，根据其通项公式进行判断即可【详解】解：因为，所以，所以，，……所以，所以，所以数列递增，当时，有最小值，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题23．AC【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为则，即数列是等比数列；即A正确；因为等比数列中同号，而所以，即B错误；若则或，即数列是递增数列，C正确；若数列的前n和则所以，即D错误故选：AC【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列；(2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数列.24．BC【分析】根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断.【详解】数列{an}为单调递增的等比数列，且，，，解得，，即，解得或，又数列{an}为单调递增的等比数列，取，，，，.故选：BC【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.25．AD【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，故A正确；对选项B，因为，所以或，即或，故B错误；对选项C，D，因为异号，，且，所以中至少有一个负数，又因为，所以，，故C错误，D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.26．AB【分析】由已知确定和均不符合题意，只有，数列递减，从而确定,，从可判断各选项．【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且,，故，A正确；，故B正确；因为,，所以是数列中的最大值，C，D错误；故选：AB【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定,．27．BD【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.【详解】由于是等比数列，，所以，当时，，符合题意；当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.综上所述，的取值范围是.，所以，所以，而，且.所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.当时，，即.当或时，，A选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.28．ABD【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】因为，所以，又，所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，故选项A、B正确.由的通项公式为知，为递减数列，选项C不正确.因为，所以的前项和.选项D正确，故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.29．BCD【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A.，因为，所以当时，，故错误；B.，令，t在单调递增，则，解得，故正确；C.，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D.若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则，对于成立，且，对于成立即，对于成立，且，对于成立所以，且解得，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.30．AC【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.【详解】设等比数列的公比为.对于A，则，故A是“保等比数列函数”；对于B，则常数，故B不是“保等比数列函数”；对于C，则，故C是“保等比数列函数”；对于D，则常数，故D不是“保等比数列函数”.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.31．AB【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{cn}的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{cn}的前n项和Tn，验证得答案．【详解】由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．当n＝9时，Tn＝1013＜2019；当n＝10时，Tn＝2036＞2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.32．ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于，若数列的前项和，若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；对于，若数列的前项和，可得，